haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

剩余问题

发布时间:2014-06-24 14:18:06  

黑龙江中公教育:

剩余问题

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思就是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。求适合这个条件的最小数?”

类似于这个问题的题目,我们称之为剩余问题。

在《孙子算经》中给出了它的一种解法:三三数之,取数七十,与余数二相乘;五五数之,取数二十一,与余数三相乘;七七数之,取数十五,与余数二相乘。将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数。列式计算就是:70×2+21×3+15×2=233,233大于105的2倍210,则所求最小的数就是233-105×2=23。其中,70、21、15分别是从3、5、7的最小公倍数3×5×7=105中分别除以3、5、7再乘以相应的整数2、1、1得到的。而70、21、15分别除以3、5、7,余数都是1。

在明朝时,数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:

三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,

七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。

在公务员的考试中,也有类似的试题出现。除了使用这种基本方法外,有些题目也有自己的性质,可以采取一些特别的方法。

例1:某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是( )

A.140 B.569 C.712 D.998

解析:这道题的三个数分别相乘的结果比较大,都大于100;而三个数的公倍数则超过2000千,因此,用《孙子算经》来解计算量是很大的。

11-8=3,13-10=3,则要求的这个数加上3后,可以被11和13整除,则它加上3后是11和13的最小公倍数11×13=143的倍数,检验四个选项,发现四个选项都符合该条件。另外一个已知条件就是,这个数应该加上17-12=5后被17整除,只有D项的998满足答案。据此,可排除A、B、C。

正确答案:D

例2:1个数除5余3,除6余4,除7余1,这样的3位数有几个?

黑龙江中公教育官方微博:

黑龙江中公教育:

解答:5、6、7的最小公倍数是5×6×7=210,且1000÷210=4??160,则满足题意的3位数有4个或5个。当满足条件的最小的数是一个三位数且它小于160时,答案就是5;否则,答案就是4。即当一个数a满足题意时,a+210n(n=0,1,2,??)也满足题意。

证明如下:

(a+210n)÷5=a÷5+42,则该余数与a除以5的余数相同。

同理可得a+210n除以6、7的余数分别与a除以6、7的余数相同。

则a+210n和a除以5、6、7的余数都是相同的。

由于5-3=2,6-4=2,则这个数加上2以后,可以被5、6整除,即可以被5、6的最小公倍数30整除,即该数=30n+28(n=1,2,3,??)。又因为该数除以7余1,而28是7的4倍,则30n应该除以7余1,而30÷7=4??2,且2×4=8=7+1,则(30×4)÷7=17??1,则最小的满足条件的数就是30×4+28=148,是一个三位数。

(a+210n)÷5=a÷5+42,则该余数与a除以5的余数相同。

同理可得a+210n除以6、7的余数分别与a除以6、7的余数相同。

则a+210n和a除以5、6、7的余数都是相同的。

这样,满足题意的三位数就是148,148+210=358,148+2×210=568,148+3×

210=568=778,148+4×210=988,一共有5个。

例3:篮子里装有不多于500个苹果,如果每次二个、每次三个、每次四个、每次五个、每次六个地取出,篮子中都剩下一个苹果,而如果每次七个地取出,那么没有苹果剩下,篮子中共有多少个苹果?

A.298 B.299 C.300 D.301

解析:由题目可知,答案应该能被7整除,四个选项中,只有D符合这个条件。

另外,苹果的总数应该是2、3、4、5、6的公倍数再加1,且能被7整除。2、3、4、5、6的最小公倍数是60,则苹果总数就是60n+1(n=1,2,3,??)。

60n+1应该是7的整数倍,60÷7=8??4,则60n+1=7×8×n+4n+1,即4n+1是7的倍数,用7的1、2、3??倍试算,当4n+1=7×3=21时,n=5时满足条件的最小值,则60n+1=301。满足条件的数就是301。

正确答案:D

黑龙江中公教育官方微博:

黑龙江中公教育:

例4:一支队伍不超过6000人,列队时,2人一排,3人一排,4个一排??直至10人一排,最后一排都缺一个人。改为11人一排,最后一排只有1个人。问这一队伍有多少人?

A.4926人 B.5039人 C.5312人 D.5496人

解析:由10人一排时最后一排缺一人,可知队伍人数的尾数一定为9,在四个选项中,只有B项是满足要求的。

另外,所求人数加上1后是2、3、4、5、6、7、8、9、10的公倍数,而6、7、8、9、10的最小公倍数是2520,则所求人数就是2520n-1。2520÷11=229??1,则2520-1是可以被11整除,则满足条件的数就是2520+2520-1=5039。

正确答案:B

黑龙江中公教育官方微博:

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com