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第十届华杯赛口试试题及解案

发布时间:2014-07-07 14:44:58  

第十届华杯赛口试试题

题1.(共答题1) 粤++=10

在上面的算式中,粤、惠、州、华、罗、庚、金、杯、赛代表1~9这九个不同的数字。请给出一种填数法,使得等式成立。

题2.(群答题1)

跳绳的时候,可以认为绳子的中间点在同一个圆周上运动。如果小光用0.5秒跳一个“单摇”,用0.6秒跳一个“双摇”,则跳“单摇”时绳中间点的速度和跳“双摇”时绳中间点的速度之比是多少?

(说明:“单摇”是脚离地面一次,绳子转一圈;“双摇”是脚离地面一次,绳子转两圈。) 题3.(必答题A1)

如图,阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点,分别以大正方形各边的一半为直径向外作半圆,再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆,形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米,问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米

?

题4.(必答题A2)

两个自然数a,b的最小公倍数等于50,问a+b有多少种可能的数值?

题5.(必答题A3)

如图所示,三角形ABC中,点X,Y,Z分别在线段AZ,BX,CY上,且YZ=2ZC,ZX=3XA,XY=4YB,三角形XYZ的面积等于24,求三角形ABC的面积。

题6.(必答题A4)

你能在3×3的方格表(如图)中填入彼此不同的9个自然数(每个格子里只填一个数),使得每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗?若能,请填出一例,若不能,请说明理由。

题7.(必答题A5)

已知长方形的长为8,宽为4,将长方形沿一条对角线折起压平,如图所示。求重叠部分(灰

色三角形)的面积。

题8.(必答题A6)

开始有三个数为1,1,1,每次操作把其中的一个数换成其他两数的和。问经过10次操作后所得的三个数中,最大数的最大可能值是多少?

题9.(群答题2)

中国古代的“黑火药”配制中硝酸钾、硫磺、木炭的比例为15∶2∶3。今有木炭50千克,要配制“黑火药”1000千克,还需要木炭多少千克?

题10.(群答题3)

图中的大正方形ABCD的面积是18平方厘米,灰色正方形MNPQ的边MN在对角线BD上,顶点P在边BC上,Q在边CD上。问灰色正方形MNPQ的面积是多少平方厘米

?

题11.(共答题2)

将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体,如图所示,看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?(说明:这是一道现场动手操作题,每队的4名选手,既要动手,又要动脑,而且要有很好的合作精神。参赛队如果都没得到“最小表面积是54”的堆放法,就以堆放表面积最小的队为胜者。因此,本题以“看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?”来设问

)

题12.(必答题B1)

下图是中国古代的“杨辉三角形”,问:写在图中“网点”处所有数的和是多少?

题13.(必答题B2)

一张面积为7.17平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面,如上页右图所示,得出A,C,B,D四个交点,并且AB∥EF,CD∥WX。问纸片EFGH的面积是多少平方厘米?说明理由。

题14;(必答题B3)

小于10且分母为36的最简分数共有多少个

?

题15.(必答题B4)

如图所示,如果长方形ABCD的面积是56平方厘米,那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米

?

题16.(必答题B5)

你能用写有数字的卡片,,,,,,,排成两个自然数,使得其中的一个数是另一个数的2倍吗?如果能,请排出一例,如果不能,请说明理由。 题17.(必答题B6)

从下图a那样的等边三角形开始,将三角形的每条边三等分,然后以中间的线段为边向外作

新的等边三角形,如图b,得到一个“雪花六角形”。接着将“雪花六角形”的12条边的每一条三等分,仍以中间的线段为边向外作新的等边三角形,如图c,得到一个新的“雪花形”。问:图c的面积与图a的面积的比是多少

?

题18.(群答题4)

构成自然数。的所有数字互不相同,这些数字的乘积等于360。求n的最大值。 题19.(群答题5)

鹅城西湖落天鹅,一湖一对两鹅多,一湖三只三只少,共落天鹅有几多?

(说明:惠州别称“鹅城”,城中的西湖是著名风景区,由丰、鳄、平、菱、南5个湖区组成。题意是说:一个湖区落一对天鹅多两只天鹅,一个湖区落三只天鹅少三只天鹅,问共落有多少只天鹅?)

题20.(共答题3)

编号为1~9的九位小朋友,胸前都别着一个汉字,依次为:惠、州、西、湖、丰、鳄、平、菱、南,如图所示站在五个圆的标志中,且每个圆中的小朋友的编号的和均为13,请指出别着“丰”字的小朋友的编号最大是几?

题21.(抢答题1)

13位同学参加某项赈灾捐款,每人的捐款数均为整数元。马小虎很快计算出他们的平均捐款数为64.96元,可惜百分位的数字有误。问:这13位同学的捐款总数是多少元? 题22.(抢答题2)

右图中的两个滑块A,B由一个连杆连接,分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时,滑块A距O点20厘米,滑块B距O点15厘米。问;当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了多少厘米

?

题23.(抢答题3)

算盘上一左一右列出了两个十进位的数,左边的是个7位数,右边的是个4位数,如图所示,问左边的数除以右边的数的商是多少?

题24.(抢答题4)

如图所示,圆周上的十个点将圆周十等分,连接间隔两个点的等分点,共得出圆的十条弦,它们彼此相交,构成各种几何图形。请回答:图中共有多少个平行四边形

?

题25.(抢答题5)

圆上的100个点将该圆等分为100段等弧,随意将其中的一些点染成红点,要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点,问:你至少要染红多少个点?

题26.(抢答题6)

用数字1,2,3,4,5,6填满一个6×6的方格表,如右图所示,每个小方格只填其中的一个数字。将每个2X 2正方格内的四个数字的和称为这个2×2正方格的“标示数”。问能否给出一种填法,使任意两个“标示数”均不相同?如果能,请举出一例;如果不能,请说明理由。

题27.(共答题4(操作))

一个考古发现的正多边形残片,如图所示:只用一副学生三角板和一支铅笔为工具,请你判定这个正多边形的边数。

(说明:所给正多边形残片中的∠EAB=∠ZFBA=∠165°,需要选手动手去量

)

题28.(群答题6)

下面的两条横幅:

中华少年 杯赛联谊 切磋勾股

炎黄子孙 惠州弘志 振兴中华

每个字代表一个小于25的非零自然数,不同的字代表不同的数,相同的字代表相同的数。

已知这些字代表的34个数的平均值是12丧。问“中华”两个字代表的自然数之和的最大值是多少?

参考答案

1.答案不唯一,写出一个即可。如:

9++=10,9++=10,9++=10,

9++=10,7++=10, 6++=10,

++6=10均为解答。

2.答案:3:5

分析:设绳中间点运动的圆周的半径为r,则绳子转一圈绳中间点运动了2πr的距离,“单摇”和“双摇”时的速度分别为和,所以速度之比为

:=:=:=3:5

3.答案:10

分析:如图所示,连接AB和CD相交于O,容易由勾股定理和半圆面积公式得到三角形,ACH的面积,即得到三角形AOC的面积等于AH,HC上两个“月牙形”的面积之和。因此,这8个“月牙形”的总面积等于正方形ACBD的面积。

由于这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米,而正方形EFGH的面积为正方形ACBD的面积的2倍,所以正方形EFGH的面积等于10平方厘米。

4.答案:8

分析:因为:50=2×5,a,b是50的约数,它们只能取1,2,5,10,25,50。不妨设a≥b,当取a=50时,b=1,2,5,10,25,50;当取a=25时,b=2,10

所以,a+b共有8种可能的不同数值。

两个自然数a,b的最小公倍数等于50,当a≥b时,a+b取不同数值可列表如下:

5.答案:59

分析:连接AY,CX,BZ,如图所示,由三角形XYZ的面积等于24,YZ=2ZC,三角形XZC的面积等于12。

又ZX=3XA,三角形XZC的面积等于12,所以三角形AXC的面积等于4。三角形AYX的面积等于8。注意到XY=4YB,三角形ABY的面积等于2。三角形ZBY的面积等于6,三角形CBZ的面积等于3。

所以三角形ABC的面积=24+12+4+8+2+6+3=59。

6.答案;不能

分析:如果能填,则填入的彼此不同的9个自然数将是2005的9个彼此不同的约数,然而2005的彼此不同的正约数只有1,5,401,2005这4个,故不能。

7.答案:10

分析:如图所示,因为∠EBD=∠EDB,显然

BE=DE,AE=CE

设BE=DE=x,则

AE=CE=8-x

由勾股定理得

(8一z)+4=x

解之得x=5

所以,S=·BE·CD=×5×4=10

8. 答案:144

分析:每次把三个数从小到大排序,再把前面的最小的数换成后面两个数的和,结果为{1,1,1}→{1,1,2}→{1,2,3,}→{2,3,5)→{3,5,8}→{5,8,13}→…

经观察,最大的数构成一个斐波那契(Fibonacci)数列,开始的两个数是1,2,从第三项开始,每个数是前面两个数的和。因此为

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

经过lO次操作后,该数列中第11个数是144,即最大数的最大可能值是144。

9.答案:100

分析:由硝酸钾,硫磺,木炭的比例为15:2:3求得,木炭所占的比例为,因此,配制1000千克的“黑火药”需要木炭1000×=150(千克),今有木炭50千克,故还需要木炭150千克-50千克=100千克。

10.答案:4

分析:连接AC交BD于O,作大正方形ABCD的外接正方形EFGH,如图所示,则正方形EFGH的面积是36平方厘米。所以,DB=AC=6厘米。

易知DM=MQ=MN=NB=2厘米

所以灰色正方形的面积是4平方厘米。

11.答案:54

分析:25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体,当小积木自相重合的面最多时表面积最小。设想27块边长为1的正方体积木,其表面积为54(图a)。

现在要去掉2块小积木成为25块,其总表面积不会减少。要使得总表面积最小,发现在一个角处去掉相邻的两块小积木时(图b),或在两个角上各去掉一块小积木时(图C),总表面积不变,与边长为3的立方体的表面积相等,为3×3×6=54。所以堆放25块小积木的最小表面积是54。

12.答案:127

分析:这是一道找规律的速算题。

第1行的数是1;第2行的2个数的和是2;第3行的3个数的和是4;第4行的4个数的和是8;第5行的5个数的和是16;第6行的6个数的和是32;第7行的7个数的和是

64。求和:1+2+4+8+16+32+64=127。

13.答案:7.17

分析:连接AC,CB,BD,DA,如图所示,因为AB∥EF∥GH,所以ABC的面积是平行四边形AEFB面积的一半,△ABD的面积是平行四边形的AHGB面积的一半,因此四边形ACBD的面积是平行四边形EFGH面积的一半。

同理可证,四边形ACBD的面积也是平行四边形WXYZ面积的一半。因此,

平行四边形EFGH的面积=平行四边形WXYZ的面积=7.17平方厘米

14. 答案:120个

分析:设满足题设条件的数为x,则x=,其中0≤n≤9,r取小于36且与36互质的自然数1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,共计12个。

所以,小于10且分母为36的最简分数共有lO×12=120(个)。

15. 答案:32.5

分析:如图所示,过M,N,P,Q分别作长方形ABCD的各边的平行线。易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米,面积等于9平方厘米。

设△MQD,△NAM,△PBN,△QCP的面积之和为S,四边形MNPQ的面积等于x,则

解上述方程,得2x=65,所以x=32.5平方厘米。

16.答案:不能

分析:设一个数为a,另一个数为b,依题意a=2b,则S=a+b=2b+b=3b,所以3︳S。但S被3除的余数等于a+b被3除的余数,等于a被3除的余数与b被3除的余数之和,即等于2+3+4+5+6+7+8+9=44被3除的余数,但是这个余数不等于0,矛盾!所以不

能用写有数字的卡片排成两个自然数,使得一个自然数是另一个自然数的2倍。

17.答案:40:27

分析:设图a的等边三角形的面积是l,在图b中,每条边上增加的等边三角形的面积是.共增加了3个等边三角形,所以图b的面积和图a的面积的比是。类似地,图c中外边缘增加的小等边三角形的面积是=,共增加了12个小的等边三角形,所以图

c的面积是+12×=+=。

所以,图c的面积和图a的面积比是40:27。

18.答案:95421

分析:360=2×3×5=1×2×4×5×9,所以a的最大值为95421。

19.答案:12只

分析:

方法一:(算术法)由“一湖一对两鹅多”,知天鹅数是2的倍数;由“一湖三只三只少”,知天鹅数是3的倍数。又(2,3) =1,可知天鹅数是6的倍数:6,12,18,24,…验算得:共落有12只天鹅。

方法二:(代数法)设天鹅数为x只,落在Y个湖中。则2y+2=3y-3,

解得y=5,则x=2y+2=2×5+2=12,即共落天鹅12只。

20.答案:8

分析:易知

惠+州+西+湖+丰+鳄+平+菱+南=45 ①

惠+2×州+西+2×湖+丰+2×鳄+平+2×菱+南=13×5=65 ②

②-①得:

州+湖+鳄+菱=20

又 湖+丰+鳄=13

若“丰”=9,则只能

湖+鳄=1+3

此时由③得

州+菱=20-1-3=16

但州、菱都小于9,所以

州+菱≤8+7=15

矛盾!所以“丰”不等于9,“丰”的最大可能值等于8。事实上,惠=4,州=9,西=1,湖=3,丰=8,鳄=2,平=5,菱=6,南=7,合乎要求。所以“丰”的最大值等于8。

21. 答案:844

分析:设这13位同学的捐款总数为x元,则

64.90<<64.99

所以

843.7<x<844.87

由于x为整数,所以x=844元。

22.答案:10 .

分析:由AB=A0+OB=20+15=25,可知连杆的长度等于25厘米。当滑块A向下滑到O点时,滑块B距O点的距离是25厘米,故滑块B滑动了25-15=10(厘米)。

23. 答案:430

分析:左、右边的数分别为12341×10,287×10,两数之比为43×10=43×10=430.

24. 答案:5

分析:连接圆周上的十个等分点的“对径点”,共连接出5条直径,每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线,与一个平行四边形对应。因此图中共有5个平行四边形。

25. 答案:76

分析:如图所示:圆的一对直径AC,BD互相垂直时,则ABCD恰是一个正方形。反过来,如果圆上的四点A,B,C,D恰是一个正方形ABCD的4个顶点,则对角线AC,BD恰是该圆的一对互相垂直的直径。

圆上的100个点将该圆等分为100段等弧,恰有25对互相垂直的直径,由互相垂直的直径的4个端点恰可构成25个不同的正方形。最不利的情形是:每对互相垂直的直径的4个端点中染红3个点,则总计在圆的100个

等分点中染红了75个点,其中任意的4个红点都不是一个正方形的4个顶点。这时,我们只要再染一个红点,即染76个红点,而76=3×25+1,就必定会出现一个正方形的4个顶点都是红点,因此,要保证至少有一个正方形的4个顶点为红点,至少要将这100个等分点中的76个点染成红点。

26.答案:不能

分析;每个2×2正方格内的四个数字的和最大是24,最小是4,从4至24共有21个不同的数值,但是在6×6的方格表中,共有25个不同的2×2的正方格,也就是有25个“标示数”,由25>21,根据抽屉原理,必有两个“标示数”相同。

27. 答案:24

分析:利用一副学生用的三角板和一支铅笔,可以量得∠EAB=90°+45°+30°=165° 由(n一2)×180°=n×165°得n=24

或如图所示,延长EA到C,用等腰直角三角板画∠BAD=45°,再用另一只三角板的较小的锐角量得∠CAD=30°,∴∠BAC=45°-30°=15°。

由n×15°=360°,解得n=24。

28.答案:46

分析:这些字代表的24个自然数的平均值是12如果24个汉字分别代表1至24,其总和是 =,则这24个数的和为302。

1+2+3+…23+24==300,

因为302-300=2,“中华”两字各出现了2次,其他字都只出现一次。必有其中一个“中华”由于代替了另外两个不同的汉字,使得总和增加2。

设x和y分别代表“中”和“华”,所代替的两字为u,v,应当有:

x+y=2+u+v.

要使想x+y最大,只要使u+v最大。

x+y≤23+24—47

u+v≤47+2—45

若x+y=47,只能取x=24,y=23,或z=23,y=24.这时u+v=45,只有u=23,v=22,或u=24,v=21,会出现y=u的情况,所以x+y=47不能达到。再看x+y=46,可取x=24,y=22。由u+v=44,可取u=21,v=23。

可见x+y=46可以达到。

所以,“中”与“华”所代表的自然数之和的最大值是46。

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