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第六届华杯赛决赛一试试题及答案

发布时间:2014-07-07 14:45:00  

第六届华杯赛决赛一试试题

1.N是1,2,3…1 995,1996,1997的最小公倍数,请回答N等干多少个2与—个奇数的积?

2.正方形客厅边长12米,若正中铺一块正方形纯毛地毯,外围铺化纤地毯共需费用22455元。已知纯毛地毯每平方米250元,化纤地毯每平方米35元,请求出铺在外围的化纤地毯的宽度是多少米

?

3.将l,2,3…49,50任意分成l0组,每组5个数,在每组中取数值居中的那个数为“中位数”,求这l0个中位数之和的最大值及最小值。

4.红、黄、蓝和白色卡片各一张,每张上写有一个数字,小明将这四张卡片如右下图放置,使它们构成一个四位数,并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差。结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998。问:红、黄、蓝三张卡片上各是什么数字

?

5. —堆球,如果是l0的倍数个,就平均分成l0堆并拿走9堆。如果不是l0的倍数个,就添加几个,但少干l0个,使这堆球成为l0的倍数个,再平均分成10 堆并拿走9堆,这个过程称为—次“均分”。若球仅为一个,则不做“均分”。如果最初一堆球数有l 234…19961 997个,请回答经过多少次“均分”。和添加了多个球后,这堆球就仅佘l个球?

6.若干台计算机联网,要求:(1)任意两台之间最多用一台电缆连接;(2)任意三台之间最多用两条电缆连接;(3)两台计算机之间如果没有连接电缆,则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆。若按此要求最少要连79条,问:

(1)这些计算机的数量是多少?

(2)这些计算机按要求联网,最多可以连多少条电缆?

参考答案

1.【解】因为210=1024,211=2048>1997,每一个不大于1997的自然数表示为质因子相乘,其中2的个数不多于10个,而1024=210,所以,N等于10个2与某个奇数的积

2.【解】如果全铺化纤地毯,少用 22455—35×122

元每平方米少用(250—35)元,所以纯毛地毽的面积为 (22455—35×122)÷(250—35)=81(平方米).

从而纯毛地毯的边长为9米

因此,外围化纤地毯宽度是(12—9)÷2=1.5(米)

3.【解】设10个“居中数”从小到大是分别为第一组,第二组…,第十组

. 比第一组中两个数大,所以

所以

,,,…,,,它们所代表的那组数≥3.比第二组中两个数大,又比第一组的前3个数大,≥6,依次类推,比第十组中两个数大,又比前九组中,每一组的前3个数大,

所以≥30,因此,居中和

S≥3+6+…十30=165(1)

另一方面

, 比第十组中两个数小,所以≤50-2=

48. 比第九组中两个数小,又比第十组的后3个数小,所以≤50-5=45.依此类推:比第一组中两个数小,又比后九组中,每一组的后3个数小,所以≤50-9×3-2=21.因此。居中和 S≤48+45+…+21=345

(2)

(1)(2)中的等号都可以成立,例如分组

(1,2,3,49,50),(4,5,6,47,48),(7,8,9,45,46),(10,11,12,43,44),(13,14,15,41,42),(16,17,18,39,40),(19,20,21,37,38),(22,23,24,35,36),(25,26,27,33,34),(28,29,30,31,32)

使得S=165,这是最小的居中和,又如分组

(1,2,21,22,23),(3,4,24.25,26),(5,6,27,28,29);(7,8,30,31,32),(9,10,33,34,35),(11,12,36,37,38),(13,14,39,40,41),(15,16,42,43,44),(17,18,45,46 47),(19,20,48,49,50)

使得S=345,这是最大的居中和。

答:最大的居中和是345,最小的居中和是165。

4.【解】设红、黄、白和蓝色卡片的数字分别是a3,a2,a1和a0,

这四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0,

数字和的1O倍是 10(a3+a2+a1+a0)=10a3+10a2+10a1+10a0,

四位数与数字和的10倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998,即110a3+10a2-a0=222, 比较等式(*)两边个位、十位和百位,a0=8,a2=1,a3=2

于是,红卡上的数字是2,黄卡上的是1,蓝卡上的是8。

5.【解】设最初有N个球,N=第一次添加(10一)个,分成10堆,拿走9堆后留下的球数是:

无论=9,不必添加,就可以分成10堆.若=9还是<9,则添加10-()+(9-

+1)个球,

)+(9-)+(9-)

+1>1个球.所十1)个,再分成lO堆. )个球, ,≠0,≠0. <9,两次“均分”,共需要添加(10-余下小堆的球数是:同样道理,第三次“均分”,需添加10-(连同第一、二次“均分”时添加的球共添加了 (10-个球.并且,“均分”一次,k位数N就少一位.经过k一1次均分,余下

以,经过k次“均分”后,就余下1个球.总共添加的球数是:10+9(k一1)一(十)(个) +十…当N=1234…19961997时.N的位数k

=1×9+2×90+3×900+4×(1997—999)

=9+180+2700+4000-8=6881

N的数字和也就是:1,2,…1996,1997

中所有数字的和,如果在后面再添上1998,1999,那么l在千位出现1000次;0,l,2…9在百位、十位、个位都各出现200次,所以N的数字和为:

1×1000+3×200×(1+2+…+9)-(1十9十9+8+1+9+9+9)=27945

因此所加的球数是:10+9×6880-27945=33985(个).

答:“均分”6881次,添加了33985个球.

6.【解】将机器当成点,连结的电缆当成线,我们就得到一个图.如果从图上一个点出发,可以沿着线跑到图上任一个其它的点,这样的图就称为连通的图,条件③表明图是连通图 我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈(如果有圈,就在圈上去掉一条线),从一点出发.沿线前进,已走过的点不再重复,那么走若干步后,必然走到一个点,不能再继续前进,将这一点与连结这点的线去掉.考虑剩下的n-1个点的图,它仍然是连通的。用同样的办法又可去掉一个点及一条线.这样继续下去,最后只剩下一个点。因此n个点的连通图至少有n-1条线(如果有圈,线的条数就会增加),并且从一点A向其它n-1个点各连一条线,这样的图恰好有n-1条线

因此,(1)的答案是n=79+1=80,并且将一台计算机与其它79台各用一条线相连,就得到符合要求的联网

下面看看最多连多少条线。

在这80个点(80台计算机)中,设从A.引出的线最多,有K条,与,由于条件②,设与而不相连的点是、、…、、,、…、,…,之间没有线相连 ,则m+k=80 相连的点是,,…

,每一点至多引出K条线,图中至多有mK条线,因为

≤=6400. 4×m×k=所以 m×k≤1600 即连线不超过1600条

另一方面,设80个点分为两组:,,…,;,,…,,第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连,这样的图符合题目要求,共有 40×40=1600条线,因此,最多可连1600条线。

注:我们只用到图是连通的,而没有利用强得多的条件③,因此结论更有一般性。

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