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2007初三数学竞赛选拔试题

发布时间:2014-06-27 11:26:03  

2007初三数学竞赛选拔试题

一、选择题(每小题5分、共40分)

221、如果多项式p=a+2b+2a+4b+2008,则p的最小值是( )(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 2008

22、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ).(A)1/24S?L(B)1/2S?L2(C)1/2L2?4S 2(D)1/2L?4S

2x?3(x?x?1)?1的所有整数解的个数是( )3、方程(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个

4、已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,△AOD的面积为4,△BOC的面积为9,则梯形ABCD的面积为( )(A)21 (B)22 (C)25 (D)26

5、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为( )。 (A)8 (B)6 (C)4 (D) 2

1S2?(x12?x22?x32?x42?x52?20)x,??x2,??x3,??x4,??x5的方差为:56、已知一组正数1,则关于数据

x1?2,??x2?2,??x3?2,??x4?2,??x5?222的说法:①方差为S;②平均数为2;③平均数为4;④方差为4S。其中正确的说法是( ) (A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D)③④

7、一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m,然后,原地逆时针方向旋转角a(0<α<180)。被称为一次操作.若五次操作后,发现赛车回到出发点,则角α为( )(A) 7 2 (B)108或14 4 (C)144 (D) 7 2或144

8、 图,已知圆心为A、B、C的三个圆彼此相切,且均与直线l相切.若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a、b、c(0<c<a<b),

则a、b、c一定满足的关系式为 ( )

(A)2b=a+c (B)b=a+ (C)1/c=1/a+1/b (D)1/c=1/a+1/c

二、填空题(每小题5分,共30分)

29、已知a﹑b为正整数,a=b-2005,若关于x方程x-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________

10、如图,在△ABC中,AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别交AD,AC于E,F.若EF/BE=a/b,那么GE/BE等于

211、已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0),(x1,0),且1<x1<2,与y轴正半轴的交点在(0,2)

的下方,下列结论:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c<0;④2a-b+1.其中正确的结论是_____________.(填写序号)

2212、如图,⊙O的直径AB与弦EF相交于点P,交角为45°,若PE+PF=8,则AB等于 .

13、某商铺专营A,B两种商品,试销一段时间,总结得到经营利润y与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=x/7,yB=3x/7。如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品,可获得的最大利润为___________ 万元。

14、在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R.则R的最小值是

三、解答题(50分) 15(12分)、三项式x2-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积(1)若1≤n≤30,且n是整数,则这样的n有多少个?(2)当n≤2005时,求最大整数n

16(12分)、某公交公司停车场内有15辆车,从上午6时开始发车(6时整第一辆车开出),以后每隔6分钟再开出一辆.第一辆车开出3分钟后有一辆车进场,以后每隔8分钟有一辆车进场,进场的车在原有的15辆车后依次再出车.问到几点时,停车场内第一次出现无车辆?

17(12分)、一个三角形可被剖分成两个等腰三角形。原三角形的一个内角为36°,求原三角形的最大内角的所有可能值。

18(14分)、已知A1、A2、A3是抛物线y=x/2上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.(1)如图18-1,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长;

22(2)如图18-2,若将抛物线y=x/2改为抛物线y=(x/2)-x+1,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条

件不变,求线段CA2的长;

22(3)若将抛物线y=x/2改为抛物线y=ax+bx+c,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜

想线段CA2的长(用a,b,c表示,并直接写出答案).

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2007初三数学竞赛选拔试题(参考答案)

一、1、A 2、C 3、B 4、C 5、B 6、B 7、D 8、D 二、9、95; 10、b/a;11、①②③;12、4;13、1.75;14、65/8,15/2;

三、解答题:15解:(1)x则应有1+8n=9,25,49,81,121,169 相应解得n=1,3,6,10,15,21,28,36(舍去)故当1≤n≤30时,满足条件的整数n有7个

(2)观察数列1,3,6,10,……发现 1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4…… 故n=1+2+3+……+k≤2005 ∴ (1+k)k/2≤2005验证得当k=62时,n取最大值为1953

16、解:设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆,此时总共出车S辆,进场车y辆,则

x=6(S-1).,S=y+15,8y>x-3∴ 8(S-15)>6(S-1)-3, 解得 S>55.5∵ S为正整数,∴ S=56,即到第56辆车开

出后,停车场内第一次出现无车辆.此时x=6(56-1)=330,6+330/60=11.5(时)

答:到11时30分时,停车场内第一次出现无车辆.

17、解:不妨设△ABC中∠B=36°.(1)若剖分线不过点B。不妨设剖分线为AD,此时,△BAD是(36°,36°,108°)或者(36°,72°,72°)的三角形。若△BAD是(36°,36°,108°)的三角形,则△CAD或者是(144°,18°,18°)(如图1),或者是(72°,54°,54°)(如图2),或者是(36°,72°,72°)(如图3、

4)。(2)若剖分线过点B。不妨设剖分线为BE,那么,△ABE必定是(132°,24°,24°),△CBE是(156°,12°,12°)的三角形(如图5)。所以,原三角形的最大内角可能是72°,90°,108°,126°,132°。18、21??8n1??8n)(x?)22-x-2n=(x-

12121?1??2?22,A2B2=2解:(1)方法二:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,∴A1B1=2,

12911195?3?(?)?2 . 2 . 由已知可得A1B1∥A3B3,∴CB2=2(A1B1+A3B3)= 222A3B3=2

51?2?2 . ---------------------------------------------(4分) ∴CA2=CB2-A2B2=2

(2)方法二:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1 .

1121(n?1)2?(n?1)?1n?n?1(n?1)2?(n?1)?1

则A1B1=2,A2B2=2,A3B3=2

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由已知可得A1B1∥A3B3,∴CB2=2(A1B1+A3B3) 11113[(n?1)2?(n?1)?1?(n?1)2?(n?1)?1]n2?n?22 = 22=2

12311n?n??(n2?n?1)?222. .∴CA2=CB2-A2B2=2

(3)当a>0时,CA2=a;当a<0时,CA2=-a. ---------------------------------(14分)

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