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2014年全国数学联赛

发布时间:2014-06-30 15:27:25  

2014全国高中数学联赛贵州省初赛试题

(本试卷满分150分,考试时间:150分钟)

题号

得分

评卷人复核人

得分评卷人一二合计总成绩

???????41.在?ABC中,已知AB?AC=2AB?CB,若cosA=?,则tanB=5一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分. .

2.桌面上放着3个半径为2014的球,两两相切,在它上方的空隙里放入一个球使其顶点(最高处)恰巧和3个球的顶点在同一平面上,则该球的半径等于 .

xi3.已知函数f(x)=2014+log2014?(n≥2且n∈N*),则?f(?)=1-xni=1n-1 .

4.某种电路开关闭合后,会出现闪动的红灯或绿灯。已知开关第一次闭合,出现红灯和1出现绿灯的概率都是?,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率2123是?,出现绿灯的概率是?;若前次出现绿灯,则下次出现红灯的概率是?,出现绿灯的3352概率是?,则开关第3次闭合后出现红灯的概率是 .5

abc5.已知a,b,c∈[0,1],则?+?+?取值范围是bc+1ca+1ab+1 .

π6.已知x∈(0,?),则函数y=2sin3x+cos4x的最小值是2 .

7.已知函数f(x)=x2ex与g(x)=2xex+a的图象有且只有三个交点,则实数a的取值范围是 .

1e8.对任意n∈N*,任意a∈[1,2],都有(1+?)≤ax2-2x+e-3a恒成立(注:e为自然n

对数的底数),则实数x的取值范围是 .

得分评卷人

二、综合题:本大题共3小题,共56分.

9.(本小题满分16分)

已知数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

n?2n(n+1)(4-1)2(2)设数列{?n(an+1)}的前n项和为Sn,求证:Sn≤?.3

10.(本小题满分20分)1a?已知函数f(x)=x2+ax+?++b(x∈R,且x≠0),若实数a,b使得f(x)=0有实x2x根,求a2+b2的最小值.

11.(本小题满分20分)

y2x2?1?已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为?,点F1、F2分别为其左、右焦点,其右ab2?焦点F2到点E(-2,-1)的距离为?10,一动圆过点F2,且与直线x=-1相切,记动圆圆

心的轨迹为G.????????????(1)在轨迹G上有两点M、N,椭圆C上有两点P、Q,满足MF2//NF2,PF2//QF2,且??????MF2⊥PF2,求四边形PMQN面积的最小值.

(2)过点F1且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,问直线y=x上是否存??????3k+36在点D,使得AD?BD+?是与k无关的常数?16k2+12

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