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高等数学竞赛试题4答案

发布时间:2014-07-09 09:18:21  

高等数学竞赛试题4答案

一、计算题 1

.求?

9

1

解 原积分

=

?5

2

5

?

3

5

1

(x?1)

5

2

?5

5

5

=

15

1

?

1

c

2.求lim

(1?x)x?(1?2x)2x

sinx

x?0

解 由洛比塔法则,

11?x?(1?x)ln(1?x)12x?(1?2x)ln(1?2x)?2x

?(1?2x)原极限=lim?(1?x)x? 22

x?0x(1?x)2x(1?2x)??

而lim

x?(1?x)ln(1?x)

x(1?x)

2

x?0

??

12

lim

12x?(1?2x)ln(1?2x)2

x(1?2x)

2

x?0

??1

?原极限=e

2

b

2

3.求p的值,使?(x?p)2007e(x?p)dx?0

a

解:当取p满足a?p??(b?p)即p??

b

2007

(x?p)

2

b?a2

2007

x

b?a

2

积分?(x?p)

a

edx?

?

b?pa?p

x

edx??

?

2

b?a2

x

2007

edx?0

x

2

4.设?x?(??,??),f''(x)?0,且0?f(x)?1?e?x,求f(x)的表达式 解:由条件f'(x)单调增。且f(0)?0

x?)易知f'(

0,若不然,不妨设?x0 f'(x0)?0则当x?x0时

2

f(x)?f(x0)?

?

xx0

f'(x)dx?

?

xx0

f'(x0)dx?(x?x0)f'(x0)???

矛盾?f'(x)?0 同理可让f'(x)?0?f'(x)?0?f(x)?f(0)?0

第 1 页 共 4 页

5.计算??(x?y)dS,其中S为圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)

s

2

解:?S圆柱面关于y对称,且y是奇函数 ?原积分=??xds?

s

2

??

s

yds?

2

12

??(x?y)ds?2?4??8?

s

22

二、设un?1?

vn?

1n?1

?

12

?

23

?

14

?

15

?

26

???

13n?2

?

13n?1

?

23n

1n?2

???

13n

求(1)

u10v10

n

(2)limun

n??

解:Un?

?(3k?2?3k?1?3k??(3k?2?3k?1?3k

k?1

k?1

n

112

n

111

?

33k

?

?

k?1

(

13k?2

?

13k?1

?

13k

n

)?

?

k?12n

1k1

?

1n?1

2n

?

1n?21

???

13n

?Vn

(1)

UV

1010

?1 (2)Un?

?

k?1

n?k

?

?

k?1

1?

kn

1n

?limUn?

x???

20

11?x

dx?ln3

三、有一张边长为4?的正方形纸(如图),C、D分

A' 别为AA'、BB'的中点,E为DB'的中点,现将纸卷成圆柱形,使A与A'重合, B与B'重合,并将圆柱垂直放在xoy平面上,且B与原点O重合,D落在Y轴正向上,此时,求:

(1)通过C,E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲B'

面方程;

(2)此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。 解:圆柱面为S:?(x,y,z)|x?(y?2)?4,0?z?4??

2

2

D点坐标为(0,4,0),E点坐标可取为(2,2,0) (1)C点坐标为(0,4,4?) 过C,E两点的直线方程为 ?放转曲面方程x?y?8?

2

2

x?2?2

?

y?22

?

z4?

12?

2

z

2

第 2 页 共 4 页

(2)旋转曲面在xoz的投影曲线方程为x?8?

?V?

2

12?

2

z

2

?

4?0

?(8?

12?

2

z)dz?32??

2

23

163

?

四、求函数f(x,y,z)?值、最小值。

x?yzx?y?z

2

2

2

在D??(x,y,z)|1?x?y?z?4?的最大

2

2

2

解:f(x,y,z)在D的最大、最小值即为g(x,y,z)?x2?yz在 D'??(x,y,z)|x?y?z?1?的最大、最小值

2

2

2

x?yz?x?

22

y?z2

2

22

?

x

2

212

?

12

?1,而g(1,0,0)?1,即最大值为1

x?yz?x?

22

y?z2

2

?

3x2

2

???

12

,而g(0,?

2

2

??2

即最小值为

?

2

n

?1kn

五、 求lim

k

n??

?(n?1?k)??nC

k?1

? ?

k

?1

解:Cn?

n(n?1)?(n?k?1)

k!

n

k

n

?(n?1?k)(Cn)

n?1

?(nCn?1)1n

n?1

k?1

k<n时

1n

2n

??(n?1?k)[nC]

k?1

?1

?

?

k?1

n

?2

?C?

kn?1

??

?1

??

?

k?1

n

?2

??

?原极限=0

4

六、(满分15

分)证明:??x2?

x?(0,

)

证明:??x??f(x)?cos(x??1

?f(0)?1

22

?

只须证f'(x)?(x?

2

?cos

(2x?

2x

3?0

第 3 页 共 4 页

同理f'(x)?0?g(x)?2xcos2x3

?0?g(0)?0

且g'(x)??2cos1)?sin?0 4?

当x?(0,)时,g(x)?0,即f'(x)?0,?f(x)?1得证

第 4 页 共 4 页

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