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初中数学竞赛教程24、计数方法

发布时间:2014-07-08 13:49:13  

2013年暑期初一数学竞赛第二十四讲:计数方法

【知识要点】

1、枚举法:就是把所要求计数的所有对象一一列举出来,最后计算总数的方法。运用枚举法进行列举时,必须注意无一重复,也无一遗漏。

2、加法原理:如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。这就是加法原理,也是利用分类法计数的依据。

3、乘法原理:如果完成一件事需要分成n个步骤,做第一步有种m1不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步mn有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.这就是乘法原理,它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别,也要注意二者的联合使用。

【例题精选】

例1、求100以内仅能分解为两个素数之积的正整数的个数。

1、将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形,那么不全等的三角形共有多少个?

2、将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( )

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种 (2008年全国初中竞赛题)

3、用标有1克,2克,6克,26克的法码各一个,在一架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置法码,那么可以称出的不同克数(正整数的重物)的种数共有( )

(A)15种 (B)23种 (C)28种 (D)33种 (2006年浙江复赛)

例2、一位解放军战士打靶,他打了3枪,共21环,而每枪可以打1~10环,问他有多少种

不同的打法?(要求考虑打枪的次序)

1、?ABC是一个等腰直角三角形,DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点;那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为( ).

A、12 B、13 C、26 D、30 (2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题)

2、如图是某城市的一部分街道图,纵横各有五条路。如果从A处走到B处(只能由北到南, 由西向东),那么有多少种不同的走法? A

B

3、在?1?2?3?5?20中,适当选择+、-号,可以得到不同代数和的个数是. (2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题)

例3、利用数字1,2,3,4,5共可组成:(1)多少个数字不重复的三位数?

(2)多少个数字不重复的三位偶数? (3)多少个数字不重复的偶数?

例4、(1)图中一共有多少个长方形?

(2)所有这些长方形的面积和是多少?

1、(第12届五羊杯竞赛题)图中一共能数出( )个

长方形(正方形也算作长方形)

A、64 B、63 C、60 D、48

2、(第16届五羊杯竞赛题)图中可以数出的平行四边形个数为( )

A、123 B、114 C、108 D、105

3、(第16届希望杯数学邀请赛试题)如图,长方形ABCD由3?4个小正方形组成,那么此 图中不是正方形的长方形有多少个?

ADBC

例5、(1)计算凸九边形所有对角线的条数以及凸九边形的顶点所构成的三角形的个数。

(2)在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数,以这凸九边形的顶点为顶点的三角形中,若三个顶点所标三数之和为奇数,则称该三角形为奇三角形;三数之和为偶数,则称为偶三角形。试证明:奇三角形个数必为偶数。

【巩固拓展】

1、同时都含有字母a、b、c,且系数为1的7次单项式共有( )个

A、4 B、12 C、15 D、2

2、将长为15dm的木棒截成长度为整数的三段,使它们构成一个三角形的三边,则不同的 截法有( )

A、5种 B、6种 C、7种 D、8种

3、如图,已知长方形ADFM四周共有10个点,相邻两点间的

距离都等于1cm,以这些点为顶点构成的三角形中,面

积等于3cm的三角形共有( )

A、4个 B、8个 C、10个 D、12个 2A

4、设三位数abc能被3整除,且以a、b、c为三条边的长可构成一个等腰三角形(含等边三角形),则这样的三位数共有( )个

A、21 B、36 C、45 D、63

5、一圆形地块,打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物,要在同一区域内种同一种植物,相邻(有公共边)的两块地里种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择,那么所有的栽种方案的个数为( )

A、66 B、68 C、60 D、84

6、在等边△ABC所在平面上找到这样一点P,使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,那么具有这样性质的点的个数共有( )

A、1 B、4 C、7 D、10

7、在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙,则不同的顺序的排法有( )

A、5种 B、10种 C、12种 D、24种

8、用8个数码1、3、4、5、6、7、8、9各使用一次,组成一个三位数A,两个二位数B、

C(B<C),和一个一位数D,使得A+D=B+C=143,则满足条件的数组(A,B,C,D)共有( )

A、4组 B、8组 C、16组 D、24组

9、甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛,如果任意安排四位同

学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是( ) (A)1 4 (B) 11 (C) 68 (D) 1 12

10、如图,从1到7移动,如果移动规定只能够移动到邻近一格,

并且总是向右移动,举个例子,1→2→3→5→7就是一条移动

路线,则从1至7的移法有 ( )

A、8种 B、12种 C、13种 D、5种

11、把7本不同的书分给甲、乙两人,甲至少要分到2本,乙至少要分到1本,两人的本数 不能只相差1,则不同的分法共有 种。

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