haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

全国初中数学竞赛试题及答案大全(1998-2013)

发布时间:2014-07-01 15:34:08  

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题:(每小题6分,共30分)

1、已知a、b、c都是实数,并且a?b?c,那么下列式子中正确的是( )

(A)ab?bc(B)a?b?b?c(C)a?b?b?c(D)ab? cc

2、如果方程x2?px?1?0?p?0?的两根之差是1,那么p的值为( )

(A)2(B)4(C)3(D)5

3、在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( )

(A)12(B)14(C)16(D)18

4、已知abc?0,并且a?bb?cc?a???p,那么直线y?px?p一定通过第( )cab

象限

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

5、如果不等式组??9x?a?0的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b的

?8x?b?0

有序数对(a、b)共有( )

(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个

二、填空题:(每小题6分,共30分)

6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。

7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x2相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax?3a?8ax?2a?13a?15?0(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处,两船相距2km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是___________km。

22?2?2

第1页

三、解答题:(每小题20分,共60分)

11、如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=900,点

E为腰AC中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△

CEF的面积。

212、设抛物线y?x??2a?1?x?2a?A5的图象与x轴4BFC

只有一个交点,(1)求a的值;(2)求a18?323a?6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

(1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数关系式,并求W的最大值和最小值。

(2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。

解 答

1.根据不等式性质,选B..

2.由△=p2-4>0及p>2,设x1,x2为方程两根,那么有x1+x2=-p,x1x2=1.又由

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,

第2页

3.如图3-271,连ED,则

又因为DE是△ABC两边中点连线,所以

故选C.

4.由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c),所以有p=2或a+b+c=0. 当p=2时,y=2x+2,则直线通过第一、二、三象限.

线通过第二、三、四象限. y=-x-1,则直

综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限.故选B.,

如图3-272.

的可以区间,

第3页

+1,3×8+2,3×8+3,??3×8+8,共8个,9×8=72(个).故选C.

6.如图3-273,过A作AG⊥BD于G.因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,所以PE+PF=AG.因为AD=12,AB=5,所以BD=13,所

7.如图3-274,直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1,1),B(-3,9).作AA1,BB1分别垂直于x轴,垂足为A1,B1,所以

第4页

8.如图3-275,当圆环为3个时,链长为

当圆环为50个时,链长为

9.因为a≠0,解得

故a可取1,3或5.

第5页

10.如图3-276,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1,

A1C=|10-x|,B1C=|10-2x|,

所以

11.解法1如图3-277,过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D.因为

∠ABE+∠AEB=90°,

∠CED+∠AEB=90°,

所以 ∠ABE=∠CED.

于是Rt△ABE∽Rt△CED,所以

又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等,所以

第6页

所以

解法2 如图3-278,作FH⊥CE于H,设FH=h.因为

∠ABE+∠AEB=90°,

∠FEH+∠AEB=90°,

所以 ∠ABE=∠FEH,

于是Rt△EHF∽Rt△BAE.因为

所以

第7页

12.(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程

有两个相等的实根,于是

(2)由(1)知,a2=a+1,反复利用此式可得

a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2,

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13,

a16=(21a+13)2=441a2+546a+169

=987a+610,

a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610

=2584a+1597.

第8页

因为a2-a-1=0,所以64a2-64a-65=-1,即

(8a+5)(8a-13)=-1.

所以

a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.

13.(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10.于是

W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x+17200.

W=-800x+17200(5≤x≤9,x是整数).

由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元;当x=5时,W取到最大值13200元.

(2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别为10-x,10-y,x+y-10.于是

W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y+17200.

第9页

W=-500x-300y+17200,

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18+17200=9800.

当x=10,y=8时,W=9800,所以W的最小值为9800.又 W=-200x-300(x+y)+17200

≤-200×0-300×10+17200=14200,

当x=0,y=10时,W=14200,所以W的最大值为14200.

1999年全国初中数学竞赛试卷

第10页

一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B, C,D的四个结论,其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里)

1.一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是( ).

A.11 B.12 C.13 D.14

2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么4月份该用户应交煤气费( ).

A.60元 B.66元 C.75元 D.78元

3.已知,那么代数式的值为( ).

A. B.- C.- D.

4.在三角形ABC中,D是边BC上的一点,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面积是( ).

A.30 B.36 C.72 D.125

5.如果抛物线与x轴的交点为A,B,项点为C,那么三角形ABC的面积的最小值是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

6.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得△PCD与△BCD的面积相等,并且△ABP为等腰三角形,这样的不同的点P的个数为( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)

7.已知,那么x2 + y2的值为 .

8.如图1,正方形ABCD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上,且EB=10cm,点P在边DC上运动,EP与AB的交点为F.设DP=xcm,△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2,那么,y与x之间的函数关系式是 (0<x<10).

第11页

9.已知ab≠0,a2 + ab-2b2 = 0,那么的值为 .

10.如图2,已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中,A,B两点在第Ⅰ象限内,OA与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是

11.设有一个边长为1的正三角形,记作A1(如图3),将A1的每条边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4);将A2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3(如图5);再将A3的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A4,那么A4的周长是 .

12.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等.如果用两 台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机 台.

三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)

13.设实数s,t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0,t2 + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求

值.

第12页

14.如图6,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径,对角线AC

和BD的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.

15.有人编了一个程序:从1开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法)每次加法,将上次的运算结果加2或加3;每次乘法,将上次的运算结果乘2或乘3.例如,30可以这样得到:

(1)(10分)证明:可以得到22;

(2)(10分)证明:可以得到2100 + 297-2.

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D

二、7.10 8.y = 5x + 50 9. 10. 11. 12.6

三、13.解:∵s≠0,∴第一个等式可以变形为:

又∵st≠1, .

∴,t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根,于是,有 .

即st + 1 =-99s,t = 19s.

第13页

14.解:设圆心为O,连接BO并延长交AD于H.

∵AB=BD,O是圆心, ∴BH⊥AD. 又∵∠ADC=90°, ∴BH∥CD. 从而△OPB∽△CPD.

∴CD=1.

于是AD= 又OH= AB= BC=

所以,四边形ABCD的周长为

15.证明: (1)

也可以倒过来考虑:

(或者 (

2

.)

CD=

,于是

, .

或倒过来考虑:

第14页

注意:加法与乘法必须是交错的,否则不能得分.

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题(只有一个结论正确)

第15页

1、设a,b,c的平均数为M,a,b的平均数为N,N,c的平均数为P,若a>b>c,则M与P的大小关系是( )。

(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。

a?b?ca?bN?ca?b?2ca?b?2c?,N=,P=,M-P=, 322212答:(B)。∵M=

∵a>b>c,∴a?b?2cc?c?2c?0,即M-P>0,即M>P。 >1212

2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a千米,休息了一段时间,又原路返回b千米(b﹤a),再前进c千米,则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是( )。

答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后S的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )。

(A)甲比乙大5岁;(B)甲比乙大10岁;(C)乙比甲大10岁;(D)乙比甲大5岁。

第16页

答:(A)。由题意知3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。

595x?平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,444、一个一次函数图象与直线y=

并且过点(-1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。

(A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。

答:(B)。在直线AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是x=-1+4N,y=-25+5N,(N是整数).在线段AB上这样的点应满足-1+4N>0,且-25+15N≤0,∴≤N≤5,即N=1,2,3,4,5。 4

5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长,且

关系是( )。 aa?b?,则它的内角∠A、∠B的ba?b?c

(A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

第17页

答:(B)。由aa?bab?得?,延长CB至D,使BD=AB,于是CDba?b?cba?c

=a+c,在△ABC与△DAC中,∠C为公共角,且BC:AC=AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,△A1B1C1的三边长分别为a1,b1,C1面积为S1,且a>a1,b>b1,c>c1则S与S1的大小关系一定是( )。

(A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。

答:(D)。分别构造△ABC与△A1B1C1如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然

,即S>S1;②设,则,S=10,

,则S1=

,则×100>10,即S<S1;③设,S=10,,则

,S1=10,即S=S1;因此,S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知:,那么=________。

第18页

答:1。∵,即。∴

8、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6

=120°,则梯形ABCD的面积等于________。 ,∠BCD=45°,∠BAD

答:66+6

=6(平方单位)。作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC,∠BCD=45°,得AE=BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,

,AB=EF=8,DC=2+8+6=14+2,∴因为AE=6得DE=2

9、已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有________个。

第19页

答:5。①当时,;②当时,易知是方程的一个整数根,再由

②得符合条件的整数且是整数,知有5个。 ,∴;由①、

10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答:2.4米。作PQ⊥BD于Q,设BQ=米,QD=米,PQ=米,由AB∥PQ∥CD,得及,两式相加得,由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。(注:由上述解法知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关。)

11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线

恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么=________。

第20页

答:。直线通过点D(15,5),故BD=1。当时,直线

通过

等的两部分。 ,两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相

12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是________。

(注:×100%)

答:17%。设原进价为元,销售价为元,那么按原进价销售的利润率为×100%,原进价降低6.4%后,在销售时的利润率为

题意得: ×100%,依

×100%+8%=×100%,解得=1.17,故这种商品

原来的利润率为

三、解答题 ×100%=17%。

13、设是不小于的实数,使得关于的方程

。 有两个不相等的实数根

第21页

(1)若,求的值。

(2)求的最大值。

解:因为方程有两个不相等的实数根,所以

,∴

。 。根据题设,有

(1)因为

,即

由于,故。

(2)

第22页

上是递减的,所以当

为10。 时,取最大值10。故的最大值

14、如上图:已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=2AE,且BD=2,求四边形ABCD的面积。 解:由题设得AB2=2AE2=AE·AC,∴AB:AC=AE:AB,又∠EAB=∠BAC,

∴△ABE∽△ACB,∴∠ABE=∠ACB,从而AB=AD。连结AD,交BD于H,则BH=HD=3。

∴OH==1,AH=OA-OH=2-1=1。

第23页

, ,∵E是AC的中点,∴

,∴,∴。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

解:易知,这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上,设住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,交换两人上楼方式,其余的人不变,则不满意总分不增,现分别考虑如下: 。设电梯停在第层。

①当时,若住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,则

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总

。 这两者不满意总分为分也为

第24页

②当时,若住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,则

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为这两者不满意总分为

③当时,若住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,则

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为

。 这两者不满意总分为,前者比后者多

④当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为

。 ,两者不满意总分为前者比后者多

⑤当时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则

;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为

。 这两者不满意总分为,前者比后者多

今设电梯停在第层,在第一层有人直接走楼梯上楼,那么不满意总分为:

第25页

当x=27,y=6时,s=316。

所以,当电梯停在第27层时,这32个人不满意的总分达到最小,最小值为316分。

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷

姓名一、 选择题(30分)

1、化简2n?4?2(2n)

2(2n?3),得( )

(A)2n?1?17

8 (B) ?2n?1 (C) 8 (D)7

4

2、如果a,b,c是三个任意整数,那么a?b

2,b?c

2,c?a

2 (

(A)都不是整数 (B)至少有两个整数

有一个整数 (D)都是整数

第26页 ) C)至少 (

3、如果a,b是质数,且a2?13a?m?0,b2?13b?m?0,那么?的值为( )

(A)123125125123或2 (C)或2 (B) (D)22222222baab

4、如图,若将正方形分成k个全等的矩形,其中上、

下各横排两个,中间竖排若干个,则k的值为( ) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12

5、如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB

交于点D,且PB=4,PD=3,则AD?DC等于( (A)6 (B)7 (C)12 (D)16 C

A B

6、若a,b是正数,且满足12345?(111?a)(111?b),则a和b之间的大小关

系是( )

(A)a?b (B)a?b (C)a?b (D)不能确定

二、 填空题(30分)

7、已知:x?3?2

3?2,y??2

?2。那么yx?? x2y2

8、若x2?xy?y?14,y2?xy?x?28,则x?y的值为

9、用长为1,4,4,5的线段为边作梯形,那么这个梯形的面积等

第27页

10、销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就将减少m。150为了使该商品的销售总金额最大,那么m的值应该确定为

11、在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标x?

12、已知实数a,b满足a2?ab?b2?1,且t?ab?a2?b2,那么t的取值范围是

三、 解答题(60分)

13、某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中,分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环?(每次射击所得环数都精确到0.1环)

14、如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交ST于点C。 第28页

求证:1111?(?.

PC2PAPB

15、已知:关于x的方程

(a2?1)(x2x)?(2a?7)(?11?0 x?1x?1

有实根。

(1) 求a取值范围;

(2) 若原方程的两个实数根为x1,x2,且

,

x1x3?2?,求a的值。 x1?1x2?111

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(每小题5分,共30分)

1、设a<b<0,a2+b2=4ab,则a?b的值为 a?b

A、 B、6 C、2 D、3

2、已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为

A、0 B、1 C、2 D、3

3、如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则

等于 S四边形AGCDS矩形ABCD

54D B、 65

32C、 D、 43AA、CGBF

第29页

4、设a、b、c为实数,x=a2-2b+???,y=b2-2c+,z=c2-2a+,则x、y、z中至少333

有一个值

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5、设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1、x2,且x1<1<x2,那么a的取值范围是

222<a< B、a> 557

22C、a<? D、?<a<0 711A、?

6、A1A2A3?A9是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则A1A5等于

A、a?b B、a?ab?b

C、22221?a?b? D、a+b 2

二、填空题(每小题5分,共30分)

7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,

则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为

8、已知a、b为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x轴交点的横坐标,a<b,则a?c?c?b的值为 。

9、如图,在△ABC中,∠ABC=600,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB= 。

A

BA P

B

10、如图,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4,

这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。

+11、满足(n2-n-1)n2=1的整数n有 ___________个。

12、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可以用p表示为 。

第30页

三、解答题(每小题20分,共60分)

23天完成,需付180000元;由乙、丙两队承包,354

6天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元。现在工程由一个713、某项工程,如果由甲、乙两队承包,2

队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

14、如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,设AD与CE的交点为P。

(1) 求证:QDAC? EDECAB

Q

EDCCPAC2F?(2)求证: 2PECE

15、如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方)。 证明:(1)2a、2b、c都是整数;

(2)a、b、c都是整数,并且c是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填,得零分)

5x2?2y2?z2

1.若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则2的值等于 ( ). 2x?3y2?10z2

第31页

(A) ?119 (B) ? (C) ?15 (D) ?13 22

2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内)。如果所寄一封信的质量为72.5g,那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元

3.如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ).

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

C DE BA A F D C O B (第3题图) (第4题图)

4.四条线段的长分别为9,5,x,1(其中x为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如上图),则x可取值的个数为( ).

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知x?1?,那么

7.若实数x,y,z满足x?

8.观察下列图形:

第32页 111?2??. x?2x?4x?21117?4,y??1,z??,则xyz的值为. zx3y

① ② ③ ④

根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 .

9.如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,

它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC

上,如果CD与地面成45o,∠A=60o CD=4m,

BC=46?22m,则电线杆AB的长为

_______m.

??(第9题图)

10.已知二次函数y?ax2?bx?c(其中a是正整数)的图象经 过点A(-1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.

解:

第33页 (第11题图)

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.

CD2?BD2AD?BD

?(1)当点D在斜边AB内部时,求证:. 2

BCAB

第34页

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

B

14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求a?b?c的最小值.

第35页 CD

A

注:13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA2?PB2?PC2的值.

解:

(第13A题图)

P 第36页

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,?,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)

6 1

5 4 3

(2)

第37页

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题(每小题6分,满分30分)

1.D

?4x?3y?6z?0,?x?3z,由? 解得? 代入即得. x?2y?7z?0,y?2z.??

2.D

因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元). 3.C

如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°, 而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

A G

A B

D

C O F M C

N B

4.D 显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x。

(1)若AB=9,当CD=x时,92?x2?(1?5)2,x?3;

当CD=5时,92?52?(x?1)2,x?2?1;

当CD=1时,92?12?(x?5)2,x?45?5.

(2)若AB=x,当CD=9时,x2?92?(1?5)2,x?3;

当CD=5时,x2?52?(1?9)2,x?55;

当CD=1时,x2?12?(5?9)2,x?.

故x可取值的个数为6个.

5.B

设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,

n(n?1)?100,即n?2k??n?1???200. k+2,?,k+(n-1),由题意可知kn?2

因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的 第38页

奇偶性不同. 将200分解质因数,可知n=5或n=8. 当n=5时,k=18;当n=8时,k=9. 共有两种不同方案.

6.?. 2

?3111?41?3???2??2?2?2=。 2x?2x?4x?2x?4x?4x?4(1?3)2?4

7.71?11z?x?7x?3, 因为4?x??x??x??x?171yz?14x?31???1z3x

所以 4(4x?3)?x(4x?3)?7x?3,

3. 2

71725132从而 z?????,y?1??1??. 3x333z55

325于是 xyz????1. 253

8.根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为 解得 x?

1+4+3×4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161(个).

9.62.

如图,延长AD交地面于E,过D作

DF⊥CE于F.

因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,

所以CF=DF=22m, EF=DFtan60°=26(m). 因为

AB,所以AB?BE??62(m). ?tan30??3BE3

10.

?a?b?c?4,由于二次函数的图象过点A(-1,4),点B(2,1),所以? ?4a?2b?c?1,

第39页

?b??a?1,解得 ? c?3?2a.?

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以??b2?4ac?0,

(?a?1)2?4a(3?2a)?0,即(9a?1)(a?1)?0,由于a是正整数,故a?1, 所以a≥2. 又因为b+c=-3a+2≤-4,且当a=2,b=-3,c=-1时,满足 题意,故b+c的最大值为-4.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC

是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作

DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问

EP与PD是否相等?证明你的结论.

解:DP=PE. 证明如下:

因为AB是⊙O的直径,BC是切线,

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC,得

EPAE? . ① ??(6分) BCAB

又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC. EDAEAE2AE故 ② ??(12分) ???1BCOBABAB2

由①,②得 ED=2EP.

所以 DP=PE. ??(15分)

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:从A城出发到达B城的路线分成如下两类:

第40页

(1)从A城出发到达B城,经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时,从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为26+22=48(小时). ??(5分)

(2)从A城出发到达B城,不经过O城. 这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至

少为49小时. ??(10分)

综上,从A城到达B城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为: A→F→O→E→B. ??(12分) 所需的费用最少为:

80×48×1.2=4608(元)?(14分) 答:此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B,所需的费用最少为4608元 ??(15分)

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.

CD2?BD2AD?BD

?(1)当点D在斜边AB内部时,求证:. 2

BCAB

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

解:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得

CE

CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)?CE?BE?(CE?BE)BC.

CD2?BD2CE?BECEBE

???所以 .

BCBCBCBC2

2

2

B

D

A

因为DE∥AC,所以

CEADBEBD

?,?. BCABBCAB

CD2?BD2ADBDAD?BD???故 . ??(10分) 2

ABABABBC

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有

第41页

AD=0,CD=AC,BD=AB.

CD2?BD2AC2?AB2?BC2

????1, 所以 222BCBCBC

AD?BD?AB???1. ABAB

从而第(1)小题中的等式成立. ??(13分)

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立.

作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则

CD2?BD2CE2?BE2

?BC2BC2 CE?BE2CE????1?,BCBC

AD?BD?AB???1, 而ABABB E A D

CD2?BD2AD?BD?所以 . ??(15分) ABBC2

〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清 者不扣分).

14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求a?b?c的最小值.

解:(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0,

4且b+c=2-a,bc?. a

4于是b,c是一元二次方程x2?(2?a)x??0的两实根, a

4??(2?a)2?4?≥0, a

a3?4a2?4a?16≥0,(a2?4)(a?4)≥0. 所以a≥4. ??(8分) 又当a=4,b=c=-1时,满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4. ??(10分)

(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

1)若a,b,c均大于0,则由(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这与 第42页

a+b+c=2矛盾.

2)若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则

a?b?c?a?b?c?a?(2?a)?2a?2,

由(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。故a?b?c的最小值为6. ??(15分)

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求 PA2?PB2?PC2

的值.

解:设方程x2?2(k?2)x?k?0的两个根

为x1,x2,x1≤x2.由根与系数的关系得 P

x1?x2?4?2k, ①

x1x2?k. ② 由题设及①知,x1,x2都是整数. 从①,②消去k,得

2x1x2?x1?x2?4,

(2x1?1)(2x2?1)?9.

由上式知,x2?4,且当k=0时,x2?4,故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.

因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4. ??(6分)

连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,

PAPC?。 PBPA

故 PA2?PB(PB?BC) ③ ??(10分)

第43页

(1)当BC=1时,由③得,PA2?PB2?PB,于是

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(2)当BC=2时,由③得,PA2?PB2?2PB,于是

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(3)当BC=3时,由③得,PA2?PB2?3PB,于是

(PA?PB)(PA?PB)?3PB,

由于PB不是合数,结合PA?PB?PA?PB,故只可能

?PA?PB?1,?PA?PB?3, ???PA?PB?3PB,?PA?PB?PB,

?PA?2,解得 ? PB?1.?

此时 PA2?PB2?PC2?21. ?PA?PB?PB, ??PA?PB?3,

(4)当BC=4,由③得,PA2?PB2?4PB,于是

(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2,矛盾.

综上所述

PA2?PB2?PC2?21. ……(15分)

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,?,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)答案是肯定的. 具体操作如下:

??(5分)

(2)答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ??(7分)

开始时,P0=1×2+2×3+3×4+?+2002×2003+2003×1,经过k(k≥0)次操作后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk,此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1,有

Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0.

所以Pk?1?Pk??1,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有(a?d)(b?c)≤0. ?

2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

第45页

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1. 已知实数a?b,且满足(a?1)2?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1)2.则b

的值为( ).

(A)23 (B)?23 (C)?2 (D)?13

答:选(B)

∵ a、b是关于x的方程 ba?aab

?x?1?2?3(x?1)?3?0

的两个根,整理此方程,得

x2?5x?1?0,

∵ ??25?4?0,

∴ a?b??5,ab?1.

故a、b均为负数. 因此 babaa2?b2

b?a??ab?ab??ababab2?a?b??2abab????23. ab

2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有 ( ).

111111a2?b2?2h2 (A)ab?h2 (B)?? (C)2?2?2 (D)abhabh

答:选(C)

∵ a?h?0,b?h?0,

∴ ab?h2,a2?b2?h2?h2?2h2;

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

111设斜边为c,则有a?b?c,(a?b)h?ch?ab,即有 222

111??, abh

因此,结论(B)也不正确.

第46页

由11111a2?b2h?ab化简整理后,得2?2?2, 22abh

因此结论(C)是正确的.

3.一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点为(4,?11),且与x轴的两个交点的横坐

标为一正一负,则a、b、c中为正数的( ).

(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b

答:选(A)

由顶点为(4,?11),抛物线交x轴于两点,知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,即为方程

ax2?bx?c?0

的两个根.

c?0,所以c?0. a

b?0,知b<0. 根据对称轴x=4,即有?2a由题设x1x2?0,知

故知结论(A)是正确的.

4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距离之比为

1:2. 若△ABC的面积为32,△CDE的

面积为2,则△CFG的面积S等于 ( ).

(A)6 (B)8

(C)10 (D)12

答:选(B)

由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CD?CA

又由题设知FD1?,所以 FA2S?CDE21??, S?CAB324

FD1?, AD3

1131FD?AD??AC?AC, 3344

故FD?DC,于是

第47页

S?CDE?1?1????,S?CFG?8. S?CFG?2?42

因此,结论(B)是正确的.

5.如果x和y是非零实数,使得

x?y?3和xy?x3?0,

那么x+y等于( ).

(A)3 (B) (C)

答:选(D) 将y?3?x代入xy?x3?0,得x3?x2?3x?0.

(1)当x>0时,x3?x2?3x?0,方程x2?x?3?0无实根;

(2)当x<0时,x3?x2?3x?0,得方程x2?x?3?0 解得x?1?1?,正根舍去,从而x?. 22

1?7?. ?221? (D)4? 2于是y?3?x?3?

故x?y?4?.

因此,结论(D)是在正确的.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,

?BAD?60?,则?EDC?(度).

答:30°

解:设?CAD?2?,由AB=AC知

1?B?(180??60??2?)?60???, 2

?ADB?180???B?60??60???,

由AD=AE知,?ADE?90???,

所以?EDC?180???ADE??ADB?30?. 7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T

与这两个城市的人口数 第48页

m、n(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有T?kmn的关系(k为d2

常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为次(用t表示). t答: 2

50?80k, 解:据题意,有t?1602

32∴k?t. 5

因此,B、C两个城市间每天的电话通

话次数为

TBC?k?80?10032t5??

2

56423208.已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2,ax?by?5,则(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?.

答:?5

解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4,

∵ ax?by?5,

∴ ay?bx??1.

因而,(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?(ay?bx)(ax?by)??5.

9. 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC (BC>AD),

?D?90?,BC=CD=12, ?ABE?45?,若AE=10,

则CE的长为.

答:4或6

解:延长DA至M,使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM,

G为垂足.易知四边形BCDG为正方形, 所以BC=BG.

又?CBE??GBM,

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE,?ABE??ABM?45?,

∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.

第49页

设CE=x,则AG=10?x,AD=12?(10?x)?2?x,DE=12?x.

在Rt△ADE中,AE2?AD2?DE2,

∴ 100?(x?2)2?(12?x)2,

即x2?10x?24?0,

解之,得x1?4,x2?6.

故CE的长为4或6.

10.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是13答: 3

解:∵ x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z2?5z?3,

∴ x、y是关于t的一元二次方程

t2?(5?z)t?z2?5z?3?0

的两实根.

∵ ??(5?z)2?4(z2?5z?3)?0,即

3z2?10z?13?0,(3z?13)(z?1)?0.

13113,当x?y?时,z?. 333

13故z的最大值为. 3∴ z?

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中). 当0?x?10时,图象是抛物线的一部分,当10?x?20和20?x?40图象是线段.

(1)当0?x?10时,求注意力指标数y与时

间x的函数关系式;

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老

第50页

师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36. 解:(1)当0?x?10时,设抛物线的函数关系式为y?ax2?bx?c,由于它的图象经过点(0,20),(5,39),(10,48),所以

?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?

124解得,a??,b?,c?20. 55所以

124y??x2?x?20,0?x?10. ???????(5分) 55

7(2)当20?x?40时,y??x?76. 5

124x?20, 所以,当0?x?10时,令y=36,得36??x2?55

解得x=4,x?20(舍去);

7当20?x?40时,令 y=36,得36??x?76,解得 5

2004x??28. ????????(10分) 77

44因为28?4?24?24,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数77

不低于36时,讲授完这道竞赛题. ????????(15分)

12.已知a,b是实数,关于x,y的方程组

?y?x3?ax2?bx, ?y?ax?b?

有整数解(x,y),求a,b满足的关系式.

解:将y?ax?b代入y?x3?ax2?bx,消去a、b,得

y?x3?xy, ?????????(5分)

(x?1)y?x3.

若x+1=0,即x??1,则上式左边为0,右边为?1不可能. 所以x+1≠0,于是

第51页

x31y??x2?x?1?. x?1x?1

因为x、y都是整数,所以x?1??1,即x??2或x?0,进而y=8或y?0. 故

?x??2?x?0 ? 或 ? ?????????(10分) y?8y?0??

?x??2当?时,代入y?ax?b得,2a?b?8?0;

?y?8

?x?0当?时,代入y?ax?b得,b?0.

?y?0

综上所述,a、b满足关系式是2a?b?8?0,或者b?0,a是任意实数.

?????????(15分)

13.D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使

PB得?ADP??ACB,求的值. PD

解:连结AP,则?APB??ACB??ADP,

所以,△APB∽△ADP, ??????????(5分) ABAP?∴, APAD

所以AP2?AB?AD?3AD2, ∴AP?AD, ??????????(10分) 所以PBAP??. ??????????(15分) PDAD14.已知a?0,b?0,c?0,且b2?4ac?b?2ac,求b2?4ac的最小值. 解:令y?ax2?bx?c,由a?0,b?0,c?0,判别式

??b2?4ac?0,所以这个二次函数的图象是一条开口向

B

(x2,0),下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0),

因为x1x2?c?0,不妨设x1?x2,则x1?0?x2,对称轴a

第52页

x??b?0,于是 2a

?b?b2?4acb?b2?4acx1???c, ??????(5分) 2a2a

4ac?b2b?b2?4acb2?4ac所以, ???????(10分) ?c???4a2a2a

故b2?4ac?4,

当a??1,b=0,c=1时,等号成立.

所以,b2?4ac的最小值为4. ?????????(15分)

2005年全国初中数学竞赛试卷

1.如图a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm,操作:⑴将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c,则△GFC的面积为( )

EB(E)DDB(E)DAAA

CBFFCFC 图a图c图b

A.2 B.3 C.4 D.5

2.若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数),则M的值一定是( )

A.正数 B.负数 C.零 D.整数

3.已知点I是锐角△ABC的内心,A1,B1,C1分别是点I关于边BC,CA,AB的 第53页

对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

111?2?),则与A最接近的正整数是( ) 4.设A?48?(223?44?4100?4

A.18 B.20 C.24 D.25

125.在自变量x的取值范围59≤x≤60内,二次函数y?x?x?的函数值中整数的个数是( ) 2

A.59 B.120 C.118 D.60

二、填空题(满分30分) 6.在一个圆形的时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整,则经过_____秒后,△OAB的面积第一次达到最大。

37.在直角坐标系中,抛物线y?x2?mx?m2(m?0)与x轴交于A,B的两点。若4

112??,则m=_____. A,B两点到原点的距离分别为OA,OB,且满足OBOA3

8.有两幅扑克牌,每幅的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,2,3,?,J,Q,K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起,然后从一到下把第一张丢去,把第二张放在最底层,再把第三张丢去,把第四张放在底层,??如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_________

9.已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。

连结AD和BE,它们交于点P。过P分别作PQ∥CA,

PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q,R,则△PQR的

面积与△ABC的面积的比是________ 10.已知x1,x2,x3,?x19都是正整数,且x1+x2+x3+?+x19=59,

x12+x22+x32+?+x192的最大值为A,最小值为B,则A+B

的值等于_________。

三、解答题、(满分60分)

11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h

。试设计两种方 第54页 B

案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

12.如图,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD,设P,Q,K分别是BC,BD,CD的中点。M,N分别是弧BC和弧BD的中点。求证:(1)BPNQ (2) ①△KPM∽△NQK ?MPBQ

C D

Q

NM 第14题图

13. .已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p-10q)x+5pq=0 至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).

14.从1,2….,205个共205 个正整数中,最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a,<b<c),都有ab≠c.

第55页

2006年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2006年4月2日上午 9∶30-11∶30 满分120分

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

2.已知m?1?2,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则QC的值为( ) QAC (A)2?1

(B)2 B

第56页

(第5题图)

(C)?2

(D)3?2

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大

值为 .

7.如图,面积为ab?c的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,

且b不能被任何质数的平方整除,则

等于 . a?c的值 bG (第7题图)

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→?方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

1??2?29???9.已知0<a<1,且满足?a????a??????a???18,则?10a?的值等于 30??30?30???

.(?x?表示不超过x的最大整数)

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知x?b,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约数a

为1),且a≤8,2?1?x?3?1.

(1) 试写出一个满足条件的x;

(2) 求所有满足条件的x.

第57页

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.

C

(第13题)

第58页

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.

第59页

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

答:C.

解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处.

故选C.

2.已知m?1?2,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

答:C.

22解:由已知可得m?2m?1,n?2n?1.又

(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=-9

故选C.

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

第60页 2

(A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

答:B.

解:设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则点B的坐标为 (-a,a2),由勾股定理,得AC2?(c?a)2?(c2?a2)2,

BC2?(c?a)2?(c2?a2)2, AC2?BC2?AB2

所以 (a2?c2)2?a2?c2.

由于a2?c2,所以a2-c2=1,故斜边AB上高h= a2-c2=1

故选B.

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

答:B.

解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34= k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°.所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得k≥2005.

当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形??如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了 58+33+33×58=2005(刀).

第61页

故选B.

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则

QC

的值为( ) QA

C

(A)2?1 (B)2 (C)?

2

(第5题图)

B

(D)?2 答:D.

解:如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r

QA=r-m.

在⊙O中,根据相交弦定理,得QA·QC=QP·QD. 即 (r-m)(r+m)=m·QD ,所以 QD=

(第5题图)

C

r?m

. m

22

B

连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,

?r2?m2

即 ??m

?

所以,

?22??r?m, 解得m?r ?3?

2

QCr?m?1????2 QAr?m?1

故选D.

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为 .

答:5013.

解:由a?b?2006,c?a?2005,得 a?b?c?a?4011. 因为a?b?2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.

第62页

于是,a+b+c的最大值为5013.

7.如图,面积为a?c的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,

且b不能被任何质数的平方整除,则

等于 . G a?c的值 bC

20答:?. 3(第7题图)

解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则m?24

3m?xx由△ADG∽△ABC,可得?, 解得x?(2?3)m m3m2

于是 x2?(2?3)2m2??48,

由题意,a?28,b?3,c?48,所以a?c20??. b3

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→?方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

答:104.

解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x

400x=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-1)>400, 50

400?13?104. 所以,12.5≤x<13.5. 故x=13,此时t?50米,乙走了46×

9.已知0<a<1,且满足?a??

?1??2?29???a????a??18,则?10a?的值等?????30??30?30??

于 .(?x?表示不超过x的最大整数)

答:6.

第63页

解:因为0<a?12291??2???a????a??2,所以?a??,?a??,?,30303030??30??

29??等于0或1.由题设知,其中有18个等于1,所以 a???30??

1??2?11?12??13?29?????=0,=1, a??a????a?a??a????a?????????????303030303030????????????

1112?1,1≤a?<2. 3030

19故18≤30a<19,于是6≤10 a<,所以?10a?=6. 3所以 0?a?

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是

答:282500. 解:设原来电话号码的六位数为abcdef,则经过两次升位后电话号码的八位数为

2a8bcdef.根据题意,有81×abcdef=2a8bcdef.

记x?b?104?c?103?d?102?e?10?f,于是

556 81?a?10?81x?208?10?a?10?x,

解得x=1250×(208-71a) .

因为0≤x<10,所以0≤1250×(208-71a)<10,故55128208?a≤. 7171

因为a为整数,所以a=2.于是x=1250×(208-71×2)=82500.

所以,小明家原来的电话号码为282500.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知x?b,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约数为a

1),且a≤8,2?1?x?3?1.

(1)试写出一个满足条件的x;

第64页

(2)求所有满足条件的x.

1满足条件. ?????5分 2

b(2)因为x?,a,为互质的正整数,且a≤8,所以 a

b2?1??3?1, 即 (2?1)a?b?(3?1)a. a解:(1)x?

当a=1时,(2?1)?1?b?(3?1)?1,这样的正整数b不存在.

1. 2

2当a=3时,(2?1)?3?b?(3?1)?3,故b=2,此时x?. 3当a=2时,(2?1)?2?b?(3?1)?2,故b=1,此时x?

当a=4时,(2?1)?4?b?(3?1)?4,与a互质的正整数b不存在. 当a=5时,(2?1)?5?b?(3?1)?5,故b=3,此时x?3. 5

当a=6时,(2?1)?6?b?(3?1)?6,与a互质的正整数b不存在. 当a=7时,(2?1)?7?b?(3?1)?7,故b=3,4,5此时x?

当a=8时,(2?1)?8?b?(3?1)?8,故b=5,此时x?

所以,满足条件的所有分数为345,,. 7775 81233455,,,,,,.??????15分 2357778

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

解法一:由①-2×②得(b?c)?24(a?1)?0,所以a>-1.

222当a>-1时, b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0.??????10分 2

22又当a?b时,由①,②得 c?a?16a?14, ③

ac?a2?4a?5 ④

第65页

将④两边平方,结合③得a2(a2?16a?14)?(a2?4a?5)2

化简得 24a3?8a2?40a?25?0, 故 (6a?5)(4a2?2a?5)?0, 解得a??51?21,或a?. 64

51?21,a?.?????????15分 64所以,a的取值范围为a>-1且a??

2222解法二:因为b?c?2a?16a?14,bc?a?4a?5,所以

(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)?4a2?8a?4?4(a?1)2,

所以 b?c??2(a?1). 又bc?a2?4a?5,所以b,c为一元二次方程

x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤

的两个不相等实数根,故??4(a?1)2?4(a2?4a?5)?0,所以a>-1.

222当a>-1时, b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0.??????10分

另外,当a?b时,由⑤式有 a2?2(a?1)a?a2?4a?5?0,

2即 4a?2a?5?0 或 ?6a?5?0,解得,a?51?21或a??. 64

当a?c时,同理可得a??51?21或a?. 64

51?21,a?.?????????15分 64所以,a的取值范围为a>-1且a??

第66页

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.

证明:因为AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O

所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是

△KPE∽△KAP,

所以 KPKE2?, 即 KP?KE?KA. KAKP2 由切割线定理得 KB?KE?KA

所以 KP?KB. ??????????10分

因为AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是 PEKPPEKB?? 故 , CEACCEAC

即 PE·AC=CE·KB. ????????????15分 C (第13题)

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.

解:设10个学生为S1,S2,?,S10,n个课外小组G1,G2,?,Gn.

首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为S1,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾. ????????????5分

若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设S1恰好参加G1,G2,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与S1没有同过组,矛盾.

所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组G1,G2,?,Gn的 第67页

人数之和不小于3×10=30.

另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组G1,G2,?,Gn的人数不超过5n, 故 5n≥30, 所以n≥6. ???????????10分

下面构造一个例子说明n=6是可以的.

G1??S1,S2,S3,S4,S5?,G2??S1,S2,S6,S7,S8?,G3??S1,S3,S6,S9,S10?, G4??S2,S4,S7,S9,S10?,G5??S3,S5,S7,S8,S9?,G6??S4,S5,S6,S8,S10?. 容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.

所以,n的最小值为6. ???????????15分

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

??x?y?12,1.方程组?的解的个数为( ). ??x?y?6

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4

答:(A).

??x?y?12,解:若x≥0,则?于是y?y??6,显然不可能. ??x?y?6,

???x?y?12,若x?0,则 ? x?y?6,??

于是y?y?18,解得y?9,进而求得x??3.

?x??3,所以,原方程组的解为?只有1个解.

?y?9,

故选(A).

第68页

2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ).

(A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20

答:(B).

解:用枚举法:

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2,3,4,5 3,2,1,0 4

4 3,4,5,6 3,2,1,0 4

3 4,5,6,7 3,2,1,0 4

2 5,6,7,8 3,2,1,0 4

所以,共16种.

故选(B).

3.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E. 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经过△ABC的( ).

(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心

答:(B).

解: 如图,连接BE,因为△ABC为锐角三角形,所以

?BAC,?ABE均为锐角.又因为⊙O的半径与△ADE的

外接圆的半径相等,且DE为两圆的公共弦,所以

?BAC??ABE.于是,?BEC??BAC??ABE?2?BAC.

若△ABC的外心为O1,则?BOC所以,⊙O?2?BAC,1

一定过△ABC的外心.

故选(B).

4.已知三个关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0

a2b2c2

?

?恰有一个公共实数根,则的值为( ). bccaab

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3

答:(D).

第69页

解:设x0是它们的一个公共实数根,则

ax0?bx0?c?0,bx0?cx0?a?0,cx0?ax0?b?0.

把上面三个式子相加,并整理得

2(a?b?c)(x0?x0?1)?0. 222

132?x0?1?(x0?)2??0,所以a?b?c?0. 因为x024

于是

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

???? bccaababcabc

??3ab(a?b)?3. abc

故选(D).

5.方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x,y)的个数是( ).

(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多

答:(A).

解:原方程可化为

x(x?1)(x?2)?(3x2?x)?y(y?1)(y?1)?2,

因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程无整数解.

故选(A).

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.如图,在直角三角形ABC中,?ACB?90?,CA=4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 .

答:4.

解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O的对称

点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部分面积之

差的绝对值是△BEP的面积,即△BOP面积的两倍.而

11S?BPO?PO?CO??2?

2?2. 22

第70页

因此,这两部分面积之差的绝对值是4.

7.如图, 点A,C都在函数y?x?0)的图象上,点B,D都在x轴上,且使得△OAB,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标

为 .

答:(

0).

解:

如图,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别

为E,F.设OE=

a,BF=b, 则

AE,CF,

所以,点

A,C的坐标为

(a,

),(

2a+b

2a?所以

(2a?b)?解得

??a ???b?因此,点D的坐标为(

0).

8.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0). 若二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交点,则

a的取值范围是 .

1答:?1≤a??,或者a?3? 2

解:分两种情况:

(Ⅰ)因为二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB只有一个交点,且点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),所以

?1

1得?1?a??. 22?(a?3)?1?3?22?(a?3)?2?3?0, ???

由12?(a?3)?1?3?0,得a??1,此时x1?1,x2?3,符合题意;

13由22?(a?3)?2?3?0,得a??,此时x1?2,x2?,不符合题意. 22

第71页

(Ⅱ)令x2??a?3?x?3?0,由判别式??0,得

a?3? 当a?3?时,

x1?x2?不合题意;当

a?3?

x1?x2?符合题意.

1综上所述,a的取值范围是?1≤a??,或者

a?3? 2

9.如图,?A??B??C??D??E??

F??G?n?90?

,则n=. 答:6.

解:如图,设AF与BG相交于点Q,则

?AQG??A??D??G,

于是

?A??B??C??D??E??F??G

??B??C??E??F??AQG

??B??C??E??F??BQF

?540??6?90?.

所以,n=6.

10.已知对于任意正整数n,都有 a1?a2?

则 11??a2?1a3?1?1

a100?1?an?n3, ? .

33. 100

解:当n≥2时,有 答:

a1?a2???an?1?an?n3,

a1?a2??an?1?(n?1)3,

两式相减,得 an?3n2?3n?1,

所以 11111??(?), n?2,3,4,? an?13n(n?1)3n?1n

11??a2?1a3?1?1

a100?1因此

第72页

11111?(1?)?(?)?32323

1133?(1?)?. 3100100111?(?) 399100

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11(A).已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线y?上的一个动点.

(1)判断以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y??1的位置关系;

(2)设直线PM与抛物线y?

?PNM??QNM. 12x412x的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:4

解:(1)设点P的坐标为(x0,12x0),则 4

12PM

??x0?1; 4

1212?(?1)?x0?1, 又因为点P到直线y??1的距离为

x044

所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y??1相切.

????5分

(2)如图,分别过点P,Q作直线y??1的垂线,垂

足分别为H,R.由(1)知,PH=PM,同理可得,QM

=QR.

因为PH,MN,QR都垂直于直线y??1,所以,PH∥

MN

QMMP?, RNNH

QRPH?所以 , RNHN

因此,Rt△PHN∽Rt△QRN.

于是?HNP??RNQ,从而?PNM??QNM.

????15分

112(A).已知a,b都是正整数,试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是 2

第73页

否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.

解:不妨设a≤b,且方程的两个整数根为x1,x2(x1≤x2),则有

?x1?x2?ab,? ?1xx?(a?b),12?2?

所以 x1x2?x1?x2?a?b?ab,

4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5. 1212

????5分

因为a,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,于是,x1?1≥0,x2?1≥0,2a?1≥1,2b?1≥1,所以

??(x1?1)(x2?1)?0, 或 ?(2a?1)(2b?1)?5,(?x1?1)(x2?1)?1, ??(2a?1)(2b?1)?1.

(1)当??(x1?1)(x2?1)?0,时,由于a,b都是正整数,且a≤b,可得 (2a?1)(2b?1)?5?

a=1,b=3,

此时,一元二次方程为x2?3x?2?0,它的两个根为x1?1,x2?2.

(2)当??(x1?1)(x2?1)?1,时,可得 (2a?1)(2b?1)?1?

a=1,b=1,

此时,一元二次方程为x2?x?1?0,它无整数解.

综上所述,当且仅当a=1,b=3时,题设方程有整数解,且它的两个整数解为x1?1,x2?2. ?????15分

13(A).已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB

上的任意一点.以点A为圆心,AP为半径作⊙A,⊙A与

半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作⊙B,

⊙B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:

MP分别与⊙A和⊙B相切.

证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点

C,D作AB的垂线,垂足分别为E

,F,则CE∥DF.

因为AB是⊙O的直径,所以

第74页

?ACB??ADB?90?.

在Rt△ABC和Rt△ABD中,由射影定理得

PA2?AC2?AE?AB,

PB2?BD2?BF?AB.

?????5分

两式相减可得

PA2?PB2?AB?AE?BF?,

又 PA2?PB2?(PA?PB)(PA?PB)?AB?PA?PB?, 于是有 AE?BF?PA?PB,

即 PA?AE?PB?BF,

所以PE?PF,也就是说,点P是线段EF的中点.

因此,MP是直角梯形CDFE的中位线,于是有MP?AB,从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切.

?????15分

14(A).(1)是否存在正整数m,n,使得m(m?2)?n(n?1)?

(2)设k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得

m(m?k)?n(n?1)?

解:(1)答案是否定的.若存在正整数m,n,使得m(m?2)?n(n?1),则

(m?1)2?n2?n?1,

显然n?1,于是

n2?n2?n?1?(n?1)2,

所以,n2?n?1不是平方数,矛盾. ?????5分

(2)当k?3时,若存在正整数m,n,满足m(m?3)?n(n?1),则

4m2?12m?4n2?4n,

(2m?3)2?(2n?1)2?8,

(2m?3?2n?1)(2m?3?2n?1)?8,

第75页

(m?n?1)(m?n?2)?2,

而m?n?2?2,故上式不可能成立.

??????10分

当k≥4时,若k?2t(t是不小于2的整数)为偶数,取

m?t2?t,n?t2?1,

则 m(m?k)?(t2?t)(t2?t)?t4?t2,

n(n?1)?(t2?1)t2?t4?t2,

因此这样的(m,n)满足条件.

若k?2t+1(t是不小于2的整数)为奇数,取

t2?tt2?t?2m?,n?, 22

t2?tt2?t1(?2t?1)?(t4?2t3?t2?2t), 则 m(m?k)?224

t2?t?2t2?t14??(t?2t3?t2?2t), n(n?1)?224

因此这样的(m,n)满足条件.

综上所述,当k?3时,答案是否定的;当k≥4时,答案是肯定的.

?????15分

注:当k≥4时,构造的例子不是唯一的.

11(B).已知抛物线C1:y??x2?3x?4和抛物线C2:y?x2?3x?4相交 于A,B两点. 点P在抛物线C1上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线C2上,也位于点A和点B之间.

(1)求线段AB的长;

(2)当PQ∥y轴时,求PQ长度的最大值.

第76页

解:(1)解方程组

2??y??x?3x?4, ?2??y?x?3x?4,

得 ??x1??2,?x?2, ?2 y?6,y??6,?1?2

所以,点A,B的坐标分别是(-2,6),(2,-6).

于是

AB??.

????5分

(2)如图,当PQ∥y轴时,设点P,Q的坐标分别为

(t,?t2?3t?4), (t,t2?3t?4), ?2?t?2,

因此 PQ?2(4?t2)≤8,

当t?0时等号成立,所以,PQ的长的最大值8.

?????15分

12(B).实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab?bc?ca?0,abc=1.求最大的实数k,使得不等式

a?b≥kc

恒成立.

解:当

a?b?c?时,实数a,b,c满足题设条件,此时k≤4.

2

?????5分 下面证明:不等式a?b≥4c对满足题设条件的实数a,b,

c恒成立. 由已知条件知,a

,b,c都不等于0,且c?0.因为

11ab??0,a?b??2?0, cc

所以a≤b?0.

由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程

11x2?2x??0 cc

第77页

的两个实数根,于是

14?≥0, c4c

1

所以 c3≤. 4?

?

?????10分

因此

a?b??(a?b)?1≥4c?4c. c2

?????15分

13(B).如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足DEAD?.若CD,FE的延长线相交于点G,△DEG的外接圆与△CFG的CFBC

ADPD?; BCPC外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD.求证: (1)

(2)△PAB∽△PDC.

证明:(1)连接PE,PF,PG,因为?PDG??PEG,

所以?PDC??PEF.

又因为?PCG??PFG,所以

△PDC∽△PEF,

PDPE?,?CPD??FPE, 于是有 PCPF

从而 △PDE∽△PCF,

PDDE?所以 . PCCF

DEADADPD??又已知,所以,. CFBCBCPC??????10分

(2)由于?PDA??PGE??PCB,结合(1)知,△PDA∽△PCB,从而有

PAPD?, ?DPA??CPB, PBPC

所以?APB??DPC,因此

△PAB∽△PDC. ??????15分

14(B).证明:对任意三角形,一定存在两条边,它们的长u,v满足

1≤

u1? ?v2

第78页

证明:设任意△ABC的三边长为a,b,c,不妨设a?b?c.若结论不成立,则必有

a,

○1 bb1?≥. ○

2 c2

??????5分

记b?c?s,a?b?t?c?s?t,显然s,t?0,代入○1得

c?s?t, c?sst1??, s1?c

st令x?,y?,则 cc

1?x?y1?≥.

○3 1?x2

由a?b?c,得c?s?t?c?s?c,即t?c,于是y?

由○2得

t?1. c

bc?s??1?x,

○4 cc由○3,○4得

?y≥

?1(1?x)?1, ????

此式与y?1矛盾.从而命题得证.

??????15分

中国教育学会中学数学教学专业委员会

第79页

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)

4241.已知实数x,y满足:3,y4+y2=3,则y4的值为 xxx

1+137+13(A)7 (B)(C)(D)5 22( )

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若

两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是

5(A) 12

的不同直线最少有

(A)6条 (B)8条 (C)10条 (D)12 ( ) 4(B)917(C)361(D) 2( ) 3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定

4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a<1.以AB为一边在圆O内作正△ABC,

点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为

(A)5a 2(B)1 (C)3 2(D)a ( )

5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数

之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种 ( )

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

16.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-有4

两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是_______.

7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶

来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟.

8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,

AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为______.

9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心

I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为BDMA 第80页

______.

10.关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为________.

三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)

11.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于

A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.(1)用b表示k;(2)求△OAB面积的最小值.

12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根?

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?

证明你的结论.

14.从1,2,?,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),

它们的和能被10整除,求n的最小值.

第81页

简答:

一.选择题 ACBBD;

二.填空题 6. a > 0 或 a <-1; 7. 4; 8. 9; 9. 16;

10. x=48, x =160, 3

y=32; y=32.

2b-b2

三.解答题:11. (1)k=b > 2; (2)当 b=2+10, k=-1时,△OAB2(b+3)

面积的最小值为7+210; 12. 存在满足题设条件的质数p,q. 当p=2,q=5时,方程2x2

1-5x+ 2=0 的两根为 x1=, x2=2. 它们都是有理数; 13. 存在满足条件的三角形. △2

ABC的边 a=6,b=4,c=5,且∠A=2∠B,证明略. 14. n 的最小值是5,证明略.

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足 2a?4?b?24?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【答】C.

?0解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为b?2,于是

a?3,b??2,从而a?b=1.

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,

第82页

且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

)11 (B

) (C)1 (D)2 22【答】A.

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

1a?, aa?1BOBC?,即 ABAC

所以, a2?a?1?0.

由a?

0,解得a? 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y

?ax?by?3,的方程组? 只有正数解的概率为( ). ?x?2y?2

(A)12513 (B) (C) (D) 1291836

【答】D.

解:当2a?b?0时,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时,方程组的解为? 2a?3?y?.?2a?b?

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知,得?即?a?,或?a?, 2a?322???0,?????2a?b?b?3,?b?3.

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或共3种情况.

??2,5,6,?b?1,?b?4,

第83页

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点 B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B. 解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

S=1

△ABC2×8×4=16.

5.关于x,y的方程x2?xy?2y2?29的整数解(x,y)的组数为(

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

x2?yx?(2y2?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

由 ??y2?4(2y2?29)??y72?≥1106,

解得 y2≤116

?16.57.于是

显然,只有y2?16时,??4是完全平方数,符合要求.

当y?4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x1??1,x2??3;

第84页 . )

当y=-4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为

?x3?1,?x1??1,?x2??3,?x4?3, ????y?4;y?4;y??4;y??4.?1?2?4?3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交50003000

换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx??k,??50003000 ??ky?kx?k,??50003000

k(?xy)?2k, 3000

2则 x?y??3750. 11?50003000两式相加,得 k(x?y)?5000

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则AH的值为 . AB

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知AC?11AD,AB?AE,在△FHA和△EFA中, 33

第85页

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,

AHAF? . AFAE

而AF?AB,所以 AH1?. AB3

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值为 .

【答】 10.

解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且a1,a2,a3,a4,a5是五个不同的整数,所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

又因为2009?1???1??7???7??41,所以

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.

【答】. 解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?.

1作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF??ACB?45?,得CF=x,于2

是BF=20-x.由于EF∥AC,所以

EFBF?,

ACBC

第86页

即 x20?x?, 1520

60解得x?

.所以CE?? 710.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:

个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉

两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的

的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人

里想的数是 .

【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x. 每他数心

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9的人心里想的数是 16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3的人心里想的数是4?(8?x)??4?x.所以

x??4?x,

解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1),(x2,y2),

2且x12?x2?t2?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

解:(1)联立y?x2与y?(2t?1)x?c,消去y得二次方程

x2?(2t?1)x?c?0 ①

有实数根x1,x2,则x1?x2?2t?1,x1x2?c.所以

122x?[(x)?(2x c?x 121?x21?

x2)]2

第87页

11=[(2t?1)2?(t2?2t?3)]=(3t2?6t?4). ② 22

??????5分

把②式代入方程①得

1x2?(2t?1)x?(3t2?6t?4)?0. ③ 2

??????10分

t的取值应满足

2≥0, ④ t2?2t?3?x12?x2

且使方程③有实数根,即

??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)=?2t2?8t?7≥0, ⑤

解不等式④得 t≤-3或t≥1,解不等式⑤得

2所以,t的取值范围为

2?t

≤2? ⑥ 22t

≤2??????15分

131(2) 由②式知c?(3t2?6t?4)?(t?1)2?. 222

由于c?31(t?1)2?

在2?t

≤2?

t?2? 22222

3111?时

,cmin?(2?. ??????20分 ?1)2??2224

12.已知正整数a满足192a3?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

解:由192a3?191可得192a3?1.192?3?26,且

a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1).

??????5分

第88页

因为a?a?1??1是奇数,所以26a3?1等价于26a?1,又因为3(a?1)a(a?1),所以a3?1等价于3a?1.因此有192a?1,于是可得a?192k?1.

??????15分

1,,10.因此,满足条件的所有可能的正整数a的又0?a?2009,所以k?0,

和为

11+192(1+2+?+10)=10571. ??????20分

13.如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ??????5分 因为?FCD??EAB,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

CD. AB

CE同理可得 EG?AD?. ABDF?BE?

??????10分 又因为tan?ACB?ADBE?,所以有BE?CD?AD?

CECDCEDF?

EG.

??????20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明.

?????? 5分

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,所以A,B,D,E

四点共圆,故 ?CED??ABC. ??????10分

又l是⊙O的过点C的切线,所以?ACG??ABC. ??????15分 所以,?CED??ACG,于是DE∥FG,故DF=EG.

??????20分

14.n个正整数a1,a2,,an满足如下条件:1?a1?a2??an?2009; 第89页

且a1,a2,,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

解:设a1,a2,,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i?1,2,,n.即 bi?(a1?a2??an)?ai. n?1

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有

bi?bj?aj?ai

n?1,

aj?ai.) ??????5分 从而 n?1(

由于 b1?bn?an?a12008?是正整数,故 n?1n?1

3?25.1 ??????10分 n?12

由于 an?1??an?a?a?a??n1???n1?n2

≥?n?1???n?1???? 1?aa??2??n?1??(n?1)2,

所以,(n?1)2≤2008,于是n ≤45.

结合n?123?251,所以,n ≤9. ??????15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,?,a8?8?7?1,

a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ??????20分

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案 第90页

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若aba?b?20, ?10,则的值为( ). bcb?c

1121110210(A) (B) (C) (D) 21211111

a?1a?b20?1210解:D 由题设得. ???b?c1?c1?111

b10

代数式变形,同除b

12.若实数a,b满足a?ab?b2?2?0,则a的取值范围是 ( ). 2

(A)a??2 (B)a?4 (C)a≤?2或 a≥4 (D)?2≤a≤4

解.C

1因为b是实数,所以关于b的一元二次方程b2?ab?a?2?0 2

12?4??1(a?≥20,)解得a≤?2或 a≥4. 的判别式 ?=(?a)2

方程思想,未达定理;要解一元二次不等式

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB

=BC

=4?CD

=则AD边的长为( ).

(A

) (B)4

(C)4?6 (D)2?26

解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,

垂足分别为E,F.

由已知可得

BE=AE

CF

=DF=

于是 EF=4

+.

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

第91页

AD??

2?

勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法

4.在一列数x1,x2,x3,??中,已知x1?1,且当k≥2时,

??k?1??k?2?? xk?xk?1?1?4?????????4??4??

(取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数,例如?2.6??2,,则x2010等于( ). ?0.2??0)

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解:B

??k?1??k?2??由x1?1和xk?xk?1?1?4??可得 ???????4??4??

x1?1,x2?2,x3?3,x4?4,

x5?1,x6?2,x7?3,x8?4,

??

因为2010=4×502+2,所以x2010=2.

高斯函数;找规律。

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点

P3绕点D旋转180°得点P4,??,重复操作依次得到点P1,

P2,?, 则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,?2)

(C)(2012,?2) (D)(0,2)

解:B由已知可以得到,点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,?2).

第92页

记P( b2),其中a2?2,b2??2. 2a2,

根据对称关系,依次可以求得:

P2-b2),P4(2?a2,4?b2),P?2?b2),Pb2). 3(?4?a2,-5(?a2,6(4?a2,

令P同样可以求得,点P(4?a6,b2),即P(4?2?a2,b2), 6(a6,b2),10的坐标为10

由于2010=4?502+2,所以点P2010的坐标为(2010,?2).

二、填空题

6.已知a=-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

解:0

由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是

2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= . 解:15

设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得

10?a?b??S, ①

x?b?c 15?a?c??2S, ②S ③??.

由①②,得30. (b?c)?S,所以,x=30. 故 t?30?10?5?15(分)

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表

达式是 .

(第8题 第93页

111解:y??x+ 33

如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AF;连接CE,DF,且相交于点N. 由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,

过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.

于是,直线MN即为所求的直线l.

?2k+b?3,设直线l的函数表达式为y?kx?b,则? 5k?b?2,?

1?k??,?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+. 33?b?11.?3?

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分

别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则AE? AD

解: 5?1 2

见题图,设FC?m,AF?n.

因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 AB2?AF?AC.

又因为 FC=DC=AB,所以 m2?n(n?m),即 (

解得n1n1,或?(舍去). ?

m2m2

AEAEAFn???

?ADBCFCmAE11, 即=.

AD

22(第9题) n2n)??1?,0

mm又Rt△AFE∽Rt△CFB,所以

第94页

10.对于i=2,3,?,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若n的最小值n0满足2000?n0?3000,则正整数k的最小值为

3 ,k的倍数,所以n的最小值n0满足 解:9 因为n?1为2,,

n0?1??2,, 3 ,k?,

3 ,k的最小公倍数. 其中?2,, 3 ,k?表示2,,

由于?2,, 3 , 8??840, 3 , 9??2520, ?2,,

3 ?2,,, 10??2520, 3 , 11??27720, ?2,,

因此满足2000?n0?3000的正整数k的最小值为9.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证: tan?PAD?

EF. BC证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF

第95页

是直径,所以

ED⊥BC, FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线. ????(5分)

连接AE,AF,则

?AEF??ABC??ACB??AFD,

所以,△ABC∽△AEF. ????(10分)

作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

EF?BC

EF?从而 BCAH, APPD, AP

PDEF?PAD??所以 tan. ????(20分) APBC

12.如图,抛物线y?ax2?bx(a?0)与双曲线y?k相交于点A,B. 已知点A的坐标为x

(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标

原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一

点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

k上, x

4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?. x

4设点B(t,),t?0,AB所在直线的函数表达式为y?mx?n,则有

t解:(1)因为点A(1,4)在双曲线y?

第96页

?4?m?n,44(t?1)? 解得m??,n?. ?4tt?mt?n,??t

于是,直线AB与y轴的交点坐标为?0,?

?4(t?1)??,故 t?

1(4t?1)S?AOB???1?t??3,整理得2t2?3t?2?0, 2t

1解得t??2,或t=(舍去).所以点B的坐标为(?2,?2). 2

因为点A,B都在抛物线y?ax2?bx(a?0)上,所以

?a?b?4,?a?1, 解得? ????(10分) ?4a?2b??2,b?3.??

(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(?4,4),于是CO

=42. 又BO=22,所以CO?2. BO

设抛物线y?ax2?bx(a?0)与x轴负半轴相交于点D,

则点D的坐标为(?3,0).

因为∠COD=∠BOD=45?,所以∠COB=90?. B?(?2,2)是CO的中(i)将△BOA绕点O顺时针旋转90?,得到△B?OA1.这时,点

点,点A1的坐标为(4,?1).

延长OA1到点E1,使得OE1=2OA1,这时点E1(8,?2)是符合条件的点. (ii)作△BOA关于x轴的对称图形△B?OA2,得到点A2(1,?4);延长OA2到点E2,使得OE2=2OA2,这时点E2(2,?8)是符合条件的点.

所以,点E的坐标是(8,?2),或(2,?8). ????(20分)

13.求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数p和正整数m.

.解:由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2),

第97页

所以p(m?4)(m?2),由于p是素数,故p(m?4),或p(m?2). ??(5分)

(1)若p(m?4),令m?4?kp,k是正整数,于是m?2?kp,

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2,

故k2?3,从而k?1.

所以??m?4?p,?p?5,解得? ????(10分) ?m?2?2p?1,?m?9.

(2)若p(m?2),令m?2?kp,k是正整数.

当p?5时,有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1),

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k(k?1)p2,

故k(k?1)?3,从而k?1,或2.

由于p(2p?1)?(m?4)(m?2)是奇数,所以k?2,从而k?1.

?m?4?2p?1, 于是? m?2?p,?

这不可能.

22当p?5时,m?2m?63,m?9;当p?3,m?2m?29,无正整数解;当p?2

时,m2?2m?18,无正整数解.

综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. ????(20分)

14.从1,2,?,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

第98页

解:首先,如下61个数:11,11?33,11?2?33,?,11?60?33(即1991)满足题设条件. ????(5分) 另一方面,设a1?a2?

?an是从1,2,?,2010中取出的满足题设条件的数,对于这

n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为

(j?ak?am,) 33(ai?ak?am), 3a

所以 33(aj?ai).

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. ????(10分) 设ai?a1?33di,i=1,2,3,?,n.

由33(a1?a2?a3),得33(3a1?33d2?33d3),

所以333a1,11a1,即a1≥11. ????(15分)

dn?

故dn≤60. 所以,n≤61.

an?a12010?11

?61, ≤

3333

综上所述,n的最大值为61. ????(20分)

2011年全国初中数学竞赛试题及答案

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线;

第99页

3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

.设a1,则代数式a2?2a?12的值为( ).

(A)-6 (B)24 (C

)10 (D

)12

y?k

x(k?0)与y?kx?k(k?0)的图象大致2.在同一直角坐标系中,函数

(A) (B) (C) (D)

3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P,使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数( )

(A)1 (B)7 (C)10 (D)15

x4.若x?1,y?0,且满足xy?xy?x3y,则x?y的值为( ). y

(A)1 (B)2 (C)

5.设S?111???132333?911 (D) 221,则4S的整数部分等于( ). 993(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是 . 。

7.若关于x的方程(x?2)(x2

?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可

第100页

以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是 .

8.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .

9.如图,点A,B为直线y?x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?(x>0)于C,D两点. 若BD?2AC,则4OC2?OD2 的值为 .

(第9题)

1x

10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

2kx?ax?bk??13611.已知:不论k取什么实数,关于x的方程(a、b是常

数)的根总是x=1,试求a、b的值。

12.已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y?22x于P,Q两点. 3

(1)求证:∠ABP=∠ABQ;

(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60o

第101页

试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

14如图,△ABC中,?BAC?60?,AB?2AC.点P在△ABC内,

PA?PB?5,PC?2,求△ABC的面积.

2011年全国初中数学

竞赛试题参考答案

一、选择题

1.A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A

二、填空题

6. (a?1)2 7.3<m≤4. 8.. 9.6. 10.84

三、解答题

11. 解:把x=1代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a 19

?b?4?0?要使等式(b+4)k=7-2a不论k取什么实数均成立,只有?7?2a?0

a?7

2,b

??4 解之得

第102页

12.解:设方程x2?ax?b?0的两个根为?,?,其中?,?为整数,且?≤?,则方程x2?cx?a?0的两根为??1,??1,由题意得

?????a,???1????1??a,

两式相加得 ???2??2??1?0, 即 (??2)(??2)?3,

???2?1,???2??3,所以 ? 或? ??2?3;??2??1.??

????1,????5, 解得 ? 或?

???1;????3.

又因为a?? 所以 (???),b???,c??([??1)?(??1)],

a?0,b??1,c??2;或者a?8,b?15,c?6,

故a?b?c??3,或29.

13.解:(1)如图,分别过点P, Q作y轴的垂线,垂足分别为C, D. 设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t). 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,并设P,Q的坐标分别为 ,.由 (xP,yP)(xQ,yQ)

?y?kx?t,?22 ?y?x,?3?

得 x2?kx?t?0, 于是 xPxQ??t,即 t??

xPxQ. 322323 第103页

222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?tx??于是 ????P. BDyQ?t2x2?t2xQx?xxxQ(xQ?xP)QQPQ3333

又因为BCPCxPC???P,所以. BDQDQDxQ

因为∠BCP?∠BDQ?90?,所以△BCP∽△BDQ, 故∠ABP=∠ABQ.

(2) 设PC?a,DQ?b,不妨设a≥b>0,由(1)可知

∠ABP=∠ABQ?30?,BC

,BD

所以 AC

?2,AD

=2.

因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ. 于是PCACa?

,即?,

DQADb所以a?b?.

333由(1)中xPxQ??t,即?ab??

,所以ab?,a?b?

222于是可求得a?2b?

将b?12代入y?x2,得到点Q

,). 23 再将点Q的坐标代入y?kx?

1,求得k?所以直线PQ

的函数解析式为y?x?1. x?

1,或y?x?1. 根据对称性知,所求直线PQ

的函数解析式为y?14.解:如图,作△ABQ,使得

第104页

则△ABQ∽△ACP . ?QAB??PAC,?ABQ??ACP,由于AB?2AC,所以相似比为2. 于是

AQ?2AP?BQ?2CP?4.

?QAP??QAB??BAP??PAC??BAP??BAC?60?.

由AQ:AP?2:1知,?APQ?90?

,于是PQ??3.

所以 BP2?25?BQ2?PQ2,从而?BQP?90?. 于是

AB2?PQ2?(AP?BQ)2?28?

S?ABC?

16?. AB?ACsin60??AB2?

282

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

第105页

1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式

可以化简为( ).

(第1(甲)题)

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙).如果

(A) (B),那么 (C)2 (D) 的值为( ).

2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

2(乙). 在平面直角坐标系

的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

3(甲).如果为给定的实数,且,那么这四个中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,y)数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B) (C) (D)

,3(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.

AD = 3,BD = 5,则CD的长为

( ).

第106页

(第3(乙)题)

(A) (B)4 (C) (D)4.5

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于x的方程

样的方程的个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为

,则

(A) (B) (C)中最大的是( ). (D) 是正整数)的正根小于3, 那么这

5(乙).黑板上写有

选取2个数,然后删去共100个数字.每次操作先从黑板上的数中,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是

.

第107页

(第6(甲)题)

6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足,,那么

的值为 .

7

(甲).如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

(第7(甲)题) (第7(乙)题)

7(乙).如图,

且.延长,与的半径为20,分别交于是上一点.以两点,则 为对角线作矩形的值等于 . ,

(甲)8.如果关于x的方程x2+kx+

的值为 . k2-3k+= 0的两个实数根分别为,,那么

8(乙).设为整数,且1≤n≤2012. 若

个数为 . 能被5整除,则所有的

9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 . 第108页

9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若

和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是 . 10

(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与

EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为

(第10(甲)题)

10(乙).已知

成立,则这样的是偶数,且1≤≤100.若有唯一的正整数对使得的个数为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11(甲).已知二次函数,当时,恒有;关于x的方程

围. 的两个实数根的倒数和小于.求的取值范

11(乙). 如图,在平面直角坐标系xOy中, AO = 8,AB = AC,sin∠ABC=. CD与y轴交于点E,且S△COE = S△ADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

第109页

(第11(乙)题)

12(甲).如图,

上的点,

线与与交于点的直径为,且,过点.点. ,且与在上,且内切于点.为交于点,BE的延长,求证:△BOC∽△

(第12(甲)题)

12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线, AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;

(2)AB+AD = 2BD.

(第12(乙)题)

13(甲).已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值

.

第110页

13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于?并说明理由

,满足,14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数

14(乙).将. (n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数

,求的最小值. (可以相同)使得

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

一、选择题

1(甲).C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

,且

所以

1(乙).B , .

解:.

2(甲).D

解:由题设知,,,所以.

解方程组得

第111页

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤

因为均为整数,所以有 ≤2.

解得

以上共计9对

3(甲).D

解:由题设知,. ,所以这四个数据的平均数为

中位数为 ,

于是

.

第112页

3(乙).B

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

(第3(乙)题)

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为,所以.

在Rt△中,

于是DE=,所以CD = DE = 4. 4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,

第113页 均为非负整数. 由题设可得

消去x得 (2y-7)n = y+4,

2n =.

因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为

正一负.由二次函数

,即

,1≤q≤2,此时都有

5(甲).D 的图象知,当. 由于时,,故方程的根为一,所以,1≤q≤5;或 符合题意. 都是正整数,所以. 于是共有7组

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以

,因此

5(乙).C 最大.

解:因为

个数加1后的乘积不变. ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每

设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则

第114页

解得 ,.

二、填空题

6(甲).7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 27x-26≤487,

81x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,

7<x≤19.

6(乙).7

解:由已知可得 ≤487 ≤487,故x的取值范围是

第115页

7(甲).8

解:连接DF,记正方形

所以 的边长为2. 由题设易知△∽△,

由此得,所以.

(第7(甲)题)

在Rt△ABF中,因为,所以

于是 .

由题设可知△ADE≌△BAF,所以

.

第116页

于是 ,

.

又,所以. 因为,所以.

7(乙).

解:如图,设的中点为

,所以 ,连接,则.因为

第117页

(第7(乙)题)

所以 . 8(甲).

解:根据题意,关于x的方程有

=k2-4

由此得 (k-3)2≤0. ≥0,

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=.

故==.

8(乙).1610

解:因为==

. 第118页

当被5除余数是1或4时,

被5整除;

当被5除余数是2或3时,

整除;

当被5除余数是0时, 或能被5整除,则能能被5整除,则能被5不能被5整除. 所以符合题设要求的所有的个数为

9(甲).8

解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知 .

由此得0≤b≤43.

又 ,所以. 于是 0≤≤43,

87≤≤130,

由此得 ,或.

第119页

设.

故时,;当时,,,不合题.

9(乙).

解:由题设得 ≤1

所以 ,

整理得 .

由二次函数的图象及其性质,得.

又因为 ≤1,所以≤

1.

第120页

10(甲).

解:如图,连接AC,BD,OD.

(第10(甲)题)

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 .

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC, 于是 . 因此

.

由△∽△,知.因为,

第121页

所以 ,BA=AD ,故

.

10(乙). 12

解:由已知有

是是4的倍数.设,且为偶数,所以,则1≤≤25. 同为偶数,于

(Ⅰ)若,可得,与b是正整数矛盾.

(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对满足

;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个

正整数对

(Ⅲ)若满足是素数,或. 恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对满足.

因为有唯一正整数对,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有12个.

三、解答题

11(甲).解: 因为当时,恒有,所以

第122页

即,所以.

????(5分)

当时,≤;当时,≤,即

≤,

且 ≤,

解得≤.

????(10分)

设方程

根与系数的关系得 的两个实数根分别为,由一元二次方程

因为,所以

解得,或.

因此.

第123页

????(20分)

11(乙).解:因为sin∠ABC=,,所以

AB = 10.

由勾股定理,得 BO=.

(第11(乙)题)

易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).

设点D的坐标为(m,n),由S△COE = S△ADE,得S△CDB = S△AOB.

解得n=-4.

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4)

.

第124页 所以

????(10分)

因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E的坐标为.

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =.

故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

.

????(20分)

12(甲). 证明:连接BD,因为

因为为的直径,所以.又,所以△CBE是等腰三角形.

(第12(甲)题)

????(5分)

设与交于点,连接OM,则.又因为,所以

第125页

????(15分)

又因为分别是等腰△,等腰△的顶角,所以

△BOC∽△.

????(20分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

(第12(乙)题)

所以 CI = CD.

同理, CI = CB.

故点C是△IBD的外心.

连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

所以OI⊥AC,即OI⊥CI

.

第126页

故OI是△IBD外接圆的切线.

????(10分)

(2) 如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.

由,知OC⊥BD.

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以

Rt△BCF≌Rt△AIE,

所以BF = AE.

又因为I是△ABD的内心,所以

AB+AD-BD = 2AE = BD.

故AB+AD = 2BD.

????(20分)

13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数). 因为 (a+b)-4ab = (a-b),

所以 (2a-m)2-4n2 = m2,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m2.

????(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以 22

第127页

2a-m+2nm 2,2a-m-2n1.

解得 a,.

于是 = a-m.

????(10分)

又a≥2012,即≥2012.

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025. 当时,,,.

因此,a的最小值为2025.

????(20分)

13(乙).解:假设凸边形中有个内角等于

个. ,则不等于的内角有

(1)若

都等于; ,由,得,正十二边形的12个内角

????(5分)

第128页

(2)若

即≤11. ,且≥13,由,可得,

当时,存在凸边形,其中的11个内角等于,其余个内角都等于,.

????(10分)

(3)若,且≤≤.

另一个内角时,设另一个角等于.存在凸边形,其中的. 个内角等于,

由≤

. 可得;由≥8可得,且

????(15分)

(4)若

边形,其中,且3≤≤7,由(3)可知≤个内角等于,另两个内角都等于.当时,存在凸.

综上,当时,的最大值为12;当≥13时,的最大值为11; 当≤≤时,的最大值为;当3≤≤7时,的最大值为.

????(20分)

14(甲).解:由于都是正整数,且,所以 第129页

≥1,≥2,?,≥2012.

于是 ≤.

????(10分)

当时,令,则

.

????(15分)

当时,其中≤≤,令

,则

综上,满足条件的所有正整数n为.

????(20分)

14(乙).解:当时,把分成如下两个数组:

和 .

第130页

在数组

不存在数,使得. 中,由于,所以其中

在数组

使得. 中,由于,所以其中不存在数,

所以,≥.

????(10分)

下面证明当时,满足题设条件.

不妨设2在第一组,若

在第二组. 同理可设也在第一组,则结论已经成立.故不妨设在第一组,在第二组.

此时考虑数8.如果8在第一组,我们取

果8在第二组,我们取,此时. ,此时;如

综上,满足题设条件.

所以,的最小值为.

????(20分)

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题

第131页

?a?2b?3c?0,ab?bc?ca1.设非零实数a,b,c满足?则2的值为( ). 222a?3b?4c?0,a?b?c?

(A)?1 2

【答案】A (B)0 (C)1 2(D)1

【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0,故

1ab?bc?ca1ab?bc?ca??(a2?b2?c2),所以2??.于是. (a?b?2)c?02a?b2?c22

2.已知a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根x1,则下列关于x的一元二次方程中,以x2,

(A)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

(C)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

【答案】B

【解答】由于ax2?bx?c?0是关于x的一元二次方程,则a?0.因为x1?x2??b

a112为两个实根的是( ). x12x2(B)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 (D)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 ,x1x2?c

a,且x1x2?0,所以c?0,且

2?2x1x2b2?211(x1?x2)ac11a2

,2?2?2, ?2??2x12x2x12x2c2x1x2c

于是根据方程根与系数的关系,以11,为两个实根的一元二次方程是2x12x2

b2?2aca2

2222x?x??0,即cx?(b?2ac)x?a?0. 2cc2

3.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥

AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E.若AD,DB,CD的长度都

是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一定是有理数...

的为( ).

(A)OD (B)OE (第3题)

第132页

(C)DE (D)AC

【答案】D

【解答】因AD,DB,CD的长度都是有理数,所以,OA

AD?BD=OB=OC=是有理数.于是,OD=OA-AD是有理2

数.

OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD,知OE?,DE?都OCOC

(第3题答题)

是有理数,而AC

4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC?4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( ).

(A)3

(C)6 (B)4 (D)8

(第4题) 【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形,所以DE//CF,且EF//DC. 连接CE,因为DE//CF,即DE//BF,所以S△DEB = S△DEC, 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积.

连接AF,因为EF//CD,即EF//AC,所以S△ACE = S△ACF. 因为BC?4CF,所以S△ABC = 4S△ACF.故阴影部分的面积为6.

5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为:

x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45

?x?1???y?1?33?60,

(第4题答题)

且x?y?z??x?y??z,则2013?2012?

(A)?3?2的值为( ). 54636071821 (B) (C) 967967967

【答案】C

【解答】设2013?2012??4?m,则 (D)16389 967

?2013?2012?3m3?3?3m2?9?m?27?45?9, ?4??3?m?3?m3?3m2?3m?1?64?60

3?93?2?3?92?22?9?23?455463?. ?3??2?9?2?3310?3?60967于是?2013?2012?

第133页

二、填空题

6

.设a?b是a2的小数部分,则(b?2)3的值为

【答案】9

【解答】由于1?a?2?a2?3,

故b?a2?2?因此(b?2)3?3?9. ,

7.如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,直线BD与CE交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD的面积是. 204 13

【解答】如图,连接AF,则有: 【答案】

S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???, S?AFDS?AFDFDS?CDF3

S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????, S?AEFS?AEFFES?BEF4

10896,S?AFD?. 1313

204所以,四边形AEFD的面积是. 13 (第7题) 解得S?AEF? (第7题答题)

8.已知正整数a,b,c满足a?b2?2c?2?0,3a2?8b?c?0,则abc的最大值为

【答案】2013

【解答】由已知a?b2?2c?2?0,3a2?8b?c?0消去c,并整理得 ?b?8?2?6a2?a?66.由a为正整数及6a2?a≤66,可得1≤a≤3.

2若a?1,则?b?8??59,无正整数解;

若a?2,则?b?8??40,无正整数解;

若a?3,则?b?8??9,于是可解得b?11,b?5.

(i)若b?11,则c?61,从而可得abc?3?11?61?2013; 第134页 22

(ii)若b?5,则c?13,从而可得abc?3?5?13?195.

综上知abc的最大值为2013.

9.实数a,b,c,d满足:一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a,b,一元二次方程x2?ax?b?0的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,,,bcd)为.

【答案】(1,?2,,1?2),(t,,0?t,0)(t为任意实数)

?a?b??c,

??ab?d,【解答】由韦达定理得? c?d??a,???cd?b.

由上式,可知b??a?c?d.

db若b?d?0,则a??1,c??1,进而b?d??a?c??2. bd

若b?d?0,则c??a,有(a,,,. bcd)?(t,,0?t,0)(t为任意实数)

经检验,数组(1,?2,,1?2)与(t,,0?t,0)(t为任意实数)满足条件.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了支圆珠笔.

【答案】207

?4x?7y?2013,【解答】设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则? ?x?y?350,

2013?7yy?1?(503?2y)?, 44

y?1于是是整数.又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y, 4所以x?

所以y?204,故y的最小值为207,此时x?141.

第135页

三、解答题

11.如图,抛物线y?ax2?bx?3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,

1与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线y??x?1与y轴交于3

点D.

求∠DBC?∠CBE.

1【解答】将x?0分别代入y??x?1,y?ax2?bx?3知,3

D(0,1),C(0,?3),

1所以B(3,0),A(?1,0).直线y??x?1过点B. 3 (第11题)

将点C(0,?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3),得a?1.

抛物线y?x

2?2x?3的顶点为E(1,?4).于是由勾股定理得

BC=CEBE=

?BCE?90?. 因为BC2+CE2=BE2,所以,△BCE为直角三角形,

OD1CE1?,则∠DBO=因此tan?CBE==.又tan∠DBO=OB3CB3

?CBE.

所以,?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?.

第136页 (第11题答题)

O共圆,对于所有的12.设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,C,H,

△ABC,求?BAC所有可能的度数.

【解答】分三种情况讨论.

(i)若△ABC为锐角三角形.

因为?BHC?180???A,?BOC?2?A,

所以由?BHC??BOC,可得180???A?2?A,于是?A?60?.

(ii

三角形. (第12题答题(i)) 若△(第12题答题(ii)) ABC为钝角

当?A

?90?时,因为?BHC?180???A,?BOC?2?180???A?,

所以由?BHC??BOC?180?,可得3?180???A??180?,于是?A?120?。

当?A?90?时,不妨假设?B?90?,因为?BHC??A,?BOC?2?A, 所以由?BHC??BOC?180?,可得3?A?180?,于是?A?60?.

(iii)若△ABC为直角三角形.

当?A?90?时,因为O为边BC的中点,B,C,H,O不可能共圆, 所以?A不可能等于90?;

当?A?90?时,不妨假设?B?90?,此时点B与H重合,于是总有B,C,H,O共圆,因此?A可以是满足0???A?90?的所有角.

综上可得,?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?.

13.设a,b,c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,当z2?y,?2时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

【解答】不能.

第137页

111(y?z),b?(x?z),c?(x?y). 222

11z(z?1)因为y?z2,所以a?(y?z)?(z2?z)?. 222

又由于z为整数,a为素数,所以z?2或?3,a?3. 依题意,得a?

当z?

2时,y?z2?4,x?2)2?16.进而,b?9,c?10,与b,c是素数矛盾;

当z??3时,a?b?c?0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数

满足对任意一个正整数m,在a1,a2,…,an中都至少有一个为ma1,a2,…,an,

的魔术数.

【解答】若n≤6,取m?1,2,?,7,根据抽屉原理知,必有a1,a2,…,an

中的一个正整数M是i,j(1≤i<j≤7)的公共的魔术数,即7|(10M?i),7|(10M?j).则有7|(j?i),但0<j?i≤6,矛盾.

故n≥7.

又当a1,a2,…,an为1,2,?,7时,对任意一个正整数m,设其为k位数(k为正整数).则10ki?m(i?1,,2?,7)被7除的余数两两不同.若不然,存在正整数i,j(1≤i<j≤7),满足7|[(10kj?m)?(10ki?m)],即7|10k(j?)i,从而7|(j?i),矛盾.

故必存在一个正整数i(1≤i≤7),使得7|(10ki?m),即i为m的魔术数. 所以,n的最小值为7.

第138页

第139页

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com