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第六届华杯赛决赛二试试题及答案

发布时间:2014-07-07 14:44:56  

第六届华杯赛决赛二试试题

1.是四位数,a,b,c,d均代表l,2,3,4中的某个数字,但彼此下同,例如2134。

来. 请写出所有满足关系:a<b,b>c,c<d的四位数

2.在1997行和l997列的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮,按钮每按—次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变—次状态,即由亮变不亮,不亮变亮。如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

3. A,B两地相距l05千米,甲、乙二骑车人分别从A,B两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米,出发后l小时45分钟相遇,与乙在M地相遇,然后继续 沿各自方向往前骑。在他们相遇3分钟后,甲与迎面骑车来的丙在N地相遇,而丙在C地追及上乙。若甲以每小时20千米的速度,乙以每小时比原速度快2千米的 车速,二人同时分别从A,B出发,则甲、乙二人在C点相遇。问丙的车速是多少

?

4. 圆周上放有N枚棋子,如右图所示,B点的—枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处的l枚棋予,然后顺时针每格一枚拿走2枚棋子,连续转了10周,9次 越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时,小洪发现圆周上余下20多枚棋子。著N是l4的倍数,请帮肋小洪精确计算—下圆周上还有多少枚棋子

?

5.八个学生8道问题。

(a)若每道题至少被5人解出,请说明可以找到两个学生,每道题至少被这两个学生中的一个解出。

(b)如果每道题只有4个学生解出,那么(a)的结论一般不成立。试构造一个例子说明这点。

6.长边和短边的比例是2∶1的长方形称为基本长方形。用短边互不相同的基本长方形拼图,要求任意两个长方形之间:(1)没有重叠部分;(2)没有空隙。试用短边互不相同且最小短边为1的五个基本长方形拼接一个更大的长方形,若

短边,我们将大长方形记为(

,,,

,,分别为5个)。 例如(1,2,5,6,12)就可以拼成一个长方形(见示意图,图中数字是所在长方形短边之长),是 一个解答。请尽可能多地写出其它的解答(不必画图)。注意:示意图是用解答中5个基本长方形拼成的一个长方形的拼图方法,存在其它拼图方式,但只要五个基 本长方形相同则认为是同一解答。

参考答案

1.【解】b只能在3、4中取,c只能在1,2中取

b、c取定后,a、d不难选取,共有5个满足要求的,即1324;1423;2314;2413;3412。

2.【解】当一盏灯经奇数次变换后是亮的,经偶数次变换后是灭的.所以只需将某一行(或某一列)的按钮均变换一次,这样,非此行(或列)的格子均变换1次,而该行(或列)的格子均变换了1997次,所以每盏灯均经过奇数次变换,结果都亮了。这也是最少的变换次数,因为如果减少一次变换,就会造成被减少变换的格子所在的列(或行)的灯不亮.

3.【解】设当甲以40千米/小时骑车与丙在N地相遇时,乙位于P地,如上图

当甲以40千米/小时的速度骑车与乙在M地相遇时.

甲骑车的路程:AM=40×=70(千米),乙骑车的路程:BM=105-70=35(千米), 则乙的速度是:35÷=20(千米/小时)

3分钟后,丙乙相距:PN=(40+20)×=3(千米),

乙骑车到P的路程:BP=35+20×=36(千米),

乙从P骑车到c的路程:PC=×22-36=19(千米),

乙从P到C所用的时间:19÷20=(小时)

乙从P到C所用的时间也是丙从N到C所用的时间,所以,丙的车速是:3÷

(千米/小时) +20=

答:丙的车速是千米/小时.

4.【解】设圆周上余a枚棋子,从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时,小洪拿走了2a枚棋子,所以在第9次将要越过A处棋子时,圆周上有3a枚棋子.依此类推,在第8次将要越过A处棋子时,圆周上有

处棋子时,圆周上有a枚棋子,…,在第1次将要越过Aa-1)a枚棋子,在第1次将要越过A处棋子之前,小洪拿走了2(

a-1)+1+a=a-1. +1枚棋子,所以N=2(

N=a-1=59049a-1是14的倍数。N就是2和7的公倍数,所以a必须是奇数;又N=

(7×8435+4)a-1=7×8435a+4a-1,所以4a-1必须是7的倍数.当a=21,25,27,29时,4a-1不是7的倍数,当a=23时,4a-1=91=7×13,是7的倍数.

答:圆周上还有23枚棋子.

5.【解】(a)设解题最多的人解出d道题.将解出的题数相加,八个人至多解出8d道,另一方面,每题至少被5个人解出,八个人至少解出8×5道题。所以8d≥8×5,d≥5 d=8时,结论成立d=7时,必有人解出剩下的一道题,这两人为所求,d=6时,剩下的两道题,各有5人解出,5+5>7。所以至少有一人同时解出这两道题,他与解题最多的人为所求,d=5时。另三道题每道各有5人解出,设这三道题是6,7,8,解出6的人数与解出7的人数之和为10,而除解题最多的人外只有7人,所以,有三人同时解出6,7二题,又解出8的人数为5,3+5=8>7,所以必有一人同时解出6,7,8这三道题,他与解题最多的人为所求。

(b)如表,表中如果*位于第i行,第j列,则表示第i个学生正确解答第j题

.

6.【解】共有16组解答,它们是

(1,2,2,5,5,7,25);(1,2,2,5,5,14,5);(1,2,2,25,2,5,3,625);(1,2,2.25,2.5,7.25);(1,2,5,5.5,6);(1,2,5,6,11);(1,2.2.5,4.5,7);(1,2,2.5,4.5,14);(1,2,2.5,4.5,7);(1,2,2.5,4.5,14);(1,2,5,12,14.5);(1,2,5,12,29);(1,2,2.25,2.5,4.5);(1, 2,5,6,12);(1,,2

,,

);(1,2,,,5);(1,,,,);(1,,,,).

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