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初中数学竞赛专题选讲比较大小

发布时间:2014-06-25 14:58:27  

初中数学竞赛专题选讲

比较大小

一、内容提要

1. 比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用

求差法。根据不等式的性质:

当a-b>0时,a>b; 当a-b=0时,a=b; 当a-b<0时a<b。

2. 通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的

个数决定其符号。

3. 需要讨论的可借助数轴,按零点分区。

4. 实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到

它。即若a是实数,则a2≥0,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式)。诸如

(a-b)2≥0, a2+1>0, a2+a+1=(a+123)+>0 24

-a2≤0, -(a2+a+2)<0 当a≠b时,-(a-b)2<0

二、例题

例1 试比较a3与a的大小

解:a3-a=a(a+1)(a-1)

a3-a=0,即a3=a

以-1,0,1三个零点把全体

实数分为4个区间,由负因数的个数决定其符号:

当a<-1时,a+1<0,a<0,a-1<0(3个负因数)∴a3-a<0 即a3<a 当-1<a<0时 a<0,a-1<0(2个负因数) ∴a3-a>0 即a3>a 当0<a<1时, a-1<0(1个负因数) ∴a3-a<0 即a3<a 当a>1时,没有负因数, ∴a3-a>0 即a3>a 综上所述当a=0,-1,1时, a3=a

当a<-1或0<a<1时,a3<a

当-1<a<0或a>1时,a3>a。 (试总结符号规律)

例2 什么数比它的倒数大?

解:设这个数为x,则当并且只当x -1>0时,x 比它的倒数大, x

1x2?1(x?1)(x?1)? x -= xxx

以三个零点-1,0,1把实数分为4个区间,由例1可知

当x>1或-1<x<0时,x比它的倒数大。

1

例3 己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的一半,甲、乙两人同时从A去B,甲乘汽车到中点,后一半用歩行,乙全程骑自行车,问誰先到达?

解:设从A到B有x千米,步行速度每小时y 千米,那么甲、乙走完全程

xx

5xx所用时间分别是t甲=??, t乙= 4yy8y4y

t甲-t乙=5xx3x?? ∵x>0,y>0 ∴t甲-t乙>0 8y4y8y

答:乙先到达B地

例4己知a≠b≠c,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca

证明:a2+b2+c2-ab+bc+ca=1×2(a2+b2+c2-ab+bc+ca) 2

1=(2a2+2b2+2c2-2ab+2bc+2ca) 2

1=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 2

∵a≠b≠c,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0

∴a2+b2+c2>ab+bc+ca

又证:∵a≠b,∴(a-b)2>0 a2+b2>2ab(1)

同理b2+c2>2bc(2) c2+a2>2ca(3)

(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca 即a2+b2+c2>ab+bc+ca

例5 比较 3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的大小

解:3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3[(1+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2 =2(1+a+a2)2-6a(1+a+a2)

=2(1+a+a2)( 1+a+a2-3a)=2(1+a+a2)(1-a)2

∵1+a+a2=(13?a)2?>0, (1-a)2≥0 24

∴当a=1时,3(1+a2+a4)=(1+a+a2)2

当a≠1时,3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2

例6 解方程 2x??x?2?4

解:以-0.5,和2两个零点分为3个区间

当x<-0.5时,-(2x+1)-(x-2)=4, 解得x=-1

当-0.5≤x<2时,(2x+1)-(x-2)=4, 解得

x=1

2

当x≥2时,(2x+1)+(x-2)=4 解得x=5, ∴在x≥2范围无解 3

综上所述原方程有两个解x=-1, x=1

三、练习

1. 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。

并用“<”号把它们连接。

2. 比较下列各组中的两个数值的大小:

①a4与a2 ②aa?1与 a?1a?2

3. 什么数的平方与立方相等?什么数的平方比立方大?

4. 甲乙两人同时从A去B,甲一半路程用时速a千米,另一半路程用时速

b千米;乙占总时间的一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达?

5. 己知 a>b>c>d>0且a∶b=c∶d, 试比较a+c与b+d的大小

6. 己知a<b,x<y. 求证:ax+by>ay+bx

7. 己知a<b<c, x<y<z

求证:①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy

(提示:可应用第6题的结论)

8. 己知a<b<0,下列不等式,哪些能成立?不能成立的,请举个反例。 ①11a? ②ab<1 ③?1 ④a-2b<0 abb

9.若a,b,c都是大于-1的负数,(即-1<a,b,c<0下列不等式哪些不能成立?试各举一个反例。

①a+b-c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1

10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两条水管,注满水池所用的时间列表如下

问单独开放哪条水管能最快注満水池?答:___

(1989年全国初中数学联赛题)

练习题参考答案

1.

2. b<-a<0<a<-b ① 用求差法:a4-a2=a2(a+1)(a-1)?。 ②2a?1 ?? (a?1)(a?2)

3

3.

4. a2-a3=a2(1-a)…… (a?b)2st甲-t乙= a=b时同时到达,a≠b时,乙先到 2ab(a?b)

ad(a?b)(b?d)5. 由已知c=b (a+d)-((b+c)=b

6. (ax+by)-(ay+bx)=??

7. 运用上一题的结论

8. 只有①成立,②③④都可以a=-2,b=--3

9. 只有④成立

10. (4)

4 >0…… 作为反例

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