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初中数学竞赛教程23、质数与合数

发布时间:2014-07-08 13:49:19  

2013年暑期初一数学竞赛第二十三讲:质数与合数

【知识要点】

1、一个大于1的正整数n,若仅有1和n这两个正约数,则n叫做素数(也可以叫做质数),若还有其他的正约数,则n叫做合数。

2、素数和合数有以下性质:

(1)除2以外的所有偶数,都是合数;(2)2是唯一的偶素数,除2以外,所有素数都是奇数;(3)若素数p|ab,则必有p|a或p|b;(4)若正整数a、b的积是素数p,则必有a?p或b?p。

3、算术基本定理(唯一分解定理):

k12任一整数n?1,可以分解成n?P1,P2,...,Pk是互不相等1?P2?...?Pk(k?1),其中Paaa

的素数,a1,a2,...,ak是正整数,则n的正约数的个数为(a1?1)(a2?1)...(ak?1)。

【例题精选】

例1、有四个数,一个是最小的奇素数,一个是偶素数,一个是小于30的最大素数,

另一个是大于70的最小素数,求它们的和。

变式、(2005年希望杯试题)

(1)如果a是小于20的质数,且

(2)如果a是小于20的合数,且

22例2、若p、q都是素数,且5p?7q?29,试求p?q的值。 1可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a1可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a

变式1、设p、q、r都是质数,并且p?q?r,p?q,求p.

变式2、若p为素数,则p3?5仍为素数,则p5?7为( )

A、素数 B、可为素数也可为合数 C、合数 D、既不是素数也不是合数

例3、有人说:“任何七个连续整数中一定有素数。”请你举一个例子,说明这句话是错误的。

变式、是否存在连续88个自然数都是合数?

例4、证明:每一个大于11的自然数都是两个合数的和.

变式、设p(≥5)是质数,并且2p+1也是质数.求证:4p+1是合数.

例5、整数240能被多少个不同的自然数整除?

变式、(希望杯试题)若k为整数,则使得方程(k?1999)x?2001?2000x的解也是整数

的k值有( )

A、4个 B、8个 C、12个 D、16个

例6、41名运动员所穿运动衣号码是1,2,?,40,41这41个自然数,问:

(1)能否使这41名运动员站成一排,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?

(2)能否让这41名运动员站成一圈,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数? 若能办到,请举例说明;若不能办到,请说明理由。

例7、有一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖,如果使用较小的相同正方形地砖,那么

需(n?76)块这样的地砖才能覆盖该块地,已知n及地砖的边长都是整数,求n的值。

【巩固拓展】

1、在2005,2007,2009这三个数中,质数有( )

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

2、下面给出的数中,其值为素数的是( )

A、1993?4419932?19933

B、12345678987654321 C、1111119111111 D、 19922?19942?2

3、将1995表示为两个素数之和的方法的种数是( )

A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

4、三个不同的素数m、n、p,满足m?n?p,则mnp的最小值是( )

A、5 B、6 C、30 D、10

5、一个三角形的三条边长分别是a、b、c (a、b、c都是质数),且a?b?c?16, 则这个三角形的形状是( )

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、直角三角形或等腰三角形

6、若x是正数,?x?表示不超过x的素数的个数,如?5.1??3,即表示不超过5.1的素数有2,3,5共3个,那么??19???93???4???1???8??的值是( )

A、12 B、11 C、10 D、9

7、已知a是素数,b是奇数,且a?b?2011,则a?b?。

8、在锐角△ABC中,三个内角的度数都是素数,则△ABC是

9、已知p、q、pq?1都是质数,且p?q?40,那么满足以上条件的最小质数p?2

q?

10、已知a是素数,b是奇数,且a?b?2011,则a?b?

11、已知质数p、q满足3p?7q?41,则(p?1)(q?1)?。

12、若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a1,a2,a3,?,ak(k是最大的质因数的序号),则?a1?a2??a2?a3??a3?a4???ak?1?ak?的值是

13、已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m?n?p

14、在1,2,3,?,n这n个自然数中,已知共有p个素数,q个合数,k个奇数,m个偶数,则(q?m)?(p?k)? 。 2222

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