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2011年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷及答案

发布时间:2014-07-02 15:12:31  

全国初中数学竞赛试卷

(1

)设a

b?2

c?

a,b,c的大小关系是( ).

(A)b?a?c (B)a?b?c (C)c?b?a (D)b?c?a (2)若函数y??x?5,令x?1,2,3,4,5,可得函数图象上的5个点,在这5个点中随机取两个点P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点在同一个反比例函数图象上的概率是( ).

(A)

12

(B)

55

34

(C) (D)

55

(3)直角三角形纸片的两直角边长CA?6,CB?8,现将△ABC如图那样折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,

则四边形ADEC的面积是( ).

(A)8

(B)

21

4

C

117167(C) (D)

88

?

B D

B

第(3)题

(4)在△ABC中,?A?120,BC?6.若△ABC的内切圆半径为r,则r的最大值为( ).

(A)

4 (B

(C

)4? (D

)6? (5)某篮球队队长练习“三分球”投篮,共投篮10次.甲、乙、丙、丁四个队员预测队长每次是否投中,若预测队长投中,则以“√”表示,若预测队长投不中,则以“×”表示.下表给出了甲、乙、丙、丁四个队员每次预测的情况,以及甲、乙、丙三个队员预测正确的次数,则队员丁预测正确的次数是( ).

A1

(6)如图,直角三角板ABC满足?ABC?60?,?C?90?,BC?10 cm,

将三角板绕B点按逆时针方向转动一个角度到A1BC1的位置,使得点

A1、B、C在同一条直线上,则点A在旋转过程中所经过的路程为__________cm. 第(6)题

(7)在白纸上,有由34个完全相同的小正方形 组成的图形,若将该图形剪出若干个长方形,使每个 长方形由2个相连(有公共边)的小正方形组成,则 能剪出的长方形的个数最多为________.

第(7)题

(8

2

2

4

6

??

若的位置记为(2,3)

,的位置记为(3,2),则这组数中最大的有理数n的位置记为 .

(9)若a?0,b?0,a?b?

10?的最小值为.

(10)设p为质数,且关于x的方程x2?px?1170p?0的一个根为正整数,则p等于

三、解答题(本大题共4小题,每小题满分20分,共80分)

11、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机). 其中一辆小汽车在距离火车站10km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有28分钟. 这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h.. 试设计一种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站..

12、如图,有任意四边形ABCD,点A?、B?、C?、D? C依次是顶点A、B、C、D关于点B、C、D、A的对称 点,设S表示四边形ABCD的面积,S?表示四边形 C

A B B?A?B?C?D?的面积,试求

S?的值. S?

13如图所示,在平行四边形ABCD中,BC?2AB,M是AD的中点,CE?AB于点E, 求证:?DME?3?AEM.

D

14、已知抛物线y?x2?mx?n上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方. (Ⅰ)求证:已知抛物线必与x轴有两个交点; (Ⅱ)设已知抛物线与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),其中x1?x2,求证:x1?x0?x2; (Ⅲ)当点M的坐标为(1,?2)时,求(Ⅱ)中的整数x1,x2.

2011年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,满分35分)

(1

)设a

b?2

c?a,b,c的大小关系是( ).

(A)b?a?c (B)a?b?c

(C)c?b?a (D)b?c?a

【解】选A.

2因为a?0,b?0,c?

0,a?b?2?(2??0(这是因

为(),?

12

(2?2?6?6?6?12),所以a?b.

2又c2?a2?2)?(5???

7,而(

?29?29?

29?20?

49,于是?7.即c2?a2,因为a?0,c?0,所以c?a. 综上,b?a?c.

(2)若函数y??x?5,令x?1,2,3,4,5,可得函数图象上的5个点,在这5个点中随机取两个点P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点在同一反比例函数图象上的概率是( ).

(A)1 5 (B)234 (C) (D) 555

【解】选A.

由题设易知,函数y??x?5图象上的5个点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0),从这5个点中随机取2个点的情况有(1,4),(2,3);(1,4),(3,2);(1,4),(4,1);(1,4),(5,0);(2,3),(3,2);(2,3),(4,1);(2,3),(5,0);(3,2),(4,1);(3,2),(5,0);(4,1),(5,0)共10种.其中,两点在同一个反比例函数图象上的为(1,4),(4,1);(2,3),(3,2)共2种. 1所以,随机取出的两点在同一个反比例函数图象上的概率是. 5

(3)直角三角形纸片的两直角边长CA?6,CB?8,现将△ABC如图那样折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则四边形ADEC的面积是( ).

(A)8

(B)

(C)21 4

B A D B C 117 8 第(3)题

(D)167 8

【解】选C.

根据题意,△ADE≌△BDE,则AE?BE,AD?BD.设BE?x,则CE?8?x.在Rt△ACE中,由勾股定理,可得(8?x)2?62?x2,解得x?

S?BDE?175, BD?DE?28

75117. ?88

25115.又由BD?AB5,得DE?,得244所以四边形ADEC的面积为S?ABC?S?BDE?24?(4)在△ABC中,?A?120?,BC?6.若△ABC的内切圆半径为r,则r的最大值为( ). (A) 4 (B(C)4? (D)6?【解】选D.

设△ABC的内切圆圆心为I.如图,作AM?BC于点M,设⊙I与△ABC的三边分别相切于D、E、F三点, 连接IA、ID、IE、IF.

由圆的切线性质可得 AB?BC?CA?2BC?2AE, ?EAI?60?,?AEI?90?. 在Rt△AEI中,

可得AE?,AI. 1于是S?ABC?(AB?BC?CA)r?(BC?AE)r?(6)r. 21又由S?ABC??BC?AM?3AM,得 (6?)r?3AM.即AM?(2)r. 2

而AM?AI?ID,得(2?

由r?0,得2即为r的最大值. )r?r. ?1.解出r?6?AB?AC时,AM?AI?ID,得r?6?(5)某篮球队队长练习“三分球”投篮,共投篮10次.甲、乙、丙、丁四个队员预测队长每次是否投中,若预测队长投中,则以“√”表示,若预测队长投不中,则以“×”表示.下表给出了甲、乙、丙、丁四个队员每次预测的情况,以及甲、乙、丙三个队员预测正确的次数,则队员丁预测正确的次数是( ).

(A)3 (B)4

【解】选B.

①分析甲、乙预测的情况:

从表中看出,队长在第3,5,8,9次投篮时甲、乙预测的结果均相同,设其中预测正确的次数为x;又队长在第1,2,4,6,7,10次投篮时甲、乙预测的结果均相反,设其中甲、乙预测正确的次数分别为y,z;所以 (C)5 (D)6

?x?y?8,?x?2,???x?z?2, 解出?y?6,

?y?z?6.?z?0.??

②分析甲、丙预测的情况:

从表中看出,队长在第1,2,4,6,7,8,10次投篮时甲、丙预测的结果均相同,设其中预测正确的次数为a;又队长在第3,5,9次投篮时甲、丙预测的结果均相反,设其中甲、丙预测正确的次数分别为b,c;所以

?a?b?8,?a?6,??a?c?7, 解出??b?2,

?b?c?3.?c?1.??

由①和②可知,甲第1,2,4,6,7,10次预测时均正确,第3,5,9次预测时只有2次正确,第8次预测时出错.由此并结合表中情况可得,丁第1,2,4,6,7,10次预测时只有第2,6次正确,第3,5,9次预测时只有1次正确,第8次预测正确.即丁10次预测共有4次正确.所以,队员丁预测正确的次数是4.

二、填空题(本大题共5小题,每小题7分,满分35分)

(6)如图,直角三角板ABC满足?ABC?60?,?C?90?,BC?10cm,将三角板绕B点按逆时针方向转动一个角度到A1BC1的位置,

使得点A1、B、C在同一条直线上,则点A在旋

转过程中所经过的路程为__________cm. A1

第(6)题 40【解】π. 3

根据题意,AB?2BC?20cm,?ABA1?120?,

所以点A在旋转过程中所走过的路程为 40π cm. 3

(7)在白纸上,有由34个完全相同的小正方形

组成的图形,若将该图形剪出若干个长方形,使每个

长方形由2个相连(有公共边)的小正方形组成,则

能剪出的长方形的个数最多为________.

【解】16.

第(7)题

如图,将该图形中的18个小正方形涂上黑色,则

按要求剪出的每个长方形都应该由黑白相连的2个小正 方形组成,因为图形中只有16个白的小正方形,所以 最多能剪出16个符合要求的长方形.

(剪法不唯一,具体剪法略)

(8

2

按图中的方法进行排列

2

4

6

??

若的位置记为(2,3)

,的位置记为(3,2),则这组数中最大的有理数n的位置记为 .

【解】(17,2).

k?1,2,?,102)

98个.图中的每行排6个数,故这些数中最大的有理数应排在第17行第2列.

(9)若a?0,b?0,a?b?

10?的最小值为

【解】

如图,作线段AB?10,作AC?AB,垂足为A,

且AC?2;作BD?AB,垂足为B,且BD?3.

在线段AB上任取一点P,有AP?PB?10.

设AP?a,PB?b,则a?b?10.

B D E 由勾股定理,可知PC??

,PD

?PC?PD.

显然当C、P、D三点共线时,PC?

PD最小. 连接CD,过点A作AE∥CD,交BD的延长线于点E,可得AE?CD. 在Rt△

ABE中,AE?

PC?PD≥CD?

(10)设p为质数,且关于x的方程x2?px?1170p?0的一个根为正整数,则p等于 【解】13.

22

设x0是方程x2?px?1170p?0的正整数根,得x0?px0?1170p?0.即x0?(p1170?x0).因为p是

22

质数,x0是正整数,所以p整除x0.从而p整除x0.设x0?np(n为正整数),代入x0?(p1170?x0),

得(np)2?(p1170?np).化简得n(n?1)p?9?10?13.所以p?13.

三、解答题(本大题共4小题,每小题满分20分,共80分) (11)(本小题满分20分)

若多项式m2?4加上一个单项式后,能成为一个含有m的完全平方式,求所有满足条件的单项式. 【解】设满足条件的单项式为A,则

当A??4时,m2?4?4?m2; ???????????5分 当A??4m时,m2?4m?4?(m?2)2; ??????????15分 ?m4?m2m42

???2?. 当A?时,m?4?

16?416?

2

m4

∴A??4、4m、?4m、均满足条件.

16

可以证明满足条件的单项式有且仅有以上4个.????????????20分 (12)(本小题满分20分)

如图,有任意四边形ABCD,点A?、B?、C?、D? 依次是顶点A、B、C、D关于点B、C、D、A的对 称点,设S表示四边形ABCD的面积,S?表示四边形

CC

A

B?

A?B?C?D?的面积,试求

S?

的值. S

?

【解】如图,连接AC,A?C,

根据题意,点B?是顶点B关于点C的对称点, 点A?是顶点A关于点B的对称点, ∴点C是线段BB?的中点,点B是线段AA?的中点. ∴S△BA?B??2S?BCA??2S△ABC. ????10分 同理可得:

S△DC?D??2S?ACD;S△CB?C??2S?BCD; S△AD?A??2S?ABD.

D

CB?

C

???????15分

而S?S△ABC?S△ACD?S△BCD?S△ABD, S??S?S△BA?B??S△CB?C??S△DC?D??S△AD?A?,

A

B

?

D

∴S??5S,即S??5. ?????????????????????20分 S

(13)(本小题满分20分)

如图所示,在平行四边形ABCD中,BC?2AB, D M是AD的中点,CE?AB于点E, 求证:?DME?3?AEM.

【证明】 如图, 延长EM交CD的延长线于点F,连接CM. 在平行四边形ABCD中,AB∥CD,BC∥AD,AB?CD,BC?AD, ∴?AEM??F,?DCE??CEB.

又∵CE?AB,

∴?DCE??CEB?90?. ???5分

由于M是AD的中点,

∴AM?MD. M F 又?AME??FMD,∴△AEM≌△DFM.∴EM?MF. 在Rt△FCE中,有?F??MCF. ?????10分 ∴?EMC??F??MCF?2?F.由已知BC?2AB, ∴AD?2CD.

∴MD?CD,有?DMC??DCM??F. ????????15分 而?DME??EMC??DMC,∴?DME?3?F. 又?AEM??F, ∴?DME?3?AEM. ?????????20分

(14)(本小题满分20分)

已知抛物线y?x2?mx?n上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方.

(Ⅰ)求证:已知抛物线必与x轴有两个交点; (Ⅱ)设已知抛物线与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),其中x1?x2,求证:x1?x0?x2; (Ⅲ)当点M的坐标为(1,?2)时,求(Ⅱ)中的整数x1,x2.

【解】(Ⅰ)∵点M(x0,y0)在抛物线y?x2?mx?n上,且位于x轴的下方,

?y0?0,?∴?m2m2?4n 2.?y0?x0?mx0?n?(x0?)??24

∴m2?4n?4(x0?m2)?4y0??4y0?0. 2

这表明二次方程x2?mx?n?0根的判别式??m2?4n?0,则该方程有两个不相等的实数根,于是抛物线y?x2?mx?n必与x轴有两个交点. ?????5分

(Ⅱ)根据题意,抛物线与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0), ∴y?x2?mx?n?(x?x1)(x?x2).又点M(x0,y0)位于x轴的下方, ∴y0?x02?mx0?n?(x0?x1)(x0?x2)?0.又x1?x2, ∴x1?x0?x2. ?????????????????10分

(Ⅲ)∵点M(1,?2)在已知抛物线y?x?mx?n上, 且y?x?mx?n?(x?x1)(x?x2),∴ ?2?(x1?1)(x2?1). ∵x1,x2是整数,x1?1,x2?1也均为整数,且由x1?x2,有x1?1?x2?1, ?x?1??1,?x1?1??2,?x?0,?x1??1,∴?1或? 即?1或? ????????20分 x?1?2x?1?1.x?3x?2.?2?2?2?222

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