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2008年全国初中数学竞赛(福建赛区)试题及参考答案

发布时间:2013-09-29 11:05:38  

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2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分,以下每道小题均给出了代号为A、B、

C、D的四个选项,期中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

4241、已知实数x,y满足4?2?3,y4?y2?3,则4?y4的值为( )。 xxx

A、7 B

、 C

D、5 [答]A

解:因为x2>0,y2≥0,由已知条件得

12??

y??, 2x422所以 4?y4=2?3?3?y2?2?y2?6?7 xxx

2、把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y?x2?mx?n的图象与x轴有两个不同交点的概率是( )。

54117A、 B、 C、 D、 129236

[答]C

解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数,由题意知

△=m2?4n>0,即m2?4n

17 通过枚举知,满足条件的m,n有17对,故p? 36

3、有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( )。

A、6条 B、8条 C、10条 D、12条

[答]B

解:如图,大圆周上有4个不同的点 A、B、C、D,两两连线可以确定6条不

同的直线;小圆周上的两个点E、F中,至

少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与 BD的交点,则它与A,B,C,D的连线中,

至少有两条不同于A,B,C,D的两两连线,

从而这6个点可以确定的直线不少于8条。 (第3题答案图)

当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线,

所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

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4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a<1,以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为( )。

D、a a B、1 C

、22

[答]B 解:如图,连接OE,OA,OB,设∠D=a,则 ∠ECA=120°-a=∠EAC 11又因为∠ABO=?ABD?(60??180??2a)?120??

a22(第4题答案图) 所以 △ACE≌△ABO,于是AE=OA=1

5、将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( )。

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

[答]D

解:设a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列, A

首先,对于a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与

已知条件矛盾。

又如果a1(1≤i≤3)是偶数,a1?1是奇数,则a1?2是奇数,这说明一个偶数后面一定要接

两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数。

所以a1,a2,a3,a4,a5只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:

2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;

4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1。

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6、对于实数u,v,定义一种运算“?”为:u?v=uv+v,若关于x的方程x?(a?x)??1

4

有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是 。

[答]a>0,或a<-1

11解:由x?(a?x)??,得(a?1)x2?(a?1)x??0, 44

?a?1?0, 依题意有? 解得,a>0,或a<-1 2???(a?1)?(a?1)?0,

7、小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固

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定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是

分钟。

[答]4。

解:设18路公交车的速度是x米/分,小王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s米。

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则6x?6y?s ①

每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则3x?3y?s ②

s由①,②可得s?4x,所以?4 x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。

8、如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是

∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为 。 [答]9。 F

解:如图,设点N是AC的中点,连接MN, C D M 则MN∥AB 又MF∥AD, A (第8题) 所以∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN, 1N 所以FN=MN=AB, 2

11C 因此FC=FN+NC=AB+AC=9。 D M 22(第8题答案图)

9、△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC,分别与AB、AC相交于点D,E,则DE的长为 16[答] 3

解:如图,设△ABC的三边长为a,b,c, 内切圆l的半径为r,BC边上的高为ha,则

11aha?S?ABC?(a?b?c)r, 22ra?所以 , haa?b?c,C 因为△ADE∽△ABC

haBC(第9题答案图)

h?rraa(b?c)?a?(1?)a?(1?)a?所以DE=a hahaa?b?ca?b?c

8?(7?9)16故 DE=?。 8?7?96

10、关于x,y的方程x2?y2?208(x?y)的所有正整数解为。

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?x?48,?x?160,[答]? ? ?y?32,?y?32

解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x,y都是偶数。

设:x?2a,y?2b,则a2?b2?104(a?b),

同上可知,a,b都是偶数,设a?2c,b?2d,则c2?d2?52(c?d),

所以,c,d都是偶数,设c?2s,d?2t,则s2?t2?26(s?t),

于是 (s?13)2?(t?13)2?2?132,其中s,t都是偶数。

所以 (s?13)2?2?132?(t?13)2?2?132?152?112

所以|s-13|可能为1,3,5,7,9,进而(t?13)2为337,329,313,289,257,故只能是(t?13)2

?s?6,?s?20,=289,从而|s-13|=7,于是? ? t?4;t?4,??

?s?48,?s?160,因此? ? y?32y?32,??

三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)

11、已知一次函数y1?2x,二次函数y2?x2?1,是否存在二次函数y3?ax2?bx?c,其图象经过点(-5,2),且对于任意实数x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1,y2,y3,都有y1?y2?y3成立?若存在,求出函数y3的解析式;若不存在,请说明理由。

解:存在满足条件的二次函数。

因为y1?y2?2x?(x2?1)??x2?2x?1??(x?1)2?0,所以,当自变量x取任意实数时,

y1?y2均成立。

由已知,二次函数y3?ax2?bx?c的图象经过点(-5,2),得

25a?5b?c?2 ①

当x?1时,有y1?y2?2,y3?a?b?c

由于对于自变量x取任实数时,y1?y3?y2均成立,所以有2≤a?b?c≤2,

故 a?b?c?2 ②

由①,②,得b?4a,c?2?5a,所以y3?ax2?4ax?(2?5a). ??5分

当y1?y3时,有2x?ax2?4ax?(2?5a),即ax2?(4a?2)x?(2?5a)?0

所以,二次函数y?ax2?(4a?2)x?(2?5a)对于一切实数x,函数值大于或等于零,故 ?a?0?a?0,1 即 所以 a???223(4a?2)?4a(2?5a)?0(3a?1)?0,??

当y3?y2时,有ax2?4ax?(2?5a)?x2?1,即(1?a)x2?4ax?(5a?1)?0,

所以,二次函数y?(1?a)x2?4ax?(5a?1)对于一切实数x,函数值大于或等于零,故 ?1?a?0,?a?1,1即所以 a???223(?4a)?4(1?a)(5a?1)?0,(3a?1)?0,??

141综上,a?,b?4a?,c?2?5a? 333

141所以,存在二次函数y3?x2?x?,在实数范围内,对于x的同一个值,都有333

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y1?y3?y2成立。 ?????15分

12、是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2?qx?p?0有有理数根? 解:设方程有有理数根,则判别式为平方数。

令△=q2?4p2?n2,其中n是一个非负整数,则(q?n)(q?n)?4p2,

?????5分

由于1?q?m?q?n且q?n与q?n同奇偶,故同为偶数。因此,有如下几种可能情形: ?q?n?2,?q?n?4,?q?n?p,?q?n?2p,?q?n?p2, ? ? ? ? ?22?q?n?2p,?q?n?p,?q?n?4p,?q?n?2p,?q?n?4.

p2p25p2消去n,解得q?p?1,q?2?,q?,q?2p,q?2? 222

?????10分

对于第1,3种情形,p?2,从而q?5;对于第2,5种情形,p?2,从而q?4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q是合数(不合题意,舍去)。

1又当p?2,q?5时,方程为2x2?5x?2?0,它的根为x1?,x2?2,它们都是有理数。 2

综上有述,存在满足题设的质数。 ??????15分

13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?证明你的结论。

解:存在满足条件的三角形。

当△ABC的三边长分别为a?6,b?4,c?5时,∠A=2∠B,

?????5分

如图,当∠A=2∠B时,延长BA至点D,使

AD=AC=b,连接CD,则△ACD为等腰三角形。

因为∠BAC为△ACD的一个外角,所以 C ∠BAC=2∠D,由已知,∠BAC=2∠B,所以

∠B=∠D,所以△CBD为等腰三角形。

又∠D为△ACD与△CBD的一个公共角,

有△ACD∽△CBD,于是 B D (第13题答案图) ADCDba,即 , ??CDBDab?c

所以a2?b(b?c). ??????10分

而62?4?(4?5),所以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形。

?????15分

说明:满足条件的三角形是唯一的。

若∠A=2∠B,可得a2?b(b?c),有如下三种情形;

(i)当a?c?b时,设a?n?1,c?n,b?n?1(n为大于1的正整数),

代入a2?b(b?c),得(n?1)2?(n?1)(2n?1),解得n?5,有a?6,b?4,c?5;

(ii)当c?a?b时,设c?n?1,a?n,b?n?1(n为大于1的正整数),

代入a2?b(b?c),得n2?(n?1)?2n,解得n?2,有a?2,b?1,c?3,此时不能构成三角形;

(iii)当a?b?c时,设a?n?1,b?n,c?n?1(n为大于1的正整数),

代入a2?b(b?c),得(n?1)2?n(2n?1),即n2?3n?1?0,此方程无整数解。

所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形

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存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件。

14、已知有6个互不相同的正整数a1,a2,?,a6,且a1?a2???a6,从这6个数中任意取

123出3个数,分别设为ai,aj,ak,其中i?j?k,记f(i,j,k)???。 aiajak

证明:一定存在3个不同的数组(i,j,k),其中1?i?j?k?6,使得对应着的3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5。

证明:在6个正整数中任意取出3个数共有20种取法,从而确定了20个数组(i,j,k),

12312313由于0?f(i,j,k)??????? ????5分 aiajak3213

13分成如下9个部分; 3

1133550?x?,?x?1,1?x?,?x?2,2?x?,?x?3, 222222

77133?x?,?x?4,4?x? ?????10分 223

由于20=9×2+2,由抽屉原则知,在上述9个部分中,一定有一个至少含有3个f(i,j,k),从而,这3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5。

?????15分 把数轴上的点0到点

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