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2013年第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初中组,pdf版)

发布时间:2014-06-24 14:11:29  

第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初中组) 参考答案及评分标准 本卷共12题,每题10分,满分120分。答题时间120分钟。 完成以下算式:将适当的数字填入下述方框内,使除法算式成立。(不要求理由) 620 302013 ? 33 = 61 20?被该数除上6余一位数,说明该除数的十位必为3; 再定除数的个位数:根据余数是一位数,个位数只能是2、3、或4, 32?6 =192,33?6 =198,34?6 ;如果除数是32,则余数是8或9,结合后一位3,83或93均不是32的倍数,结论不成立;同样34;最终确定除数是33. 后面就比较清楚了。 3分;再确定除数的个位数再得3分;确定尚的个位数得2分;全部确定再得2分。 请完成以下两个问题: (1)将999表示成9个连续的奇数之和的形式; (2)将7n?1表示成7个连续的奇数之和的形式时,则其中最小的奇数是多少?(用含有字母n的代n正整数) 1)由于999 ? 9 = 111,所取9个奇数的中间数应该是111,这个表示为 。 2)类似地: n?1=7?7n (7?6)?(7?4)?(7?2)?7?(7?2)?(7?4)?(7?6) 7n?6。 5分。 nnnnnnn第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 1 页 共 8 页

3. 观察下列等式:

(1) 32?42?52,

(2) 102?112?122?132?142,

(3) 212?222?232?242?252?262?272,

………

请按此规律写出第四个等式。

若按照此规律写的第n个等式的等号左边最小数为2102,则该等式的等号右边最大数是多少? 请说明你发现的规律,不必进行计算验证。

【参考答案】

第四个等式:(4) 36?37?38?39+40?41?42?43+44,

等号左边最小数为2102时,等号右边最大数为2302 。

解答方法1:

每个等式的左右两边是连续若干个完全平方数,其个数依次为3、5、7、9个等等,其特点是左端比右端多1个。观察等式左边最小数发现:从上到下依次为

3 = 1?3 ; 10 = 2?5;21 = 3?7;4?9;5?11;6?13;7?15;8?17;9?19;10?21 =210等各数的平方。 因此,当等式左边最小数为2102 时,该式为第10个式子,即n =10,这个式子左右两端共有21个数,左端11个,右端10个,右端最大的数为2302.

解答方法2:

观察已知三个等式可知:每个等式中,紧靠等号左边的数分别是42??4?1?,12?[4?1?2?],222222222222242?[4?1?2?3?]2,………。

由此可知:第n个等式中,紧靠等号左边的数是[4?1?2?3?

第n个等式的左边最小数为[2n?n?1??n]?2n?n22?n?]2?4n2?n?1?, 2??2,依题意有2n?n?2?2?2102,

因为n是正整数,所以2n2?n?210,移项,分解因式得:?n?10??2n?11??0,解得:n?10,或n??10.5舍去。

故该等式的右边最大数是[2n?n?1??n]?2n?3n22??2?2302。

【评分标准】写出第四个式子得4分;发现等式中数的平方特征及变化规律占2分;发现左端最小数的变化规律占2分;确定2102 在第10行占1分;写出最大数占1分。

4. 在如图所示的三个九宫图中,第2、3个分别是由第1、2个按照某种规律变化而来。

(1)这三个九宫图有什么相同点和不同点?

(2)请指出图1到图2、图2到图3的共同变化规律,并按照这种规律填写第4个图。

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图1 图2 图3 图4

【参考答案】

(1)相同点:三个表的“左下至右上”对角线上各对应数相同;每行、每列、每个对角线三个数之和相等,都是99. “左下至右上”对角线上各对应数相同

不同点:除了“左下至右上”对角线之外,其他位置各对应数均不相同。

(2)变化规律:1到2、2到3三个图中,从左上角到右下角五条斜线上的数,第1条依次减1,第2条依次加1,第三条不变,第4条依次减1,第5条依次加1. 图4的填写如下:

【评分标准】第1问4分;第2问6分

其中第一问中相同点、不同点各占2分;第二问中规律占4分;填对第

4个图占2分。

5. 如下图,在平行四边形ABCD中,已知S?EBF = 1cm2, S?BCF = 3cm2,求阴影部分四边形EFHG的面积。

【参考答案】

首先,根据等高三角形面积之比等于其底之比,S?EFB:S?CFB= 1 :3,因此EF:FC = EB:CD =1 : 3 ;由于△EBF相似于△CDF,其面积之比等于相似比的平方,得S?CDF = 9 cm2,由此得 S?ABD = S?BCD =S?CDF+ S?CBF = 9 +3 = 12cm2,平行四边形ABCD面积为24cm2,所以

四边形EFDA的面积 = S?ABD --S?EBF = 12 – 1 = 11 cm2. (1)

其次,S?CDA = 12cm2(平行四边形ABCD面积的一半),所以

S?AHD = (1/2) S?CDA = 6 cm2. (2)

第三,由于CD = AB = AE+EB, EB:CD = 1:3, 故AE:CD =AE:AB = 2:3, AE:EB = 2:1. 根据等高三角形面积之比等于其底之比,以及S?ABD = 12cm2,知道

S?AED:S?ABD= 2:3,S?AED= 8cm2, (3)

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