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10.22竞赛数学

发布时间:2014-07-03 08:11:22  

1.设数列{an}的前n项和为Sn,a1?10,an?1?9Sn?10

(1)求证:{lgan}是等差数列;

(2)设Tn是数列3的前n项和,求Tn; (lgan)(lgan?1)

1(3)求使Tn?(m2?5m)对所有的n?N*恒成立的整数m的取值集合. 4

22.正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0.

(1)求数列{an}的通项公式an;

bn?n?1

2 ,数列{bn}的前n项和为Tn .证明:对于任意的n?N* ,(n?2)2an(2)令

都有Tn?

5 . 64

x2x3xn

3.设函数fn(x)??1?x?2?2???2(x?R,n?N*) ,证明: 23n

2(1)对每个n?N* ,存在唯一的xn?[,1] ,满足fn(xn)?0 ; 3

(2)对任意的p?N* ,由(1)中xn构成的数列{xn}满足0?xn?xn?p?

1. n

4.已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为An,第n项之后各项an?1,an?2,...的最小值记为Bn,dn?An?Bn.

(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列,写出d1,d2,d3,d4的

(2)设d是非负整数,证明:dn??d(n?1,2,3?)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;

(3)证明:若a1?2,dn?1(n?1,2,3,?),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

5.函数f(x)?x2?2x?3 ,定义数列{xn}如下:x1?2,xn?1是过两点P(5,4) ,Qn?xn,f?xn??的直线PQn与x轴交点的横坐标.

(1)证明:2?xn?xn?1?3

(2)求数列{xn}的通项公式.

6.已知数列{an}的前n项和为Sn ,且a2an?S2?Sn对一切正整数n都成立.

(1)求a1,a2的值 ;

(2)设a1?0 ,数列{lg

的最大值

7.已知数列?an?满足an?1?an?1?n?n?N*?,且a2?6。 an?1?an?110a1当n为何值时,Tn最大?并求出Tn}的前n项和为Tn,an

(1)求数列?an?的通项公式;

(2)设bn?

cn?ann?N*?,c为非零常数,若数列?bn?是等差数列,记?n?cbn,Sn?c1?c2?n2?cn,求Sn.

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