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2008年全国初中数学联赛

发布时间:2014-07-09 11:53:34  

2008年全国初中数学联赛

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

11

221、设a 2 + 1 = 3 a,b 2 + 1 = 3 b,且a ≠ b,则代数式a+b的值为( )

(A)5 (B)7 (C)9 (D)11

2、如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB = 6,BC = 5,EF = 3,则线段BE的长为( )

211824

(A)5 (B)4 (C)5 (D)5

3、从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是( )

3121

(A)5 (B)10 (C)5 (D)2

4、在△ABC中,∠ABC = 12螦CB = 132埃珺M和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则( )

(A)BM > CN (B)BM = CN (C)BM < CN (D)BM和CN的大小关系不确定

5、现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( )

9999

(A)(8) 3 (B)(8) 4 (C)(8) 5 (D)8

6、已知实数x,y满足( x

y ,

则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为( )

(A)– 2008 (B)2008 (C)– 1 (D)1

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

a5?a4?2a3?a2?a?2a3?a1、设a

=,则

2、如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,且

MAN = 135

蜛MCN的面积为 。

3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且| m | + | n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则| p | + | q | = 。

4、依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 。

51

答案: B、D、C、B、B、D;– 2、2、2、1。

解答:一、1、由题设条件可知a 2 – 3 a + 1 = 0,b 2 – 3 b + 1 = 0,且a ≠ b,

所以a,b是一元二次方程x 2 – 3 x + 1 = 0的两根,故a + b = 3,a b = 1, 211a2?b2(a?b)?2ab32?2?1

2222(ab)212因此a+b=ab=== 7;

2、因为AD,BE,CF为△ABC的三条高,易知B,C,E,F四点共圆,

AFEF334

于是△AEF∽△ABC,故AC=BC=5,即cos∠BAC =5,所以sin∠BAC =5。

244

在Rt△ABE中,BE = AB sin∠BAC = 6 5_=5;

3、能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个,

82

所以所组成的数是3的倍数的概率是20=5;

1

4、∵∠ABC = 12埃珺M为∠ABC的外角平分线,∴∠MBC =2( 180_ – 12_ ) = 84埃?

又∠BCM = 180_ –∠ACB = 180_ – 132_ = 48螧CM = 180_ – 84_ – 48_ = 48郆M =

11

BC,又∠ACN =2( 180_ –∠ACB ) =2( 180_ – 132_ ) = 24螧NC = 180_ –∠ABC –∠BCN = 180_ – 12_ – (∠ACB +∠CAN ) = 12_ =∠ABC,∴CN = CB,因此,BM = BC = CN;

5、容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。

设5种商品降价前的价格为a,过了n天,n天后每种商品的价格一定可以

98

表示为a ? ( 1 – 10% ) k ? ( 1 – 20% ) n – k = a ? (10) k ? (10) n – k,其中k为自然数,且0 ≤ k ≤ n,

9898

要使r的值最小,五种商品的价格应该分别为:a ? (10) i ? (10) n – i,a ? (10) i + 1 ? (10) n – i – 1,a ? 989898

(10) i + 2 ? (10) n – i – 2,a ? (10) i + 3 ? (10) n – i – 3,a ? (10) i + 4 ? (10) n – i – 4,

98a?()i?4?()n?i?4

9a?()i?()n?i

1010其中i为不超过n的自然数,所以r的最小值为= (8) 4;

6、∵( x

y

,∴x

y

y

x

由以上两式可得x = y, 所以( x

2 = 2008,解得x 2 = 2008,

所以3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 = 3 x 2 – 2 x 2 + 3 x – 3 x – 2007 = x 2 – 2007 = 1; a3(a2?a)?2a3?(a2?a)?2222

2a(a?1)二、1、∵a

= () == 1 – a,∴a + a = 1,∴原式= a3?2a3?1?21?a31?a3

2a?(?a)==?a= –1?a= – ( 1 + a + a 2 ) = – ( 1 + 1 ) = – 2;

2、设BD中点为O,连AO,则AO⊥BD,

AO = OB =,

∴MB = MO –

ABM =∠NDA = 135埃?

∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135_ – 90_ –∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB,

ADDNAD所以△ADN∽△MBA,故MB=BA,从而DN =MB?

_ 1 =,根据对称性可知,

115四边形AMCN的面积S = 2 S△MAN = 2 2鬃 MN _ AO = 2 2鬃

(

_=2;

3、根据题意,m,n是一元二次方程x 2 + a x + b = 0的两根,所以m + n = – a,m n = b。 ∵| m | + | n | ≤ 1,∴| m + n | ≤ | m | + | n | ≤ 1,| m – n | ≤ | m | + | n | ≤ 1。

1a2(m?n)2

4∵方程x 2 + a x + b = 0的判别式△= a 2 – 4 b ≥ 0,∴b ≤4=≤4。

11

4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≥ ( m + n ) 2 – 1 ≥ – 1,故b ≥ –4,等号当m = – n =2时

11

取得;4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≤ 1 – ( m – n ) 2 ≤ 1,故b ≤4,等号当m = n =2时

111

取得。所以p =4,q = –4,于是| p | + | q | =2;

4、1 2到3 2,结果都只各占1个数位,共占1 _ 3 = 3个数位;4 2到9 2,结果都只各占2个数位,共占2 _ 6 = 12个数位;10 2到31 2,结果都只各占3个数位,共占3 _ 22 = 66个数位;32 2到99 2,结果都只各占4个数位,共占4 _ 68 = 272个数位;100 2到316 2,结果都只各占5个数位,共占5 _ 217 = 1085个数位;此时还差2008 – ( 3 + 12 + 66 + 272 + 1085 ) = 570个数位。317 2到411 2,结果都只各占6个数位,共占6 _ 95 = 570个数位。所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是411 2的个位数字,即为1;

2008年全国初中数学联赛

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知a 2 + b 2 = 1,对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x,不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 (1)恒成立,当乘积a b取最小值时,求a,b的值。 解:整理不等式(1)并将a 2 + b 2 = 1代入,得( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 (2),

2a?1

在(2)中,令x = 0,得a ≥ 0;令x = 1,得b ≥ 0。易知1 + a + b > 0,0 <2(1?a?b)< 1, 故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知,不等式(2)对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立,所以它的

?a2?b2?1??11ab??4判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0,即a b ≥4。由方程组? (3)

消去b,得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0,所以a 2

=或a 2

=。又因为a ≥ 0,

1所以a 1

=或a 2

=,于是b 1

=或b 2

=。所以a b的最小值为4,

此时a,b的值分别为a

=,b

=和a

=,b

=。

二、(本题满分25分)如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且

AB = BC。

(1)证明:点O在圆D的圆周上;

(2)设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值。

解:(1)连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心,AB = BC,所以△OBA∽△OBC,从而∠OBA =∠OBC,因为OD⊥AB,DB⊥BC,所以∠DOB = 90_ –∠OBA = 90_ –∠OBC =∠DBO,所以DB = DO,因此点O在圆D的圆周上;

(2)设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE⊥AC。设AC = 2 y(0 < y ≤ a),

222OE = x,AB = l,则a = x + y ,S = y ( a + x ),

2aS

l 2 = y 2 + ( a + x ) 2 = y 2 + a 2 + 2 a x + x 2 = 2 a 2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) =y。

因为∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO,AB = BC,DB = DO,所以△BDO∽△ABC, a2l2a22aSSaalSraBDBO22所以AB=AC,即l=2y,故r =2y,所以r 2 =4y=4y?y=2? (y) 3 ≥2,即r

≥,

其中等号当a = y时成立,这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r

的最小值为。

三、(本题满分25分)设a为质数,b为正整数,且9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) (1)

求a,b的值。

6a?3b4a?511b6a?3b4a?511b

解:(1)式即(509) 2 =509,设m =509,n =509,则n = m 2,

509m?6a509n?4a

3b ==511 (2),故3 n – 511 m + 6 a = 0,所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 (3),

2由(1)式可知,( 2 a + b ) 能被质数509整除,于是2 a + b能被509整除,故m为整数,

即关于m的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。 不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2(t为自然数),则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ), 由于511 + t和511 – t的奇偶性相同,且511 + t ≥ 511,所以只可能有以下几种情况: ?511?t?36a?511?t?6a?511?t?18a?511?t?12a????511?t?2511?t?12511?t?4511?t?6???①,②,③,④?,两式相加分别得 36 a + 2 = 1022,18 a + 4 = 1022,12 a + 6 = 1022,6 a + 12 = 1022,均没有整数解; ?511?t?4a?511?t?2a??511?t?18511?t?36⑤?,⑥?,两式相加分别得4 a + 18 = 1022,解得a = 251;

2 a + 36 = 1022,解得a = 493,而493 = 17 _ 29不是质数,故舍去。综合可知a = 251。

502

此时方程(3)的解为m = 3或m =3(舍去)。

509?3?6?251

3把a = 251,m = 3代入(2)式,得b == 7。

第二试 (B)

一、(本题满分20分)已知a 2 + b 2 = 1,对于满足条件x + y = 1,x y ≥ 0的一切实数对( x,y ),不等式a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 (1)恒成立,当乘积a b取最小值时,求a,b的值。

解:由x + y = 1,x y ≥ 0可知0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1。在(1)式中,令x = 0,y = 1,得a ≥ 0;令x = 1,y = 0,得b ≥ 0。将y = 1 – x代入(1)式,得a ( 1 – x ) 2 – x ( 1 – x ) + b x 2 ≥ 0,

2a?1

即( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 (2),易知1 + a + b > 0,0 <2(1?a?b)< 1,

故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知,不等式(2)对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立,

?a2?b2?1??11ab??4所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0,即a b ≥4。由方程组? (3)

消去b,得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0,所以a 2

=或a 2

=。又因为a ≥ 0,

1所以a 1

=或a 2

=,于是b 1

=或b 2

=。所以a b的最小值为4,

此时a,b的值分别为a

=,b

=和a

=,b

=。

二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同。

三、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同。

第二试 (C)

一、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第一题相同。

二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同。

?9(2a?2b?c)2?509(4a?1022b?511c)?b?c?2三、(本题满分25分)设a为质数,b,c为正整数,且满足?

(1)

(2),求a ( b + c )的值。

6a?6b?3c4a?1022b?511c6a?6b?3c4a?1022b?511c

509509509509解:(1)式即() 2 =,设m =,n =,

509m?6a509n?4a

3511 (3)则2 b – c ==,故3 n – 511 m + 6 a = 0,又n = m 2,

所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 (4),由(1)式可知,( 2 a + 2 b – c ) 2能被509整除,

而509是质数,于是2 a + 2 b – c能被509整除,故m为整数,

即关于m的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。 不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2(t为自然数),则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ),

由于511 + t和511 – t的奇偶性相同,且511 + t ≥ 511,所以只可能有以下几种情况:

?511?t?36a?511?t?6a?511?t?18a?511?t?12a????511?t?2511?t?12511?t?4511?t?6①?,②?,③?,④?,两式相加分别得 36 a + 2 = 1022,18 a + 4 = 1022,12 a + 6 = 1022,6 a + 12 = 1022,均没有整数解;

?511?t?4a?511?t?2a??511?t?18511?t?36?⑤,⑥?,两式相加分别得4 a + 18 = 1022,解得a = 251;

2 a + 36 = 1022,解得a = 493,而493 = 17 _ 29不是质数,故舍去。综合可知a = 251。

502

此时方程(3)的解为m = 3或m =3(舍去)。

509?3?6?251

3把a = 251,m = 3代入(3)式,得2 b – c == 7,即c = 2 b – 7,代入(2)式得b –

( 2 b – 7 ) = 2,所以b = 5,c = 3,因此a ( b + c ) = 251 _ ( 5 + 3 ) = 2008。

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