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2013年湖州市高一数学竞赛试卷及参考答案与评分标准

发布时间:2014-07-09 09:18:25  

2013湖州市高一数学竞赛 (2013.5.19) 考生注意: 1.请将密封线内的相关信息填写完整. 2.本试卷共三大题(计18小题). 3.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 4.不能使用计算器.

一、选择题(每小题6分,共48分) 1.若?为锐角且cos??cos?1???2,则cos??cos?1?的值为 ( ) A.22 B.6 C.6 D. 4 2. 已知函数f(x)???ex?a,x?0,x?1,x?0(a?R),若函数f(x)在R上有两个零点,

?2则a的取值范围是 ( ) A.???,?

1? B.???,0? C.??1,0? D.??1,0? 3. 已知函数f(x)???sinx, sinx?cosx,?cosx, sinx?cosx, 则下面结论中正确的是 ( )

A. f(x)是奇函数 B. f(x)是偶函数

C. f(x)的值域是[ D. f(x)的值域是[?1,1]

湖州市高一数学竞赛—1

4.设数列{an}满足:a1?2,an?1?1?1,记数列{an}的前n项之积为Pn, an

则P2013的值为 ( )

A.?2 B. ?1 C. 2 D. 1

5.函数f?

x??的值域为 ( )

?3?A. ?1,

B.?1, C.?1, ? D.?1, 2? ???2?

6.已知数列?

an?满足a1=0,an?1=an?1?n?1,2,

A.4052166 B.4052168 C.4052170 D.4052172

7

.已知x,y?(,且xy?1,则

A.

?,则a2013=( ) 24的最小值是 ( ) ?2?x24?y2201216?4216?42 B. C. D. 7777

8.已知函数f(x)?ax2?bx满足:对于实数a的某些值,可以找到相应正数b, 使得f?x?的定义域与值域相同,那么符合条件的实数a的个数是 ( )

A.1个 B. 2个 C. 3个 D.不存在

湖州市高一数学竞赛—2

二、填空题(每小题6分,共42分)

?5??9.已知向量a?(1,2),b?(?2,?4),c?,若(a?b)?c?,则a与c的夹角为 . 2

10.函数y?log1sin(x?

212?3)的单调递增区间是.

11.设f?x?是定义在R上的奇函数,且y?f?x?的图象关于直线x?1对称,则2

f?1??f?2??f?34??f?5_?_________. ??f??

2212.使不等式sinx?acosx?a?1?cosx对一切x?R恒成立的负数a的取值范围

是 .

13.设向量a,b满足:|a|?3,|b|?4,a?b?0.以a,b,a?b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 .

14.设a,b,c为方程x?5x?2?0的实数根,则31?a1?b1?c??? . 1?a1?b1?c

15.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数, 如:[1.5]=1,[?1.3]=-2.当

n)(n∈N?)时,设函数f(x)的值域为A,记集合A中的元素个数为an,则式子x∈[0,

的最小值为 .

an?90n

湖州市高一数学竞赛—3

三、解答题(每小题20分,共60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.已知△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,

且tanA?tanBAtanB?1),c?

(1)求角C;

(2)求a?b的值. 7,又△ABC

的面积为S?ABC. 2

湖州市高一数学竞赛—4

(1)求17.已知数列?an?的前n项和Sn满足:Sn=(a为常数,且a≠0,a≠1). a(an?1) a?1?an?的通项公式;

2Sn+1,若数列?bn?为等比数列,求a的值; an(2)设bn=

(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=2-??11???,数列?cn?的前n项的和为Tn. 求证:Tn<1

3.

?1?an1?an?1?

湖州市高一数学竞赛—5

1对任意的x?[0,1],总有18.若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:○

f(x)?02;○f(1)?13若;○x1?0,x2?0,且x1?x2?1,则有

f(xf(1x)?1?x2)?

(1)若f(x)为“太湖函数”.请解答下列各题: f(成立,就称2x),求f(0)的值; f(x)为“太湖函数”

x(2)函数g(x)?2

(3)已知

请判断

?1在区间[0,1]上是否为“太湖函数”?并给出理由. ,假定存在x0?(0,1),使得f(x0)?(0,1)且f[f(x0)]?x0, f(x)为“太湖函数”f(x0)?x0,f(x0)?x0,f(x0)?x0这三个式子哪一个能成立?并说明理由.

湖州市高一数学竞赛—6

2013年湖州市高一数学竞赛 (2013.5.19)

试题解答与评分标准

二、选择题(每小题6分,共48分)

1.若?为锐角且cos??cos???2,则cos??cos?的值为 ( A ) A.22 B. C.6 D. 4 ?1?1

?ex?a,x?0,2. 已知函数f(x)??(a?R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围?2x?1,x?0

是 ( D )

A.???,?1? B.???,0?

3. 已知函数f(x)??C.??1,0? D.??1,0? ?sinx, sinx?cosx, 则下面结论中正确的是 ( C ) ?cosx, sinx?cosx,

A. f(x)是奇函数

B. f(x)是偶函数

C. f(x)的值域是[? D. f(x)的值域是[?1,1] 2

1,记数列{an}的前n项之积为Pn, an4.设数列{an}满足:a1?2,an?1?1?

则P2013的值为 ( B )

A.?2 B. ?1 C. 2 D. 1 解:因为an?2?1?11?1, ?1??1an?1an?11?an

1

an?2?1?1?an,故{an}是以3为周期的周期数列. ?1

an?1 于是an?3?1?

又a1?2,a2?1

,a3

??1,从而P3??1. 2

671所以,P2013?(?1)??1.故答案选

B.

5.函数f?x??

的值域为 ( D )

?3?A. ?1, B.?1, C.?1, ? D.?1, 2? ???2?

湖州市高一数学竞赛—7

2解:f?x?的定义域为3?x?4,则0?x?3?1,令x?3?sin?, 0????

2,则

f?

x?

?

?sin??

?sin???2sin(??) 3

??5?1??因????,则 ?sin(??)?1, 1?2sin(??)?2,选D. 336233

6.

已知数列?an?满足a1=0,an?1=an?1?n?1,2,??,则a2013=( B )

A.4052166 B.4052168 C.4052170 D.4052172

解:两边加1?1?an?n2?1,?a2013=4052168,选B.

7

.已知x,y?(,且xy?1,则24的最小值是 ( C ) ?222?x4?y

A.201216?4216?42 B. C. D. 7777

1242???解:由已知得y?,所以222x2?x4?y2?x?4x4?16x2?2? 421?4x?9x?24?2x4

7x2

?1? =1??4x4?9x2?2729?(4x?2)x2

4x?22222?424x?

当且仅当,即 x?22xx2

故当x?2416?42有最小值,选C. ?2272?x4?y

8.已知函数f(x)?ax2?bx满足:对于实数a的某些值,可以找到相应正数b,使得f?x?的

定义域与值域相同,那么符合条件的实数a的个数是 ( B )

A.1个 B. 2个 C. 3个 D.不存在

解: 当a?0时,f(x)? (b>0) 的定义域与值域都是?0,???

当a?0时,f(x)?ax2?bx的定义域是ax2?bx≥0的解集,即为

湖州市高一数学竞赛—8

b?[0,?]a?0??a,但由于它的值域不含负数,故必a<0, ??(??,?b][0,??)a?0?a?

bb2

此时值域为[0,f(?)]?[0,?]. 2a4a

bb2

所以????a??4,所以a有两个值0和-4.故答案选B. a4a

二、填空题(每小题6分,共42分)

?5??2?9.已知向量a?(1,2),b?(?2,?4),c?,若(a?b)?c?,则a与c的夹角为 . 23

10.函数y?log1sin(x?

212??4??)的单调递增区间是?4k??,4k??),k?Z. 333?

1对称,则211.设f?x?是定义在R上的奇函数,且y?f?x?的图象关于直线x?

f?1??f?2??f?34??f?5_?__0_______. ??f??

212.使不等式sinx?acosx?a2?1?cosx对一切x?R恒成立的负数a的取值范围

是 .a??2 (a?1)2a?122 解:原不等式可化为(cosx?)?a?24

a?1?0 2

a?12a?12)有最大值(1?), 所以当cosx?1时,函数y?(cosx?22因为?1?cosx?1,a?0,

a?12(a?1)2

2从而有(1?,整理得a2?a?2?0 )?a?24

所以a?1或a??2,又a?0,∴a??2

13.设向量a,b满足:|a|?3,|b|?4,a?b?0.以a,b,a?b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 4 .

解:对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.

湖州市高一数学竞赛—9

14.设a,b,c为方程x?5x?2?0的实数根,则31?a1?b1?c??? ?1 . 1?a1?b1?c

解: 由题意,x3?5x?2?(x?a)(x?b)(x?c).由此可得

a?b?c?0,ab?bc?ca??5,abc??2以及1?5?2?(1?a)(1?b)(1?c)(令x?1). 1?a1?b1?c3?(a?b?c)?(ab?bc?ca)?3abc3?5?6???1. ???1?5?21?a1?b1?c(1?a)(1?b)(1?c)

15.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数, 如:[1.5]=1,[?1.3]=-2.当

n)(n∈N?)时,设函数f(x)的值域为A,记集合A中的元素个数为an,则式子x∈[0,

的最小值为 13 .

解:当x∈[0,1)时,f(x)=[x[x]]=[x?0]=0;

当x∈[1,2)时,f(x)=[x[x]]=[x?1]=[x]=1;

当x∈[2,3)时,再将[2,3)等分成两段, an?90n

x∈[2,5)时,f(x)=[x[x]]=[x?2]=[2x]=4; 2

x∈[5,3)时,f(x)=[x[x]]=[x?2]=[2x]=5. 2

类似地,当x∈[3,4)时,还要将[3,4)等分成三段,又得3个函数值;

将[4,5)等分成四段,得4个函数值,如此下去.

当x∈[0,n)(n∈N?)时,函数f(x)的值域中的元素个数为an=1+1+2+3+4+?+(n-1)=1+a?90n91111n(n?1)182,于是n=+-=(n?)-, n2n2222n

a?90所以,当n=13或n=14时,n的最小值为13. n

三、解答题(每小题20分,共60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.已知△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,

7,又△ABC

的面积为S?ABC?. 2

(1)求角C; (2)求a?b的值. 且tanA?tanBAtanB?1),c?

解:(1)由tanA?tanB?tanAtanB???(1?tanAtanB)

得tanA?tanB???tan(A?B)??tanC.即tanC?.????????7分 1?tanAtanB

又C?(0,?),所以C??

3. ????????????10分

湖州市高一数学竞赛—10

(2)S?ABC?13absinC??ab?6. ???????????? 14分 22

7, 2又c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?3ab,而c?

所以 a?b?711c2?3ab?()2?18?. ?????????????20分 22

a(an?1)(a为常数,且a≠0,a≠1). a?117.已知数列?an?的前n项和Sn满足:Sn=

(1)求?an?的通项公式;

(2)设bn=2Sn+1,若数列?bn?为等比数列,求a的值; an

?11?(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=2-? ??,数列?cn?的前n项的和为Tn.?1?an1?an?1?

1

3

a(1)因为S1=(a1?1),所以a1=a. ????????????1分 a?1

aa当n≥2时,an=Sn-Sn?1=an-an?1, a?1a?1求证:Tn<.

所以an=a,即?an?是等比数列. ????????????4分 an?1

所以an=a?an?1=an. ????????????6分

2?

(2)由(1)知,bn=a(an?1)(3a?1)an?2a+1=,???????7分 nna(a?1)a

2若?bn?为等比数列,则有b2=b1b3, ????????????8分

3a2?2a?23a2?2a?23a?23a?22而b1=3,b2=,b3=,故(, )=3?22aaaa

111解得a=,再将a=代入,得bn=3n成立,所以a=.??????12分 333

1(3)由(2)知,an=()n, ????????????13分 3

3n3n?11111所以cn=2--=1-n+1-n?1=n-n?1, 1n1n?13?13?13?13?11?()1?()33

????????????15分 由1111111111c<,>得-<-,所以<-, nnnn?1nnn?1nn?1n?1n?13?133?13?133333?13

????????????18分

湖州市高一数学竞赛—11

从而Tn=c1+c2+?+cn<-1

311111111+(-)+?+(-)=-<. 223nn?1n?133333333

????????????20分

18.若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:

1对任意的x?[0,1],总有f(x)?0;○2f(1)?1;○3若x?0,x?0,且x?x?1,则○1212有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立,就称f(x)为“太湖函数”.请解答下列各题:

(1)若f(x)为“太湖函数”,求f(0)的值;

(2)函数g(x)?2x?1在区间[0,1]上是否为“太湖函数”?并给出理由.

(3)已知f(x)为“太湖函数”,假定存在x0?(0,1),使得f(x0)?(0,1)且f[f(x0)]?x0, 请判断f(x0)?x0,f(x0)?x0,f(x0)?x0这三个式子哪一个能成立?并说明理由. 解:(1)取x1?x2?0得f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0,又f(0)?0,得f(0)?0. ?6分

1 g(x)?0;2g(1)?1.若x?0,(2)显然g(x)?2?1在[0,1]上满足○○且x1?x2?1,x2?0,1x

则有g(x1?x2)?[g(x1)?g(x2)]?21x?x2?1?[(2x1?1)?(2x2?1)]?(2x2?1)(2x1?1)?0.

x1、○2、○3,所以g(x)?2?1为“太湖函数”. ??????12分 故g(x)?2x?1满足条件○

(3) 依题意必有f(x0)?x0.??????????????????????????14分

3知任给x,x?[0,1]其中x?x,且有x?x?1,不妨设x?x??x (?x?0) 由○21212121

则必有:0??x?1)

所以,f(x2)?f(x1)?f(x1??x)?f(x1)?f(x1)?f(?x)?f(x1)?f(?x)?0 所以,f(x2)?f(x1).??????????????????????????16分 下面用反证法证明f(x0)?x0:假设f(x0)?x0,则有x0?f(x0)或x0?f(x0)

(1) 若x0?f(x0),则f(x0)?f[f(x0)]?x0,这与x0?f(x0)矛盾;

(2) 若x0?f(x0),则f(x0)?f[f(x0)]?x0,这与x0?f(x0)矛盾;

故由上述(1)、(2)证明知假设不成立,则必有f(x0)?x0,证毕.

??????????????????20分

湖州市高一数学竞赛—12

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