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高等数学竞赛试题1答案

发布时间:2014-07-09 09:18:24  

高等数学竞赛试题1

一、填空:

?1?esinx

,x?0,?x

1.若f?x???是???,???上的连续函数,则a = -1 。

?ae2x?1,x?0,?

2.函数y?x?2sinx在区间?3.

2????

?3 。 ,??上的最大值为3?2?

??x?x?e

2?2

?x

dx?2?6e?2 。

?3x2?2y2?12

4.由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点0,3,2处的指向外侧的单位法向

z?0?

??

量为

1

?0,

5

2, 。

1??x-1?ez?y?x

dx?dy 。 ?2所确定,则dz?

1?xez?y?x

?

5.设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xe二、选择题:

z?y?x

1. 设函数f (x)可导,并且f??x0??5,则当?x?0时,该函数在点x0处微分dy是?y的( A ) (A)等价无穷小; (B)同阶但不等价的无穷小; (C)高阶无穷小; (D)低阶无穷小。

2. 设函数f (x)在点x = a处可导,则f?x?在点x = a处不可导的充要条件是( C ) (A)f (a) = 0,且f??a??0; (B)f (a)≠0,但f??a??0; (C)f (a) = 0,且f??a??0; (D)f (a)≠0,且f??a??0。 3. 曲线y?x?

x2?x?1( B )

(A)没有渐近线; (B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线; (C)有一条铅直渐近线; (D)有两条水平渐近线。

4.设f?x,y?与??x,y?均为可微函数,且??y?x,y??0。已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D )

(A)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (B)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (C)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (D)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0。

22225.设曲面Σ??x,y,z?x?y?z?k,z?0的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B ) ??

(A)

(C)2x??dydz; (B)??xdydz; ????zdzdx; (D)??ydxdy。

??

x?0三、设函数f (x)具有连续的二阶导数,且limf?x?f?x????0,f???0??4,求lim?1?。 ?x?0xx??1x

解:由题设可推知f (0) = 0,f??0??0,于是有

limx?0f?x?f??x?f???x??lim?lim?2。 2x?0x?02x2x

x

fxf?x??f?x??f?x??????lim1?故 lim?1???x?0x?0?x?x??????

1x?????xx??f?x??fx??f?x???limexp?2ln?1??e2。 ??x?0x?x??????x?1?2t2,2dy?u四、设函数y?y?x?由参数方程?所确定,求。 ??t?11?2lnte2x?9dxdu,?y??1u?

dxdye1?2lnt22etdye?4t,得到????解:由,,所以 dt1?2lntt1?2lntdtdx21?2lnt2e?1d2yd?dy?1d?e1e??。 ???????????22?4t221?2lnt4tdx2dt?dx?dxdt?21?2lnt4t1?2lnt??

dt

而当x = 9时,由x?1?2t及t > 1,得t = 2,故 2

d2yee。 ????2222x?9t?2dx4t1?2lnt161?2ln2五、设n为自然数,计算积分In??π

2

0sin?2n?1?xdx。 sinx

解:注意到:对于每个固定的n,总有

limsin?2n?1?x?2n?1, x?0sinx

所以被积函数在x = 0点处有界(x = 0不是被积函数的奇点)。又

sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx,

于是有

In?In?1??π

2

0?sin?2n?1?x?sin?2n?1?x12dx?2?cos2nxdx?sin2nx2?0, 0sinxn0π

上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有In?In?1???I1。所以

sin3xcos2xsinx?sin2xcosx?In?I1??2dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?。 0sinx000sinx2

六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数,x = 0为其第一类跳跃间断点,证明偶函数,但在x = 0点处不可导。 ?????f?t?dt是连续的0x

f?x?存在,设为A,则A≠0;又因f (x)为奇证明:因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点,所以lim?x?0

f?x???A。 函数,所以lim?x?0

命:

?f?x??A,x?0;???x???0,x?0;

?f?x??A,x?0.?

则??x?在x = 0点处连续,从而??x?在???,???上处处连续,且??x?是奇函数:

当x > 0,则-x < 0,???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?; 当x < 0,则-x > 0,???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?, 即??x?是连续的奇函数,于是???t?dt是连续的偶函数,且在x = 0点处可导。又 0x

???t?dt??f?t?dt?Ax, 00xx

所以x?x0f?t?dt????t?dt?Ax, 0x?f?t?dt是连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。 0

22七、设f (u, v)有一阶连续偏导数,z?fx?y,cos?xy?,x?rcos?,y?rsin?,证明: ??

?z1?z?z?zcos??sin??2x?ysin?xy?。 ?rr???u?v

解: 设:u?x?y,v?cos?xy?,则 22

?z?z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v???????????????????r?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y??

?2

类似可得?z?xcos??ysin????zsin?xy???ycos??xsin???u?v ?z?z?z??2r?xsin??ycos???rsin?xy???ysin??xcos??, ???u?v

代入原式左边,得到

?z1?zcos??sin??rr??

?z?z?z?2cos???xcos??ysin???cos???sin?xy??ycos??xsin???2?sin??xsin??ycos?? ?u?v?u

?z?z?z?sin?xy?sin??ysin??xcos???2x?ysin?xy??v?u?v

八、设函数f (u)连续,在点u = 0处可导,且f(0)= 0,f??0???3求:limt?01πt4

x2?y2?z2?t2???fx2?y2?z2dxdydz。 ?

解:记G?t??

的对称性,有 1πt4x2?y2?z2?t2???fx2?y2?z2dxdydz,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数?

G?t??

于是有 8πt4

t??20d??2sin?d??f?r?r2dr?00?t4?f?r?r2dr0tt4

limG?t??limt?0t?04?f?r?r2dr0t44f?t?t2f?t??f?0??lim?lim?f??0???3。 t?0t?0t4t3

九、计算I??ydx?xdyLx?x?y,其中L为x?x?y?1正向一周。

解:因为L为x?x?y?1,故

I??ydx?xdyL格林公式????1???1??d??2??d? DD

其中D为L所围区域,故??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。

D

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1?2x?y?1?0;

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1??y?1?0;

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1?y?1?0;

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1??2x?y?1?0,

故D的面积为2×1=2。从而I??ydx?xdyLx?x?y?4。

224十、⑴ 证明:当x充分小时,不等式0?tanx?x?x成立。

⑵ 设xn? ?tan2

k?1n1n?k,求limxn。 n??

tan2x?x2tanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2?lim?lim?2lim?lim2?, 证明:⑴ 因为limx?0x?0x?0x?0x3x?0x3x4x33x2

224又注意到当x充分小时,tanx?x,所以成立不等式0?tanx?x?x。

⑵ 由⑴知,当n充分大时有,1?tan2

n?k1n?k?11,故 ?2n?kn?knnn11111, ?x????????n2nk?1n?kk?1n?kk?1n?kk?1n?kn

11n1??而?,于是 kn?knk?1k?11?n

1111n1lim??lim???dx?ln2, 0n??n??knk?11?xk?1n?k1?nnn

由夹逼定理知limxn?ln2。 n??

2十一、设常数k?ln2?1,证明:当x > 0且x ≠ 1时,?x?1?x?lnx?2klnx?1?0。 ??

证明:设函数f?x??x?lnx?2klnx?12?x?0?,

故要证?x?1?x?lnx?2klnx?1?0, 2??

时,f?x??0;当1?x时,f?x??0。 只需证:当0?x?1

2lnx2k1

???x?2lnx?2k?。 xxx

2x?2

命:??x??x?2lnx?2k,则???x??1??。

xx

显然:f??x??1?

当x = 2时,???x??0,x = 2为唯一驻点。又????x??

21

?????2??0,所以x = 2为??x?的唯,2

2x

一极小值点,故??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值(x > 0),即当x > 0时

f??x??0,从而f?x?严格单调递增。

又因f?1??0,所以当0?x?1时,f?x??0;当1?x时,f?x??0。

十二、设匀质半球壳的半径为R,密度为μ,在球壳的对称轴上,有一条长为l的均匀细棒,其密度

为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a,a > R ,求此半球壳对棒的引力。

解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z轴上,则由于对称性,所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。

设k为引力常数,则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为:

Fz?k????ds?

?

a?l

z?z1

a

?x

?2

?k?????x?y2

??

2

?

??z?a?l????x

2

?y2??z?z1?

12?2

322

dz1

2

?y

2

??z?a?

12?2

?

??ds?

记M1?2πRμ,M2?lρ。在球坐标下计算Fz,得到

Fz?2?k??R

2

??

?

?22

?R??a?l??2R?a?l?cos??

R?a?la?l

2

2

???R

?

12

2

?a

2

?2acos??

?

12

?sin??d?

?

kM1M2?R2?a2?R

???Rl?a

??R?

???

若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z轴上,则

2

GM1M2?R2?a?l?RR2?a2?R?

??。 Fz??Rl?aa?l???

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