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初中数学竞赛专题选讲 列表法(含答案)

发布时间:2014-07-10 13:44:55  

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初中数学竞赛专题选讲(初三.12)

列表法

一、内容提要

只要有可能,依题意画个图或列个表给问题以直观的描述,对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系,有条不紊地形象表达出来,特别是纵横关系较多的问题,利用图表,不仅便于思考答题方案,还可以作为答题的步骤.

图解已在枚举法,交集法等处介绍过,本讲主要介绍表解.

使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意,明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律,就是排中律,即“不是真,必为假”,“不是假,便是真”,列表推理就是把诸多数据按题目条件,逐一填入表中,当发现与题设矛盾时就排除,在排除淘汰的基础上,推出满足所有条件的结论.

二、例题

例1. n为正整数,试证2 n+7 n+2能被5整除.

解: n分别取1,2,3,4时,观察2 n+7 n+2的个位数字情况如下:

并且∵2 4k+n与2 n; 74k+(n+2) 与7n+2(k为整数)的个位数字相同.

∴n 不论取什么自然数值,2n+7n+2均能被5整除..

例2. 小张步行每小时走10里,骑车每小时走30里,他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程;然后沿着同一条路从乙地返回甲地,这次步行和骑车走了同样多的时间,结果返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.

解:设甲乙两地的距离为x里,从乙到甲所用的时间是y 小时. 列表如下:

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x?x??y?2??根据题意,得 ?10303

?yy?10??30??x22?

解这个方程组,得??x?40 y?2?

答:甲乙两地的距离为40里,从乙返甲用了2小时.

例3. 从1到10这十个自然数中,每次取两个,要使它们的和大于10,共有几种取法?试列表统计.

解:有两种列表法:由大数取小数或以小数取大数

∴共有9+7+5+3+1=25种取法.

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共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.

例4. A,B,C,D,E五个人,每人头上戴一顶帽子,只有红或白两种颜色中的一种.他们看见别人所戴的帽子颜色,分别说了以下的话:

A说:我看到的是3白1红; B说:我看到的是4红; C说:我看到的是1白3红; E说:我看到的是4白.

已知戴白帽子的人说真话,而戴红帽子的人说假话.试判断A,B,C,D,E各戴什么颜色的帽子.

解:先由易到难,用否定判断法:

若E说了真话,则共有5白,即大家都说了真话,这与其他人所说内容相矛盾,所以E必是戴红帽;

若A说了真话,则共有4白1红,那么 除A、E以外,还有2人说真话,就是B、C也说真话,这也不可能,所以A也 戴红帽;

在确定A、E之后,我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断:

若B说真话,则C、D都为红(∵B看到的是4红),那么C应是说假话,但C说1白3红却是真的,所以矛盾,B没有说真话,应是戴红帽.

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最后,C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽. ∴A,B,C,D,E所戴帽子的颜色分别是:红,红,白,白,红. 三、练习

1. 用列表法,求不等式(2x+1)(x-2)(x-3)<0的解集

∴不等式(2x+10(x-2)(x-3)<0的解集是_____________或____________

2. n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除.试证之,并说明n取什么值时,其和能被10整除.

3. 若自然数a不是2和3的倍数,试证a2+23能被24整除.

4. 原计划在一定时间内插秧152亩,实际工作时,每天比原计划多插2亩,结果比原计划提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩?

5. 甲,乙两人接受同样的任务,开始时乙比甲每天少做4件,做到两人都剩下624件时,乙比甲多用了2天.此后乙改进技术,每天比原来多做6件,这样两人在同一时间内定成任务.求甲、乙两人的工作效率.

6. A,B,C,D,E,F六个球队,进行单循环比赛(每队都要与其他各队各比赛一场),经过一段时间询问了A,B,C,D,E五个队,结果是他们都参加了比赛,并且比赛的场数各不相同,问未查询的F队比赛了几场?

7. 甲,乙,丙三人参加高考后,甲说:我一定考上重点大学.乙说:重点大学我考不上.丙说:我考上大学是没有问题的.发榜后,这三人中有一人考上重点天学,一人考上一般大学,一人落选.对他们的预言,只有一人正确.试判断甲,乙,丙的录取情况.

8. 甲,乙,丙三同学,来自初三①,② ③班各一人,参加语、数、英兴趣小组各一项.已知甲不是①班的,乙不在②班,在①班的不参加数学组,在②班的参加英语组,乙不参加语文组.问丙是哪个班?参加什么组?

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9. 甲,乙,丙,丁四人参加数学竞赛,得了前四名,三位同学在议论名次.A说:甲第一,乙第二;B说:甲第二,丁第四;C说:丙第二,丁第三.结果他们各对了一半.问甲,乙,丙,丁的正确名次是多少? 10.

一次校运会,小王,小林,小江三人包揽了五个项目的前三名,小王共得22分,

小林,小江各得9分,每项目的一,二,三名得分,分别是5,2,1分,并知小江得铅球第一名.试问他们各得几个第一名,第二名,第三名? 11.

四位外国朋友,他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种,有一种语言三个人

会说,但没有一种大家都会说的语言.还知道:

① A会讲日语,D却不会,但他们用同一种语言交谈; ② B不会讲英语,当A、C交谈时,他当翻译; ③ B、C、D三人谈时,没有一种共同的语言; ④ 四人中没有一人既会讲日语,又会讲法语. 试问A,B,C,D四人各会讲何种语言.

参考答案

2. 列表 n=1,2,3,4(仿例1 3. 已知可表示为6k±1 4. 8亩

5. 24,20 6. 3场(仿例3) 7. 甲落选,乙重点,丙一般

8.丙是(1)班学生,参加语文组 9.甲,乙,丙,丁分别是1,3,2,4. 10. 11.

王(4个一,1个二);江(1个一,4个三);林(4个二,1个三). 用1表示会说,0表示不会说

该种语言,答案列表如右:

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