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初中数学竞赛教程16、因式分解(2)

发布时间:2014-07-08 13:49:10  

2013年暑期初一数学竞赛第十六讲:因式分解(2)

一. 内容提要

分解因式,其常用的方法有:提取公因式,运用公式法,分组分解法,十字相乘法,双十字相乘法,拆(添)项法,待定系数法和换元法等等.

常用公式除课本上的几个公式以外,大家还应熟悉以下的公式(结论):

a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3; a3±b3=(a±b)(a2ab+b2);

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2; a4+4=(a2+2a+2)(a2-2a+2).

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac);

二. 热身练习

1.已知三个整数a、b、c的和为奇数,那么a+b-c+2ab( ).

A.一定是非零偶数 B.等于零

C.一定是奇数 D.可能是奇数,也可能是偶数

2.关于x、y的方程xy=180的正整数解有( ).

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

3.方程2x-3xy-2y=98的正整数解有( ).

A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 222222

20002?199819972?19974.化简:= . 21998?20001998?2001?4

5. 已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2,?ax+by=5,则(a+b)xy+ab(x+y)的值为_______.

2222

三. 例题分析

例1.分解因式:x2+5xy+6y2+8x+18y+12

例2. k为何值时,多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分成两个一次因式的积?

例3.分解因式2x3-13x2+25x-14.

例4.因式分解:①x3-11x+20 ② a5+a+1

例5.已知:长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足x?y?x2?2xy?y2?2?0,

求长方形的面积。

例6.证明:若4x?y是7的倍数,其中x,y都是整数,则8x2?10xy?3y2是49的倍

数。

例7.已知a、b、c为△ABC的三条边,且满足a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-ba-ca=0,则△ABC

是( ).

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形

例8.某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m个男生和11?个女生的捐款总数与乙班的

9个男生和n个女生的捐款总数相等,都是(mn+9m+11n+145)元,已知每人的捐款数相同,且都是整数,求每人的捐款数.

四. 思维提升

1.分解因式:

(1)x3-7x+6; (2)x4+y4+(x+y)4; (3)x3-5x2+9x-6

2.已知多项式2x3?x2?13x?k有一个因式,求k的值,并把原式分解因式。

3.已知 a、b、c是一个三角形的三边,则a4?b4?c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2的值(

A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负

4.已知 n是正整数,且n4—16n2+100是质数,求n的值.

5.(1)求方程6xy?4x?9y?7?0的整数解;(上海市竞赛题)

(2)设x、y为正整数,且x2?y2?4y?96?0,求xy的值.

【巩固拓展】

1、多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,单项式为(

) )

(A)4x (B)-4x (C)4x4 (D)-4x4

2、下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是( ) m2n222222(A)m+1+ (B)x+2xy-y (C)a+14ab+49b (D)-n+1 493

3、两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除,则k等于( )

(A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数

4、下列多项式:①16x5-x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x,分解因

式后,结果含有相同因式的是( )

(A) ①④ (B) ②④ (C) ③④ (D) ②③

5、分解因式:m3-4m= 。

6、若ax2+24x+b=(mx-3)2,则a= ,b= ,m= .

7、已知x+y=6,xy=4,则x2y+xy2的值为 .

8、将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为9、分解因式: (1)x2+4x-y2+4; (2)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20。

10、计算:

11、计算:20003?2?20002?199820003?20002?2001。 (2?2?2)(4?7?2)(6?9?2)(8?11?2)?(1994?1997?2)。 (1?4?2)(3?6?2)(5?8?2)(7?10?2)?(1993?1996?2)

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