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初中数学竞赛教程22、整数的整除性和奇偶性

发布时间:2014-07-08 13:49:16  

2013年暑期初一数学竞赛第二十二讲:整数的整除性和奇偶性

【例题精选】

例1、如果a,b,c是正整数,a和b是奇数,那么3a?(b?c)2?c( )

A、对于c的所有选择都是奇数; B、对于c的所有选择都是偶数;

C、当c是偶数时为奇数,c为奇数时为偶数;

D、当c是奇数时为奇数,c为偶数时为偶数;

1、设a、b、c都是整数,且a?b?c是偶数,试说明a?b?c、b?c?a、c?a?b都 是偶数。

2、若a,b,c中有两个是奇数,一个是偶数,判断(a?2001)2?(b?2002)2?(c?2003)2是 奇数还是偶数?

3、设a1,a2,?,a2011是1到2011的整数打乱顺序后,任意一种顺序的排列,请判断 (a1?1)?(a2?2)?...?(a2011?2011)是奇数还是偶数,并说明理由。

4、甲、乙两人玩纸牌游戏,甲持有全部的红桃牌(A作1,J、Q、K分别作11、12、13),乙持有全部的黑桃牌,两人轮流出牌,每次出一张,得到一对牌,出完为止,共得到13对牌,每对牌彼此相减,问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?

例2、黑板上写上1,2,3,?,1998,按下列规定进行操作:每次擦去其中的任意两个数a

和b,然后写上它们的差(大减小),直到黑板上剩下一个数为止。问:黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?

1、黑板上写有1,2,3,?,1997,1998这1998个数,对它们进行如下操作:擦去其中 三个数,再将这三个数和的个位数字补写在黑板上,例如擦去5,13,1998后添6,再如擦去6,6,38后添0,等等。如果经过998次操作后,黑板上只剩下两个数,一个是25,则另一个数是什么?

2、在1,2,3,?,1989之间填上“+”或“—”,求和时可以得到最小的非负数是多少?

例3、设有m只茶杯,开始时杯口都朝上,把茶杯随意翻转,规定每翻转n只,称为一次翻

动,翻动过的茶杯允许再翻。当m为奇数,n为偶数时,是否存在某此翻动使杯口都

朝下?

1、若有7个杯子杯口朝下摆在桌子上,每次翻转4个杯子(口朝下的翻为口朝上,口朝上

的翻为口朝下)。经过若干次这样的翻动,问:可不可能全部杯子口都朝上?

2、若有6个杯子杯口朝下摆在桌子上,每次翻转4个杯子(口朝下的翻为口朝上,口朝上

的翻为口朝下)。经过若干次这样的翻动,问:可不可能全部杯子口都朝上?

例4、2003年3月23日是星期日,那么2003年元旦是( )

A、星期二 B、星期三 C、星期四 D、星期五

1、今天是星期日,从今天算起,第111...1天是星期( )

2000个1 A、一 B、二 C、三 D、四

2、设m?1?2?3?...?2011,今天是星期一,若算第一天,则第m天是星期几?

例5、已知两个三位数abc与def的和abc?def能被37整除,试证明:六位数abcdef也

能被37整除。

1、已知7位数1287xy6是72的倍数,求出所有符合条件的7位数。

2、五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,则abcde的最小值是多少?

3、设p (p?5)是质数,并且2p?1也是质数.求证:4p?1是合数.

2222

例6、如果n?100能被n?10整除,那么满足条件的最大正整数n的值为。

1、如果p、q、

【巩固拓展】

1、已知n是整数,现有两个代数式:(1)2n?3;(2)4n?1,其中能表示“任意整数”的是( )

A、只有(1) B、只有(2) C、有(1)和(2) D、一个也没有

2、在2010个自然数:1,2,3,?,2010的每一个数前面任意添上“+”或“-”,则它们的代数和一定是( )

A、奇数 B、偶数 C、负整数 D、非负整数

3、如果a,b,c是三个任意整数,则22p?12q?1、都是整数,且p?1,q?1,求p?q的值。 pqa?bb?cc?a、,( ) 222

A、都不是整数 B、至少有两个整数 C、至少有一个整数 D、都是整数

4、已知a,b,c都是整数,m?|a?b|?|b?c|?|a?c|,则( )

A、m一定是奇数 B、m一定是偶数

C、仅当a,b,c同奇或同偶时,m是偶数 D、m的奇偶性不能确定

5、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5、7除时,余数都是1,则具有这个性质的最小三位数是 ,最大三位数是 。

6、有一列数为1,2,5,13,34,?,从第2个数起,每个数的3倍正好等于它左右两边的两个数的和,那么第2011个数是 数(填“奇”或“偶”)

7、用写有数字的4张卡片、、3、可以排出不同的四位数,其中能被22整除的四位数有 。

8、已知整数13ab456能被198整除,则a?,b?

9、求证:奇数的平方被8除余1;请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

10、设有两个自然数a,b的和为135,试说明它们的平方和不能等于222。

11、六位数81ab93是99的倍数,求整数a、b的值。

12、黑板上写着三个整数,任意擦去其中一个,将它改写成为其他两数的和减去1,这样

继续下去,最后得到117,2001,2003。问原来的三个数能否是2,2,2?

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