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初中数学青年教师解题竞赛试卷1

发布时间:2014-07-04 11:46:12  

初中数学青年教师解题竞赛试卷

一、填空(本题共有10小题,每小题4分,共40分)

1.函数y?2?x?1中,自变量x的取值范围是. x?1

2.圆锥的母线长为5cm,高为3 cm,在它的侧面展开图中,扇形的圆心 角是 度.

3.已知xy?3,那么xyx的值是. ?yxy

4.△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE//BC,BE与CD相交 于点O,在这个图中,面积相等的三角形有 对.

5.不等式5x?11?4x的正整数解的共有个.

6.函数y?x3?x?1的图象在

7.在△ABC中,AB=10,AC=5,D是BC上的一点,且BD:DC=2:3,则AD的取值范围是 8.关于自变量x的函数y?ax2?bx?c是偶函数的条件是 9.若关于未知数x的方程x?p?x有两个不相等的实数根,则实数p 的取值范围是 .

10.AB、AC为⊙O相等的两弦,弦AD交BC于E,若AC=12,AE=8, 则AD= .

二、(本题满分12分)

11.如图,已知点A和点B,求作一个圆⊙O, 和一个三角形BCD,使⊙O经过点A,且使所作的 图形是对称轴与直线AB相交的轴对称图形.(要求 写出作法,不要求证明)

.A.B

三、(本题满分12分)

12.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级 的宽成等差数列,计算与最低一级最接近的一级的宽.

四、(本题满分13分)

13.已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.

五、(本通满分13分)

14.池塘中竖着一块碑,在高于水面1米的地方观测,测得碑顶的仰角为 20?,测得碑顶在水中倒影的俯角为30?(研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直),求水面到碑顶的高度(精确到0.01米,tan70??2.747).

六、(本题满分14分).

15.若关于未知数x的方程x2?2px?q?0(p、q是实数)没有实数根, 求证:p?q?1. 4

七、(本题满分14分)

16.如果⊙O外接于正方形ABCD,P为劣弧上的一个任意点,求: PA?PC的值. PB

八、(本题满分16分)

17.试写出m的一个数值,使关于未知数x的方程x2?4x?2m?8?0的 两根中一个大于1,另一个小于1.

九、(本题满分16分)

18.点P在锐角△ABC的边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.

参考答案

一、1. x?2且x?1 2.288 3. ?2 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD<8 8.b=0 9. 0?p?1 10.18. 4

二、作法:11. 1、作直线OB与直线AB相交于点B;

2、以O为圆心,OA为半径作⊙O;

3、过点O作直线CD⊥OB交⊙O于

点C和点D;

4、分别连结CB和DB.则⊙O和△BCD就是所求. 三、12.

解:用?an?表示题中的等差数列,由已知条件有 a1?33,a12?110,n?12

a12?a1??12?1?d,即110?33?11d.解得 d?7 ?a11?a1??11?1?d?33?70?103. 答:与最低一级最接近的一级的宽103cm. 四、13.

解:设点M(x,y)是曲线上的任一点,MB⊥x轴,垂足为B, 那么点M属于集合P??M?MB?2?.

由距离公式,得x2?y?2?y?2, 2化简,得y?12x. 8?曲线在x轴的上方,y>0,

?所求的曲线的方程是y?

12

x?x?0? 8

五、14.

解:如图,DE表示水面,A表示观测点,

B

AD

CE

B为碑顶,B?在水中的倒影,由题意:

?BAC?20?,?B?AC?30?,AD?1?m?

??B?70?,?B??60?

设BE?x,则BC?x?1,B?C?x?1.

1 在Rt△ABC中,AC?BC?tanB??x?1?tan70? ○2 在Rt△AB?C中,AC?B?C?tanB???x?1?tan60? ○1、○2得?x?1?tan70???x?1?tan60? 由○

B?

??tan70??tan60??x?tan70??tan60? 1.015x?4.479

?x?4.41米

答:水面到碑顶的高度4.41米.

六、15.

证:由题意,令??4p2?4q?0

得q??p2

p?q??p2?p

1?1?

???p???

2?4?1?4

1

即p?q?

4

2

2

七、16.

解:如图,?BP平分直角?APC,

??1??2?45?

AC

在△APB中,由余弦定理,得:

PA2?PB2?2PA?PB?AB2

同理,在△BPC中,有PB2?PC2?2PB?PC?BC2

?AB2?BC2?AP2?PC2?AC2 ?2PB2?2PB?PA?PC??0 PA?PC??2.PB当点P与点A或点D重合时. PA?PC?2 PB

八、17.

解法1:设?x?2??x?6??0,则x2?4x?12?0,令?2m?8??12,得m?10,?当m?10时,所给方程两根中,一个大于1,另一个小于1. 解法2:设x1,x2是方程的两根,则x1?x2?4,x1?x2?8?2m,依题意,

2?m??????4??4?8?2m??0,?????????x?1x?1?0.2?1?m???1,52解得:m?.?当m?3时,所给的方程52.2

的两根中,一个大于1,另一个小于1.

小.

证明:如图,P为△ABC一边BC边 九、18. 解:当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时,PA+PB+PC最上的高的垂足,而Q为BC边上的任一点, ?PA?PB?PC?PA?PC,QA?QB? QC?QA?BC,PA?QA

?PA?PB?PC?QA?QB?QC

BPC又设AC为△ABC最短边,作这边上的高BP?(如图),可知BP??AP.

在BP?上截取BoP??AP,在BC上截 ?

取B?C?AC,作B?Po?AC.垂足为Po,连

结B?Bo.?Rt?APC≌Rt?B?PoC?AP? oo

B?Po?BoP?.?四边形B?BoP?Po是矩形, BBPC??B?BoB?90?,在?B?BoB中,B?B?BBo?P?A?P?B?P?C?BBo? AP?AC,PA?PB?PC?BB??AC?AP?P?A?P?B?P?C?PA?PB?PC.

(2002.12.15)

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