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2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案

发布时间:2014-07-09 11:53:42  

2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案 一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)

1、 已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限,且与x轴交于点(-2,0),则不等

式ax>b的解集为( )

(A)x>-2 (B)x<-2 (C)x>2 (D)x<2

解:∵a>0,b=2a, ∴ax>b的解集为x>2. 选(C)

2

、已知ab?c?,则下列结论正确的是( )

(A)a>b>c (B)c>b>a (C)b>a>c (D)b>c>a

解:

∵a?,∴a>b>c 选(A) b?c?3

型是( )

(A)A型 (B)AB型或O型 (C)AB型 (D)A型或O型或AB型

解:选(D)

4、四条直线两两相交,且任意三条不交于同一点,则这四条直线共可构成的同位角有( )

(A)24组 (B)48组 (C)12组 (D)16组

解:四条直线共可构成四组不同的三条直线组,而每一三条直线组共可构成12对同位角,故共有4×12=48组同位角。 选(B)

5、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差S?212(x1?x22?x32?x42?x52?20),则关于数据5

2(1)方差为S;(2)平均数为2;(3)平均数x1?2,x2?2,x3?2,x4?2,x5?2,的说法:

2为4;(4)方差为4S,其中正确的说法是( )

(A)(1)与(2) (B)(1)与(3) (C)(2)与(4) (D)(3)与(4) 解:S?212(x1?x22?x32?x42?x52?5?22),∴2?22,?2,(3)正确 5

1222222 ?S2??(x?2?4)?(x?2?4)?(x?2?4)?(x?2?4)?(x?2?4)?S12345?5?

(1)正确 故选(B)

6、已知三角形的三边a、b、c的长都是整数,且a?b?c,如果b=7有( ) (A)21个 (B)28个 (C)49个 (D)54个 解:当a=2时,有1个;当a=3时,有2个;当a=4时,有3个;当有4个;当a=6时,有5个;当a=7时,有6个,共有21个 故选(A

7、如图,直线ll1:y=x+1与直线l2:y ? ? x ?把平面 直角坐标系分成四个部分,点 ? ? ,?在( )

5? 7?(A)第一部分 (B)第二部分

(C)第三部分 (D)第四部分 解:选(C)

2

?44?

12

8、已知实数a

满足2006?a?a,那么a?2006的值是( ) (A)2005(B)2006(C)2007(D)2008

解∵a≥2007,

∴a?2006a,

?2006,∴a?2006=2007, 故选(C) 9、设分式

2

n?13

(n?13)不是最简分数,那么正整数n的最小值可能是( ) 5n?6

(A)84 (B)68 (C)45 (D)115

解:设d是(n-13)与5n+6的一个公约数,则d︱(n-13),d︱(5n+6),∴d︱?(5n?6)?(n?13)?,∴d︱71,∵71是质数,∴d=71,∵d︱(n-13),∴n-13≥71,∴n≥84,n的最小值是84,选(A) 10、如图,P是△ABC内一点,BP,CP,AP的延长线分别与

AAC,AB,BC交于点E,F,D。考虑下列三个等式: (1)

S

S

ABPAPC

?

SBD

; (2)CD

BPC

?S

BPC

APC

S

?

AB

; BF

B

P

CEABEP

???1。其中正确的有( ) (3)

AEBFPC

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 解:

D

SS

ABPBPD

?

SS

APCPCD

?SS

SAP?PDS?S

S?

APBAPC

?

SS

BPDPCD

?S

BD

(1)正确 CD?BSPCS

BPC

APC (2)正确

ABS

?BFS

ABCBFC

?

ABPBFP

?SBFC?S

ABC

ABP

?

BPF

CEABEPS

???AEBFPCS

BPCAPB

S

BPC

?S

BPC

APC

S

?

S

APC

APB

S?S

?1 (3)正确 故选(D)

BPC

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11、已知对所有的实数x,x?则m可取得的最大值为_______

解:当-

1≤x≤2时,x??x?2的最小值为30,

∴当x=1时,x?1?x?2的最小值为3,∴3≥m,m的最大值为3。

m?x?2

恒成立,

12、《射雕英雄传》中,英姑对黄蓉说:“你算法自然精我百倍,

可是我问你:将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角, 每

三个字相加都是十五,如何排列?”黄蓉当下低声诵道:“九宫之意,

法以灵兔,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。?”

请按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”中

13、军训基地购买苹果慰问学员,已知苹果总数用八进位制表示为abc,七进位制表示为_______

cba,那么苹果的总数用十进位制表示为______________

解:220 ∵1≤a≤6,1≤b≤6,1≤c≤6,a?8?b?8?c?c?7?b?7?a,

63a+b-48c=0,b=3(16c-21a),∴b=0,3,6,经检验b=3符合题意,

∴b=3,c=4,a=3, 3?8?3?8?4?220 222_______14、一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6

编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针 移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,?, 第n次移动n格,则不停留棋子的格子的编号有_________

解:2,4,5 尝试发现:(1)从不停留棋子的格子为2,4,5;

(2)棋子停留的格子号码每移动7次循环(即第k次与第(k+7)次停留同一格)。 证明:第k次移动棋子,移动的格子数为:1+2+3+?+k,第(k+7)次移动棋子,移动格子数为: 1+2+3+?+k+(k+1)+?+(k+7)

[1+2+3+?+k+(k+1)+?+(k+7)]-(1+2+3+?+k)=7k+28=7(k+4)

故第(k+7)次与第k次移动棋子停留格子相同。

三、解答题(本大题共2小题,每小题25分,共50分)

15、有40组CASIO卡片,每组均由C,A,S,I,O五张卡片按C,A,S,I,O顺序由上而下叠放而成,现将这40组卡片由上至下叠放在一起,然后把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三章丢掉,把第四张放在最底层,?,如此继续下去,直至最后只剩下一张卡片。

(1)在上述操作过程中,当只剩88张卡片时,一共丢掉了多少张卡片S?

(2)最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片?

解:(1)40组CASIO卡片共计200张,将200张卡片由上至下依次编号为:1,2,3,?,200,由操作法则知,当丢掉100张卡片时剩下卡片编号为2,4,6,?,200,若再丢掉12张卡片,涉及的卡片有24张,编号为2,4,6,?,48,丢掉12的卡片为2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,其中被丢掉的卡片S有两张(编号为18,38)。丢掉100张卡片时,有20张卡片S,所以当只剩88张卡片时,以供丢掉了22张卡片S。

(2)若只有128张卡片(2),则最后一张被丢掉的是编号为128的卡片。∵128<200<

7

256,当丢掉72张卡片时,涉及卡片共144张,在剩下的128张卡片中,最后一张的编号为144。144=5×28+4,∴最后一张卡片为第29组的第四张卡片I。

16、如图△ABC,D是△ABC内一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M

E分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线

求证:AB=CD。 A证明:取BC中点T,AF的中点S,连GT,HT,HS,SM。

∵G,H,M分别为BD,AC,EF的中点

F11∴MS∥AE,MS?AE,HS∥CF,HS?CF, H22

∴HS=SM,∴∠SHM=∠SMH

∵GT∥CD,HT∥AB,GT?11

2CD,HT?2AB

∴GT∥HS,HT∥SM

∴∠SHM=∠TGH,∠SMH=∠THG

∴∠TGH=∠THG

∴GT=TH

∴AB=CD

DBCFEAFDHSBTCF

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