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第七届华杯赛决赛二试试题及解答

发布时间:2014-07-07 14:44:51  

第七届华杯赛决赛二试试题及解答

1.某计算机接信息的速度为每秒2.8字节,发送信息的速度为每秒3.8字节。现要从A处接收,往B处发送,并还要将机内储存的58千字节的信息也发送B处。如果发送、接收轮流进行,每次发与收各l0秒钟,问:

(1)若先发送,经过多少秒恰好将机内储存的信息送完?

(2)若先接收,经过多少秒恰好将机内储存的信息送完?(结果保留分数)

2.在三角ABC中,D,E是BC边上的点,BD=AB,CE=AC,又∠DAE=

BAC的度数。

∠BAC,求∠

3.152个球。放入若干个同样的箱子中,一个箱子最少放l0个,最多放20个,且各个箱子的球数均不相同。问:有多少种放法?(不计箱子的排列,即两种放法,若经过箱子的重新排列后,是一样的,就算一种放法)

4.A,B两地相距l25千米,甲、乙二人骑自行车分别从A,B两地同时出发,相向而行。丙骑摩托车每小时行63千米,与甲同时从A出发,在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回),若甲车速每小时9千米,且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处),甲、乙二人相距45千米,问:当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距多少千米?

5.3个三位数乘积的算式

=234235286,(其中a>b>c)在校对时,发现右边

是多少? 的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的。问:原式中的

6.对干自然数a,表示a的各位数字之和。求同时满足下列条件的所有的自然数

(1)a为奇数,且不是3的倍数;(2)=m<50,m为自然数。

参考答案

1.【解】1)先发送1O秒,发出:10×3.8=38 千字节,还剩:58-38=20千字节,以后每20秒(收、发各10秒),可发机内储存的10×(3.8-2.8)=10千字节,因此,将机内储存的信息送完需要10+2×20=50秒,

2)每20秒(收、发各10秒),可发机内储存的10千字节100秒可发机内储存的50千字节还剩58-50=8千字节,再过10秒,又输入28(=2.8×10)千字节,共有8+28=36千字节,

需要

秒. 秒,因此,将机内储存的信息送完需要100+10+=

2.【解】设∠BAE,∠EAD,∠DAC分别为α,β,γ,则β=

由AB=BD得,α+β=∠BDA=γ+∠C,② 由CE=AC得,β+γ=∠CEA=α+∠B,③ ②十③得,α+γ+2β=∠B+∠C+α+γ,④ 两边再加上β得,α+γ+3β=∠B+∠C+∠BAC=180°⑤ 由于①上式即,5β=180° (α+β十γ),即 2β=α+γ.

所以3β=×3=108°,即∠BAC=108°。

3.【解】设箱子个数为m,

因为每只箱子的球数均不相同,最少放10个,最多放20个,所以m≤20-10+1=11. 如果m=11,即么球的总数≥10×11+(0+1+2+…+10)=110+55>152

所以m≤10.

如果m≤9,那么球的总数≤10×9+(10+9+8+…+2)=90+54=144<152

所以m=10,

在m=10时,10×10+(10+9+…+1)=155=152+3,

所以一个箱子放10个球,其余箱子分别放11,12,14,15,16,17,18,19,20个球,总数恰好为152,

而且符合要求的放法也只有这一种.

4.【解】先求乙的速度,设乙的速度为甲的K倍,丙与乙相遇时甲行S千米,则这时丙行7S千米,乙行KS千米,于是7S+KS=125(1)

这时甲丙相距6S(=7S-S)千米,丙第一次回到甲处时,甲又向前行6S+(7+1)=S(千米),丙行S×7(千米),乙行S×K(千米),所以甲、乙相距S×7-S×K=S(7-K)(2) 即(将(1)代入(2)消去

S)

×125(千米) ⑶

【注】(3)中的125,如果改成其他数(例如A、A两地原来相距250千米).推导完全一样,于是,在丙第二次回到甲处时,甲、乙相距

××125(千米) (4)

(推导与上面完全一样,只是125千米换成了×125千米)

根据已知条件:××125=45⑸

即:(6)

于是(只取正值)

=(7)

从而 K= 即乙的速度是每小时:×9=7(千米)

当丙第三次回到甲处时,甲、乙相距

×45=××45=×45=27(千米). 丙第四次回到甲处时,甲、乙相距

×27=<20(千米).

因此,甲、乙相距20千米发生在丙第四次回到甲处之前,即他们都应从丙第四次回到甲处这事往回倒退。由于

20-=,

而甲、乙速度之比是9∶7.所以甲应退

×

丙的速度是甲的7倍,所以丙应退甲的7倍,

从而在甲、乙相距20米时,甲丙相距

××(1+7)=(千米)

5.【解】考虑除以9的余数,我们用 x≡y(mod9)

表示x,y除以9的余数相同,也就是x-y是9的倍数,读作x与y模9同余

熟知一个自然数与它的数字和模9同余,所以

234235286≡2+3+4+2十3+5+2+8+6≡8(mod 9)

≡(a+b+c)3(mod 9)

于是 (a+b+c)3≡8(mod 9)

从而(用a+b+c≡0,1,2,…,8代入上式检验) a+b+c≡2,5,8(mod 9)(1)

对a进行讨论

如果a=9,那么 b+c≡2,5,8(mod 9)(2)

又c×a×b的个位数字是6,所以 b×c=4×1=7×2=8×3=6×4

其中只有(b,c)=(4,1),(8,3)符合(2),经检验只有 983×839×398=328245326 符合题意 如果a=8,那么 b+c≡3,6,O(mod9)(3)

又b×c=2×1=4×3=6×2=7×6=7×1,其中只有(b,c)=(2,1),符合(3). 经检验=921,不合题意

如果a=7,那么 b+c≡4,7,1(mod 9)(4)

又b×c=4×2=6×3,其中没有符合(4)的b、c

如果a≤6,那么

因此这时

综上所述,不可能符合题意。 =983是本题唯一的解 <700×600×500=210000000<222334586, 本题采用枚举法(也称为穷举法),分情况进行讨论,这是一种极常用的方法.

6.【解】如果a是一位数,那么(2)显然满足(=1),由(1),a=1,5,7。

如果a是两位数,设十位数字为x,个位数字为y,则

==1+

由于a不是3的倍数,所以Sa也不是3的倍数。但=m是自然数,所以是自然数,即9x被x+y整除。因为Sa=x+y不是3的倍数,即x+y与9互质,所以x被x+y整除。但a是奇数,所以y≠O,x<x+y,x不可能被x+y整除。因此a不可能是两位数。

如果a是四位以上的数,设a=1000x+100y十10z+u,其中y,z,u都是数字,x是自然数,则Sa≤x+y+z+u,由(2),1000x十1OOy+10z+u<50(x+y十z十u)

于是950<950x+50y<40z+50u<400+500=900矛盾,因此a不可能是四位以上的数。 如果a是三位数,设a=1OOx+1Oy+1Oz,x、y、z都是数字,x≠0,则Sa=x+y+z, m

= 与前面的推理相同,是奇数,而且由于,m<50,所以

<<5, 从而,=1或3(1)

以下分两种情况来求(1)的解

(a)1Ox-z=x+y+z,即 9x=y+2z(2)

在x=1时,由(2)可得z=1,y=7或者z=3,y=3(注意a为奇数,所以z是奇数),其中第一组得出a=117是3的倍数不合要求.

在x=2时,由(2)可得z=5,y=8(不合要求);z=7,y=4;z=9,y=0.

在x=3时,由(2)得x=y=9不合要求.

由于y+2z≤9十2×9=27,所以x不可能大于3

(b)1Ox-z=3(x+y+z),即 7x=3y+4z

同样,令x=1,2,…,9逐一检验,得出x=4时,z=7,y=0;z=1,y=8,x=6时,z=9,y=2

于是本题的解为:1,5,7,133,247,209,407,481,629

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