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2014广西预赛试题参考解答及评分标准

发布时间:2014-07-03 08:11:27  

2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷

时间120分钟,满分120分

(2014年5月18日 上午:8:00——10:00)

一、填空题: 本大题共8小题,每小题8分,共64分.

(请把答填于第页答题区) .......2......

1. 已知?为锐角,且有???2tan??????3cos?????5?0?2?,tan??????6sin??????1?0, 则sin?的值是__________. 2. 函数y?x?1??2x的最大值是_________. 3. 函数y?2|x|的图象与函数y?x2的图象围成的面积大小为_______(平方单位). 4. 从前2014个正整数构成的集M??1,2,,2014?中取出一个k元子集A,使得A中任两数之和不能被这两数之差整除,则k的最大值为_______. 5. 三棱锥P?ABC中,顶点P在平面ABC的射影为O,满足???, A点PA?6,在侧面PBC上的射影H是?PBC的垂心,则此三棱锥体积的最大值为________. 6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色,若每种颜 色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案共有________种(用数字作答). x2y27. 如右图,F1和F2分别是双曲2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点,ab

A和B是以O为圆心,以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交

点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为________.

8. 已知对每一个实数x和y函数f(x)满足f(x)?f(y)?f(x?y)?xy.若f(1)?m,则满足f(n)?2014的正整数对(m,n)共有_________个.

1

一、填空题答题区(每小题8分,满分64分)

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

二、解答题:本大题共3小题,共56分.

9. (本小题满分16分) 已知方程x2?ax?b?0的两个不等实根x1、x2满足

1x313?x2?x2133

31?3x212?2x1?2x2?3x1x2?672(a?b)?0

求a2?b2?ab?3a的值.

2

.

10. (本小题满分20分)

如图,已知L、K分别是?ABC的边AB、AC的中点,?ABC的内切圆I分别与边BC、CA切于点D、E.求证:KL、DE的交点在?ABC的角平分线上.

3

11. (本小题满分20分)

在数列{an}中,a1?1,3anan?1?an?an?1?0(n?2). (1)求数列{an}的通项; (2)若?an?

1

??对任意n?2的整数恒成立,求实数?的取值范围; an?1

2

(3

)设数列bn?{bn}的前n项和为T

n,求证:Tn?1).

3

2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

参考解答及评分标准

一、填空题: 本大题共8小题,每小题8分,共64分.

1.

3 . 10

???

解:由2tan??????3cos?????5?0,tan??????6sin??????1?0,得tan??3.

?2?

又?为锐角,故sin??2. .

3. 10

解:函数的定义域为[1,4],且y?0.根据柯西不等式有:

y?3?x?1?2?4?x?32?(2)2?(x?1)2?(4?x)2?33,

上式当且仅当2?x?1?3?4?x时,等号成立, 即x?

38

时函数取最大值. 11

4

3. 2(489?). 3ln2

解:由于函数y?2|x|与函数y?x2都是偶函数,故有

S?2[?(2x?x2)dx??(x2?2x)dx]?2(0224489?). 3ln2

4. 672.

解:首先,我们可以取672元集,A???,A中任两数之和不能被3整除,而1,4,7,?2014

其差是3的倍数;其次,将M中的数自小到大按每三数一段,共分为672段:1,2,4,5,6,7,9,,2008,2010,2011,2014. 2012,2013

现从M中任673个数,必有两数x,y取自同一段,则x?y?1或2,注意x?y与x?y同奇偶,于是?x?y??x?y?.因此k的最大值为672. 5. 36 .

解:由题可证明△ABC为正三角形,设其边长为x,

112x2x6

04则V??xsin6036?. ?36x?323123

利用导数当x?62时体积取最大值36.

6. 30.

解:从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6,满足条件的只有(13,25,46)、(14,25,36)、(14,26,35)、(15,24,36)、(16,24,35)等组合,因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆

3涂色,应有5A3?30.

7. 1?3 .

解:连AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c.令AF1?r1,AF2?r2.

?r2?r1?2a?r?c???1由直角三角形性质知:?1. r?2a?cr2?2c?r1r2?2??2

∵r12?r22?4c2,??2a?c??c2?4c2?2a2?2ac?c2?0?e2?2e?2?0,得e?1?3.

∵e﹥1,∴取e?1.

5 2

8. 8 .

解:令y=1,得f(x)?f(1)?f(x?1)?x,?f(x?1)?f(x)?m?x,

?f(x)?f(x?1)?m?(x?1),

f(x)?[f(x)?f(x?1)]?[f(x?1)?f(x?2)]??[f(2)?f(1)]?f(1) 11=mx?x(x?1),而f(n)?2014,设2014?mn?n(n?1) 22

?n(2m?1?n)?4?19?53,又n?(2m?1?n)?2m?1为奇数,

所以n与(2m?1?n)为一奇一偶.

当n为偶数时,(2m?1?n)取得奇数的个数为(1?1)(1?1)?4个(19?53的约数),即有4个解;同理,n为奇数时,也有4个解,故共有8个.

二、解答题:本大题共3小题,共56分.

9. (本小题满分16分)

解:由韦达定理得 x1?x2?a,x1x2?b. 于是,有 113123?x12?x2?2x1?2x2?x13x2 x13?x2 333

11 =[(x1?x2)3?2x1x2(x1?x2)]?(x1?x2)2?2x1x2?2(x1?x2)?(x1x2)3…………6分 33

11 =(a3?3ab)?a2?2a?2b?b3 33

1 =(a3?b3)?ab?a2?2(a?b) 3

1 =(a?b)(a2?b2?ab)?(a?b)(a?2) 3

1 =(a?b)[(a2?b2?ab)?a?2]. ………………………………………………11分 3

1由已知,得(a?b)[(a2?b2?ab)?a?2]?672(a?b). 3

1而a?b?0,所以 (a2?b2?ab)?a?2?672. 3

因此,a2?b2?ab?3a?3?670?2010. ……………………………………………16分

10. (本小题满分20分)

证明:假设AB?BC,否则结论显然成立(此时E、K重合).

设KL与?ABC的角平分线交于点S,KL//BC,??LSB??CBS??LBS, 于是LB?LS,又因为LA?LB?S在以AB为直径的圆上,故?ASB?900.……5分 6

设DE与?ABC的角平分线交于点T,则?ABC的内心I在点B、T之间.又因为AB?BC,则有T?E,且?DEC?900??C?C,?AIB?900?.…………10分 22

如果T在线段DE的内部,有?AIT??AET?1800,所以A、I、T、E四点共圆. 如果I、E在AT的同侧,有?AIT?900??C??AET,也有A、I、T、E四点共圆. 2

………………………………………………………………………………15分 因为?AEI?900,所以,?ATI?900.

由于?ASB??ATB,则S、T重合,即KL,DE和?ABC的角平分线交于一点. ………………………………………………………20分

11. (本小题满分20分)

解:(1)将3anan?1?an?an?1?0(n?2)整理得:11??3(n?2), anan?1

所以

an?11,当n?1时,上式也成立,所以,?1?3(n?1)?3n?2,即an?3n?2an1. ………………………………………………5分 3n?2

(2)若?an??1?3n?1??恒成立, 整??恒成立,即3n?2an?1

. 1

1))(32)理得:??(n?3n?

3n?

(

7

令cn?(3n?1)(3n?2)(3n?4)(3n?1)(3n?1)(3n?2)(3n?1)(3n?4). cn?1?cn???3(n?1)3n3(n?1)3n(n?1),则

28, 3因为n?2,所以上式?0,即{cn}为单调递增数列,所以c2最小,c2?

所以?的取值范围为(??,

(3

)由bn?

28].…………………………10分 3

bn??

所以 2???,……15分 3

2Tn?b1?

b2?????bn?????

3

2?1) . …………………………20分 3

8

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