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衢州市初三数学竞赛试题

发布时间:2014-06-24 14:11:26  

衢州市数学竞赛试题

一、选择题(本题共有8小题,每小题5分,共40分,请选出一个正确的选项,将其代号填入题后的括号内,不选、多选、错选均不给分)

1.方程2x?x?22的正根的个数是( ) x

A.0 B.1 C.2 D.3

2.在△ABC中,AB=AC=m,P为BC上任意一点,则PA?PB?PC

的值为( )

A.m B.m?1 C.2m D.?m?1? 222

B

C2

2

3.在全体实数中引进一种新的运算*,其规定如下:

(1)对任意实数a,b,有a?b??a?1???b?1?

(2)对任意实数a,有a

当x?2时,?3?x?2

?a?a ??????2?x?1的值为( ) ?2

A 34 B. 16 C. 12 D.6

4.如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,且∠COA=60°.设

扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为S1,S2,S3,则它

们之间的大小关系是( )

A.S1<S2<S3 B. S2<S1<S3 C.S1<S3<S2 D. S3<S2<S1

5.某种产品按质量分为l 0个档次.生产最低档次产品,每件获利润8元.每提高一个档次,每件产品利润增加2元.用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果获利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么k等于( ).

A.5 B.7 C.9 D.10

6.图示某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间

进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别

⌒,BC⌒,CA⌒的机动车辆数(假设单位时 表示该时段单位时间通过路段AB

间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等),

则x1,x2,x3的大小关系为( )

1

A.x1>x2>x3 B. x1>x3>x2 C.x2>x3>x1 D. x3>x2>x1

7.如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停

止时,每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字,若左图轮子

上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数字为b,

数对?a,b?所有可能的个数为n,其中a?b恰为偶数的不同数对的

参数为m,则m等于 ( ) n

1153A. B. C. D. 261248.如图,以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆

相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的

外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数,则R、r的值

可能是( ). 二、填空题(本题共7小题,每小题5分,共35分.将答案填在题中横线上)

9. 在等腰直角RtVABC中,过C作l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则∠

11.已知直线y?x?1与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB的垂直平分线的解2

2析式 12.已知二次函数y?ax(a?1)的图象上两点A,B的横坐标分别为?1,2,O是坐标原点,

如果ΔAOB是直角三角形,则ΔAOB的周长为 .

13.如图,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别

填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均大于

某一个整数M.则M的最小值是 .

(第13题) 14.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,

在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走

了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车.

15.有n个连续的自然数1,2,3,…,n,若去掉其中的一个数x后,剩下的数的平均数是16,则满足条件的n和x的值分别是 .

(参考公式:Sn?

1?2

?3?????n

?n(n?1)) 2

三、简答题(本题有4小题,共45分.务必写出解答过程)

2

16. (本题10分)

在直角?ABC中,?C?90,直角边BC与直角坐标系中的x轴重合,其内切圆的圆心坐标为p(0,1),若抛物线y?kx2?2kx?1的顶点为A。求:

(1) 用k表示B点的坐标;

(2) 当k取何值时,?ABC?60。

17.(本题10分)

如图,点D在ΔABC的边BC上,且与B,C不重合,过点D作AC

的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.

(1) 设ΔABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为??2S.求BD长. 5

(2

)若AC?,且DF经过ΔABC的重心G,求E,F两点的距离.

18.(本题12分)

笔直的公路l穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km的地方有一居民点B,A,B之间的距离为90km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h,在草地上行驶的最快速度是30km/h.问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?

3

19. (本题13分) 设x1,x2,???,x2013是整数,且满足下列条件:

(1)?1?xn?2(n?1,2,???,2013)

(2)x1?x2?????x2013?201

(3)x22

1?x2?????x2

2013?2013

求x3

1?x3

2?????x3

2013的最小值和最大值。

4

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