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第五届华杯赛决赛二试试题及答案

发布时间:2014-07-07 14:44:57  

第五届华杯赛决赛二试试题

1.摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭,由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息,司机说,再走从C市到这里路程的三分之一就到达目的地了.问:A、B两市相距多少千米?

2.问:(a)1995年全年有几个星期日?全年有几个月有五个星期日?

(b)1996年全年有几个星期日?全年有几个月有五个星期日?

3. 甲、乙、丙三个班人数相同,在班之间举行象棋比赛,将各班同学都按1,2,3,?,编号.当两个班比赛时,具有相同编号的同学在同一台对垒,在甲、乙两班 比赛时,有15台是男、女生对垒;在乙、丙两班比赛时,有9台是男、女生对垒.试说明在甲、丙两班比赛时,男、女生对垒的台数不会超过24.什么情况下, 正好是24?

4.用0,1,2,3,4五个数字,组成四位数,每个四位数中的数字不同(如1023,2341),求全体这样的四位数之和.

5. 某幼儿园的小班人数最少,中班有27人,大班比小班多6人,春节分橘子25箱,每箱橘子不超过60个,不少于50个,橘子总数的个位数是7,若每人分19 个,则橘子数不够,现在大班每人比中班每人多分一个,中班每人比小班每人多分一个,刚好分完,问这时大班每人分多少橘子?小班有多少人?

6.一个圆周上有12个点,,??,,.以它们为顶点连三角形,使每个点恰是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问有多少种连法?

参考答案

1.A,B两市相距600千米 2.(a)1995年共有53个星期日,全年有五个月有五个星期日,(b)1996年共有52个星期日,全年只有四个月有五个星期日. 3.略 4.259980 5.大班每人分得18个橘子;小班有25人. 6.共有55种不同的连法

1.【解】如图所示.设小镇为D点,傍晚到达E点,F为AB中点

.

AD是AC的三分之一,即DC=2×AD,EB是CE的二分之一,即CE=2×EB,所以DE=DC+CE=2×(AD十EB)

已知DE=400,所以AD+EB=400÷2=200,从而AB=400+200=600(千米)

答:A、B两市相距600千米

【注】本题中,“计划上午比下午多走100千米”这一条件是多余的

2.【解】(a)1995年1月1日是星期日,1995年全年有365天,每7天有且仅有一个星期日7×52=364,因此,从1995年1 11 2日到1995年12月31日.这364天中有52个星期日,加上1995年1月1日这个星期日,共是53个星期日.

最小的月有28天,最大的月有31天,因此无论哪个月都最少有4个星期日,最多有5个星期日.53=12×4+5,因此,1995年中有五个月有五个星期日.

(b)1995年1月1日是星期日,经过364天后,1995年12月31日也是星期日.所以1996年1月1日是星期一.1996年是闰年,2月有29天,经过364天后,1996年12月30日是星期一,所以1996年全年共有52个星期日,全年只有四个月有五个星期日.

3.【解】我们可以把乙班同学分成三部分,第一部分为与甲班相同编号的同学异性者(由题设可知这部分乙班同学为15人),第二部分为与丙班相同编号的同学异性者(由题设可知这部分乙班同学为9人),其余为第三部分.设A同学属于第三部分,他与甲班相同编号的同学通性,与丙班相同编号的同学也为同性,所以,与A相同编号的甲班和丙班同学必为同性.由此可知,甲、丙两班比赛时,男、女生对垒的台数不会超过24.只有当与乙班第一部分相同编号的丙班同学均与乙班同学同性,并且与乙班第二部分相同编号的甲班同学也均与乙班同学同性时,甲、丙两班比赛中,男、女生对垒的台数正好是24.

4.【解】千位数字是1的有4×3×2=24个(因为百位数字可从0、2、3、4中选择,有4种,百位确定后,十位有3种选择,百位,十位确定后,个位有2种选择).千位数字是2、3、4的也有24种。

百位数字是1的有3×3×2=18个(因为千位数字可从2、3、4中选择,有3种。千位确定后,十位数字也有3种选择(可以为0),千位、十位确定后,个位数字有两种选择)百位数字是2、3、4的也有18个。同样,十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个 因此,所求的和是(1000+2000+3000+4000)×24+18×(1+2+3+4)×(1+10+100)=259980

5.【解】第一步,估计全园人数的上界

因为小班人数少于中班27人,最多为26人所以大班最多为32人,全园人数最多为26+27+32=85(人).

第二步,计算中班每人分得的橘子数.

假如大班每人拿出一个橘子,小班每人多分一个橘子,全园小朋友每人分得橘子一样多,还余6个因此

19>中班每人分得橘子数=>>14.6

所以中班每人分得橘子数只可能是15,16,17,18.

橘子总数的个位数是7,(橘子总数-6)的个位数字是1,所以(全园人数×中班每人分得橘子教)的个位数字是1.因此,中班分得橘子数不能是15,16,18,只能是17.

第三步,计算全园人数 85≥全园人数=>>73.

再由(全园人数×17)的个位数字是1,可知全园人数的个位数字是3,从而:全园人数=83(人)

第四步,计算小班人数

大班人数+小班人数=83-27=56(人),大班人数一小班人数=6(人)

所以小班人数==25(人)

答:大班每人分得18个橘子,小班有25人.

6.【解】我们采用递推的方法

(1)如果圃上只有3个点;那么只有一种连法

(2)如果圆上有6个点,除点所在三角形的三顶点外,剩下的三个点一定只能在所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法,

1:

共有3种连法

(3)如果圆上有9个点,考虑所在的三角形此时,其余的6个点可能分布在①所在三角形的一个边所对的弧上;②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上。在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧。如果是情形①,则由(2),这六个点有三种连法;如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.

2

共有12种连法.

(4)最后考虑圆周上有12个点。同样考虑

①每三个点在所在三角形.剩下9个点的分布有三种可能,所在三角形的一条边对应的孤上;②有6个点是在一段弧上,另三点在另一段弧上;③9个点都在同一段孤上。得到表3.

3

共有12+3+3+12+3+1+3+3+3+12=55种 答:共有55种不同的连法

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