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竞赛统计与概率

发布时间:2014-06-27 11:26:13  

温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编(五)基本图形 2008-4-1

统计概率计数规律等

1. 某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中,分别得了9.0环、8.4

环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环?(每次射击所得环数都精确到0.1环)

2.甲、乙两种茶叶以x:y之比(以重量计)混合,甲种茶叶的原价为50元/千克,乙种茶叶的原价为40元/千克。若甲的价格增加10%,而乙的价格减少15%,则混合茶叶每千克的价格不变,这时,x:y= 。

3.有两幅扑克牌,每幅的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,2,3,?,J,Q,K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起,然后从一到下把第一张丢去,把第二张放在最底层,再把第三张丢去,把第四张放在底层,??如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_________

1

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4.从1开始的自然数中,把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排成一列,那么在这列数中,第99个数是 。

5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种

解:B设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,?,k+(n-1),由题意可知kn?n(n?1)?100,即n?2k??n?1???200. 2

因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同. 将200分解质因数,可

知n=5或n=8. 当n=5时,k=18;当n=8时,k=9. 共有两种不同方案.

6.观察下列图形:

①?? ②

③ ④

2

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根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为

解:根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为

4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161(个)

7.如图,一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A处,现顺时针方向移动这枚棋子10

次,移动规则是:第k次依次移动k个顶点.如第一次移动1个顶点,棋子停在顶点B

处,第二次移动2个顶点,棋子停在顶点D处.依这样的规则,在这10次移动的过程

中,棋子不可能停到的顶点是( )

(A) C,E,F (B) C,E,G (C) C,E (D) E,F 1+4+3×

解: 经实验或按下述方法可求得顶点C,E和F棋子不可能停到.

设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,因棋子移动了k次后走过的总格数是

1111?2?3????k?k?k?1?,应停在第k?k?1??7p格,这里p是整数,且使0≤k?k?1??7p≤6,分别取k=1,222

12,3,4,5,6,7,时,k?k?1??7p=1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋.若7<k≤10,设k?7?t2

11(t=1,2,3)代入可得,k?k?1??7p=7m?t?t?1?,由此可知,停棋的情形与k?t时相同.故第2,4,5格没22

有停棋,即顶点C,E和F棋子不可能停到.

8.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L形,那么在由4×5

个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是( )

(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64

答案:C (第8题)

解:每个2×2小方格图形有4种不同的画法,而位置不同的2×2 小方格图形共有12个,故画出不同位置的L形图

案个数是12×4=48.

9.将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列,处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时),或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数.现有一组数据共有100个数,其中有15个数在中位数和平均数之间,如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中,那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 .

解:如果平均数小于中位数,那么小于平均数的数据有35个;如果平均数大于中位数,那么小于平均数的数据有65

3

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个,所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35%或65%.

10.5个相异自然数的平均数为12,中位数为17,这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是( )

(A)21 (B)22 (C)23 (D)24

解:设这5个自然数从小到大排列依次为x1,x2,x3,x4,x5,则x3=17.当这5个自然数中最大一个x5的可能值最大时,其他3个自然数必取最小的可能值,x1=0,x2=1,x4=18,

此时x5=24.

11.钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分,以其中任意4个等分点为顶点作四边形,其中矩形的个数是( )

(A)10个 (B)14个 (C)15个 (D)30个

解:连结圆周上12个等分点,得6条直径,以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形,共15个矩形.

12.用标有1克,2克,6克,26克的法码各一个,在一架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置法码,那

么可以称出的不同克数(正整数的重物)的种数共有( )

(A)15种 (B)23种 (C)28种 (D)33种

解:(1)当天平的一端放1个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有1克,2克,6克,26克;

(2)当天平的一端放2个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有3克,7克,8克,27克, 28克,32克;

(3)当天平的一端放3个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有9克,29克,33克,34克;

(4)当天平的一端放4个砝码时,可以称量重物的克数有35克.

(5)当天平的一端放1个砝码,另一端也放1个砝码时,可以称量重物的克数有1克,4克,5克,20克,24克,25克;

(6)当天平的一端放1个砝码,另一端放2个砝码时,可以称量重物的克数有3克,5克,7克,18克,19克,21克,22克,23克,25克,27克,30克,31克;

(7)当天平的一端放1个砝码,另一端放3个砝码时,可以称量重物的克数有17 克,23克,31克,33克;

(8)当天平的一端放2个砝码,另一端也放2个砝码时,可以称量重物的克数有19克,21克,29克.

去掉重复的克数后,共有28种.

13.有一个英文单词由5个字母组成,如果将26个英文字母a,b,c,?,y,z按顺序依次对应0到25这26个整数,

那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x1,x2,x3,x4,x5.已知x1+3x2,4x2,x3+2x4,,5x4,6x4+x5 除以26所得的余数分别为15,6,20,9,9.则该英文单词是 .

答案:right,evght

?x1?3x2?26k1?15,?4x?26k?6,22??解:由题意得,?x3?2x4?26k3?20,(k1,k2,k3,k4,k5为非负整数).

?5x?26k?9,4?4

??6x4?x5?26k5?9.

4

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?x1?4,或17,??x2?8,或21,?由0≤x1,x2,x3,x4,x5≤25,可分析得出,?x3?6,

?x?7,?4

??x5?19.

14.六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表现展开图如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该

点的纵坐标.每掷一次该小立方体,就得到平面内一个点的坐标.已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l,且这条直线经过点P(4,7),那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是1 5 3 3 2 5 1

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( )

211(A)3 (B)2 (C)3

1(D) 6

15.已知A,B,C,D四人的体重均为整数千克,其中A最轻,其次是B,C,D,以他们中的两人为一组称得的体重如下

(单位:千克):

45, 49, 54, 55, 60, 64.

则D的体重为__________千克.

16.某班选举班干部,全班有50名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,?,50.老师规定:同意某

同学当选的记“1”,不同意(含弃权)的记“0”.

?1,第i号同学同意第j号同学当选,如果令ai,j=?其中i=1,2,?,50;j=1,2,?,50.则同时同意第1号和?2,第i号同学不同意第j号同学当选.

第50号同学当选的人数可表示为

(A)a1,1+a1,2+?+a1,50+a50,1+a50,2+?+a50,50

(B)a1,1+a2,1+?+a50,1+a1,50+a2,50+?+a50,50

(C)a1,1a1,50+a2,1a2,50+?+a50,1a50,50

(D)a1,1a50,1+a1,2a50,2+?+a1,50a50,50

( )

答案:C解:由题意得C正确.

17.以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中,正三角形的个数为__________.

解:正三角形的各边必为立方体各面的对角线,共有8个正三角形.

18.(本题满分14分)2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上,依次记为P1,P2,P3,?,P2007.小明用红色按如

下规则去涂这些点:设某次涂第i个质点,则下次就涂第i个质点后面的第i个质点.按此规则,小明能否将所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂点方案;若不能,请说明理由.

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解:不能.

理由:设继Pi点涂成红色后被涂到的点是第j号,则

j=?2i,2i?2007, ?2i?2007,2i?2007.?

若i=2007,则j=2007,即除P2007点涂成红色外,其余均没有涂到.

若i?2007,则2i?2007,且2i?4014,即2i-2007?2007,

表明P2007点永远涂不到红色.

19.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有T?kmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,d2

且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次(用t表示).

解:据题意,有t?

∴k?50?80k, 216032t. 5

因此,B、C两个城市间每天的电话通话次数为

80?10032t5t???. 25642320

20.从1,2….,205个共205 个正整数中,最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a,<b<c),都有ab≠c.

TBC?k?

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