haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

数学联赛试题

发布时间:2014-06-27 11:26:08  

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

设a?1,则3a3?12a2?6a?12? ( A )

A.24. B. 25.

C. 10.

D. 12.

2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC= ( C )

A. B. 10.

C.

3.用[x]表示不大于x的最大整数,则方程x?2[x]?3?0的解的个数为 ( C )

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B ) A.2

D. 3314. B. . C. . D. . 14727

D

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半

圆的切线AE,则sin?CBE= ( D )

21A. B. . C. .

D. 33310

6.设n是大于1909的正整数,使得Cn?1909为完全平方数的n的个数是 ( B ) 2009?n

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x?2x?t?1?0的两个非负实根,则(a?1)(b?1)的最小值是_____?3_______.

2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF的面积为

___

3.如果实数a,b满足条件a?b?1,|1?2a?b|?2a?1?b?a,则a?b?__?1____. 2222222

1

4.已知a,b

是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对(a,b)共有___7__对. 第二试 (A)

一.(本题满分20分)已知二次函数y?x2?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明:⊙P与y轴的另一个交点为定点.

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.

解 (1)易求得点C的坐标为(0,c),设A(x1,0),B(x2,0),则x1?x2??b,x1x2?c.

设⊙P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=

cOA?OBx1x2OC×OD,则OD????1. OCcc

因为c?0,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).

(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,?1), 即c??1.

又AB?x1?x2???

S△

ABC?

1AB?OC?1?2,解得b??. 2二.(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求I1I2.

解 作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F.

在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4

,AB=?5. AC2916又CD⊥AB,由射影定理可得AD=?,故BD=AB?AD?,

AB55C

CD=?12. 5

13(AD?CD?AC)?. 25因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以I1E=

连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB

2

3

I1E=45°,故∠I1DI2=90°,所以I1D⊥I2D

,DI1?. ??sin?ADI1sin45?同理,可求得I2F?

4,DI2?. 所以I1I

2? 55

三.(本题满分25分)已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?ac?a?ba?b?c1??? ②

bccaab4

.

证法1 将①②两式相乘,得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即???8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即?4??4??0, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即???0, bccaab

(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0, bccaab

(b?c?a)即[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, abc

(b?c?a)(b?c?a)2即[2ab?a2?b2?c2]?0,即[c?(a?b)2]?0, abcabc

(b?c?a)即(c?a?b)(c?a?b)?0, abc

所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或c?b?a.

.

32?2a32?2b32?2c1???, bccaab4

1222变形,得1024?2(a?b?c)?abc ③ 4证法2 结合①式,由②式可得

又由①式得(a?b?c)?1024,即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?22221abc,即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 4

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

3

??4096?256?32?163?0,

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

.

第二试 (B)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线

CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中

点分别为E、F.求证:EF∥AB.

解 因为BN是∠ABC的平分线,所以?ABN??CBN.

又因为CH⊥AB,所以 N?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB,

因此CQ?NC. B

又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以?CFB?90???CHB,因此C、F、H、B四点共圆. 又?FBH=?FBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.

同理可证,点E在CH的中垂线上.

因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?ac?a?ba?b?c1??? ②

bccaab4

.

解法1 将①②两式相乘,得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

???8,

即bccaab

4

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即?4??4??0, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即???0, bccaab

(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0, bccaab

(b?c?a)即[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, abc

(b?c?a)(b?c?a)2即[2ab?a2?b2?c2]?0,即[c?(a?b)2]?0, abcabc

(b?c?a)即(c?a?b)(c?a?b)?0, abc

所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或c?b?a.

即90°.

32?2a32?2b32?2c1???, bccaab4

1222变形,得1024?2(a?b?c)?abc ③ 4解法2 结合①式,由②式可得

又由①式得(a?b?c)?1024,即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?22221abc,即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 4

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

??4096?256?32?163?0,

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°.

5

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com