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2006年新知杯上海市初中数学竞赛

发布时间:2014-07-09 09:18:33  

2007年第4期29

2006年(新知杯)上海市初中数学竞赛

说明:解答本试卷不得使用计算器.

一、填空题(第1~5小题,每题8分,第6~10小题,每题10分,共90分

)

1.如图1,已知在ABC中,NA=70b,NB=90b,点A关于BC的对称点是Ac,点B关于AC的对称点是Bc,点C关于AB

图1

的对称点是Cc.若

ABC的面积是1,则AcBcCc的面积是

.

已知实数a、b、c、d、e、f满足方程组:2a+b+c+

d+e+f=20,1a+2b+c+d+e+f=40,oa+b+2c+d+e+f=80,?a+b+c+2d+e+f=160,?a+b+c+d+2e+f=320,?a+b+c+d+e+2f=640.?则f-e+d-c+b-a的值是.3.如图2,在菱形ABCD中,顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5,EF=6.那么,菱形ABCD的边长为

.图2

2

4.已知二次函数y=x-x+a的图像与x轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5.则a

的取值范围是2006

5.使得n+1能整除n+2006的正整数n共有个.

6.[x]表示不大于x的最大整数,方程

[2x]+[3x]=8x-2

的所有实数解为.

7.如图3,四边形ABCD为直角梯形(NB=NC=90b),且AB=BC.若在边BC

则的值为AB

.

8.如图4,ABC的面积为S,周长为p,AcBcCc的三边在ABC外,且与对应边的距离均为h.则AcBcCc的周长为,面积为.

9.已知n(n>1)个整数(可以相同)a1,a2,,,an满足

a1+a2+,+an=a1a2,an=2007.则n的最小值是.

10.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列:a1,a2,,,

2222

an,,(如a1=2-1=3,a2=3-2=5,a3

2222

=4-3=7,a4=3-1=8,,).那么,a1+a2+,+a100的值是二、(20分)如图5,已知半径分别为1、2的两个同心圆,有一个正方形ABCD,其中,点A、D在半径为2的圆周上,点B、C

图5

在半径为1的圆周上.求这个正方形的面积.

、(20分)关于x、y、z的方程组3x+2y+z=a,xy+2yz+3zx=6

有实数解(x,y,z).求正实数a的最小值.

四、(20分)设A是给定的正有理数.(1)若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积,证明:一定存在3个正有理

2222

数x、y、z,使得x-y=y-z=A;

(2)若存在3个正有理数x、y、z,满足

30中等数学

2

2

2

x-y=y-z=A,证明:存在一个三边长都是有理数的直角三角形,它的面积等于A.

2

5.5.由题设有

n2006+2006S(-1)2006+2006=2007S0(mod(n+1)).而2007=3@3@223,则n+1=3,9,223,669,2007.故n=2,8,222,668,2006.6.1317,.1616

参考答案

一、1.3.

如图6,联结BcB,并延长交CcAc于点D,交AC于点E.由题设CcB=BC,AcB=BA,AC

AcCc,且BBcLAC,BcE=BE,得BcD=3BE.故

1

SAcBcCc=BcD#AcCc

=3@

由2x-1<[2x][2x,3x-1<[3x][3x及已知方程得

图6

5x-2<8x-

1

BE#AC=3SABC=3.22.420.

?-?+?-?+o-1得f-e+d-c+b-a

=640-320+160-80+40-20=420.1253..

如图2,联结AC与EF交于点G.易证EFLAC,EG=GF.

1

在RtAEG中,因为AE=5,EG=EF=3,

所以,AG=4.

在RtAEC中,因为AE2=AG#AC,NACE=

25

NAEF,所以,AC=,且BAC

AEF.

4

255@BAAC125

故=,即AB==.1

4.-6[a<.

4

由题设知,二次方程x2-x+a=0有两个不相

1

等实根x1、x2,则$=1-4a>0,即a<,且|x1|+

4

|x2|[5.故

2

(|x1|+|x2|)2=x21+x2+2|x1x2|=(x1+x2)2+2|x1x2|-2x1x2

7[17

5xZ<x[226

Z1<8x-7[35.

7

=[2x]+[3x]为整数,所以,2

因为8x-8x-

7

=1,2,3,4,5.2

911131517

解得x=,,,,.

经检验,只有x=

1317

,是已知方程的解.7.1.x-a+

x-y=a,

1o

设AB=BC=a,AM=MD=DA=x,CD=y.则(a-y)2+a2=x2.

由式o知x2-a2=(a-y)2,则x2-y2=2a2-2ay.由图3可见x>y>0.

故2a2-2ay>0,a>y>0.于是,代入方程1得a-y+2a2-2ay=aZZy2+2ay-2a2=0.取正根,y=(3-1)a,即ph

8.1+p,

ph1+2

2a2-2ay=y

CD

=1.AB

S.

易见直线AAc同时平分NAc和NBAC,故AcBcCc与ABC的内心是相同的.设ABC的内切圆半径分别为rc、r,则rc=r+h,且r=由于

AcBcCc

2S

.ABC,且相似比为

AcBcCc、

=1+2|a|-2a[25.

1a<,1+2|a|-2a[25

1

0[a<,a<0,

Z

-4a[24

1[25

Z

0[a<1或-6[a<0Z-6[a<1.

rc=r+h=1+ph,

rr因此,

AcBcCc面积为

2007年第4期

ph21+S.9.5.

由a1a2,an=2007,知a1,a2,,,an都是奇数.又a1+a2+,+an=2007为奇数,则n为奇数.

若n=3,即a1+a2+a3=a1a2a3=2007,不妨设a1\a2\

a3,则

a1\

a1+a2+a32007[

=669,a2a3[3.3a1

4x2+3=4x

4-x.

31

两边平方并整理得32x4-40x2+9=0.解得x2=

5?.8

若a1=669,则a2a3=3.从而,

a2+a3[4,a1+a2+a3[673<2007,不可能.若a1>669,只能a1=2007,a2a3=1且a2+a3

=0,这也不可能.

由此知n\5.

又2007+1+1+(-1)+(-1)

=2007@1@1@(-1)@(-1)=2007,故n的最小值为5.

10.6999.

首先,易见偶数中不是4的倍数的整数不可能是两整数的平方差.易知a1=3,a2=5,a3=7.

当k\2时,有

4k=(k+1)2-(k-1)2,4k+1=(2k+1)2-(2k)2,4k+3=(2k+2)2-(2k+1)2,且 4k+(4k+1)+(4k+3)=12k+4.

故a4+a5+a6=12@2+4,a7+a8+a9=12@3+4,,,

a97+a98+a99=12@33+4,a100=4@34.则a1+a2+,+a100

=3+5+7+12(2+3+,+33)+4@32+4@34=6999.

二、如图7,联结OC、OD.作OELAD,垂足为E,交BC于点F.设正方形的边长为2x.显然,E、F分别是AD、BC的中点.由勾股定理有OE=4-x.因为

OF=|OE-EF|

=|4-x-2x|,CF2+OF2=OC2,2=1,即

5?7

.2

三、由第一个方程得3x+2y=a-z,由第二个方程得

xy=6-z(3x+2y)=6-z(a-z)=z2-az+6.由(3x+2y)2\4@3x@2y,得故正方形ABCD的面积为4x2=

(a-z)2\24(z2-az+6),即 23z2-22az+144-a2[0.

可见开口向上的抛物线y=23x2-22ax+144-a2

经过不在x轴上方的点(z,23z2-22az+144-a2),从而,该抛物线与x轴有公共点.

$

故=(11a)2-23(144-a2)\0,即a2\23,a\因a>0).

2

当a=时,取x=,y=

311,z=,所以,a的最小值为23.

四、(1)设a、b、c是某个直角三角形的三边长,

1

a、b、c都是有理数,且a2+b2=c2,ab=A.

c

若a=b,则2a2=c2,=这与a、c都是有

理数的假定矛盾.故aXb.

a+bcb-a

,y=,z=,222

则x、y、z都是正有理数,且

(a+b)2-c2122

x-y==ab=A,

c2-(b-a)21

y2-z2==ab=A.

(2)设三个正有理数x、y、z满足2222

x-y=y-z=A.则x>y>z.

取a=x-z,b=x+z,c=2y,则a、b、c都是正有理数,且

a2+b2=2(x2+z2)=4y2=c2,112

ab=(x-z2)22

=[(x2-y2)+(y2-z2)]=A,2

即存在一个三边长a、b、c都是正有理数的直角三角形,它的面积等于A.( 、、、 命题)

不妨设a<b,取x=

图7

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