haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学竞赛专题选讲 配方法(含答案)

发布时间:2014-07-10 13:44:57  

www.czsx.com.cn

初中数学竞赛专题选讲(初三.3)

配方法

一、内容提要

1. 配方:这里指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

(a±b)2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.

常用的有以下三种:

①由a2+b2配上2ab, ②由2 ab配上a2+b2, ③由a2±2ab配上b2.

2. 运用配方法解题,初中阶段主要有:

① 用完全平方式来因式分解

例如:把x4+4 因式分解.

原式=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=??

这是由a2+b2配上2ab.

② 二次根式化简常用公式:a?a,这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如:化简5?26.

我们把5-26写成 2-223+3 =(2)2-223+()2 =(2-3)2.

这是由2 ab配上a2+b2.

③ 求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.

即∵a2≥0, ∴当a=0时, a2的值为0是最小值.

例如:求代数式a2+2a-2 的最值.

∵a2+2a-2= a2+2a+1-3=(a+1)2-3

当a=-1时, a2+2a-2有最小值-3.

这是由a2±2ab配上b2

④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需

要配方.

例如::求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 2

- 1 -

www.czsx.com.cn

解:方程x2+y2+2x-4y+1+4=0.

配方的可化为 (x+1)2+(y-2)2=0.

要使等式成立,必须且只需??x?1?0. ?y?2?0

?x??1解得 ? y?2?

此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧.

二、例题

例1. 因式分解:a2b2-a2+4ab-b2+1.

解:a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1+(-a2+2ab-b2) (折项,分组)

=(ab+1)2-(a-b)2 (配方)

=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b) (用平方差公式分解)

本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想.

例2. 化简下列二次根式: ①7?4; ②2?3; ③10?43?22.

解:化简的关键是把被开方数配方 2①7?43=4?2?2?3=(2?3) =2?3=2+3. 24?23(?1)2

②2?3=2?== 222

=6?22(?1)=. 22

③?43?22=?4(2?1) =? 42+1)

=6?42=4?2?22?2=(2?22)2

- 2 -

www.czsx.com.cn

=2-2.

例3. 求下列代数式的最大或最小值:

① x2+5x+1; ② -2x2-6x+1 .

5?5?25解:①x+5x+1=x+2×x+??-+1 4`2?2?222

=(x+

∵(x+5221)-. 2452)≥0,其中0是最小值. 2

521即当x=时,x2+5x+1有最小值-. 24

1②-2x2-6x+1 =-2(x2+3x-) 2

3991=-2(x2+2×x+?-) 2442

311=-2(x+)2+ 22

3∵-2(x+)2≤0,其中0是最大值, 2

311∴当x=-时,-2x2-6x+1有最大值. 22

例4. 解下列方程:

①x4-x2+2xy+y2+1=0 ; ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解:①(x4-2x2+1)+(x2+2xy+y2)=0 . (折项,分组) (x2-1)2+(x+y)2=0. (配方)

根据“几个非负数的和等于零,则每一个非负数都应等于零”.

??x?1?0 得 ? ??x?y?0

∴?2?x?1, 或 ?y??1?x??1 ??y?1

②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2-2y+1=0 . (折项,分组)

(x+y)2+6(x+y)+9+y2-2y+1=0.

(x+y+3)2+(y-1)2=0. (配方)

∴??x?y?3?0?x??4 ∴? ?y?1?0?y?1

- 3 -

www.czsx.com.cn

例5. 已知:a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整

数的平方和,试写出其形式.

解:mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2

= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2-2abcd (分组,添项)

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6. 求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

解:x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项)

(x-4)2+(y+5)2=25 (配方)

∵25折成两个整数的平方和,只能是0和25;9和16.

2222??(?x?4)?0??(x?4)?25(?x?4)?9??(x?4)?16或?或?或?∴? 2222??(y?5)?25??(y?5)?0??(y?5)?16??(y?5)?9

由??x?4?0?x?4得? y?5?5y?0??

?x?4?x?9?y??10??y?-5?x??1?? ??y??5同理,共有12个解?

三、练习

1. 因式分解:

①x4+x2y2+y4 ; ②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ; ③x4+x2-2ax-a2+1.

2. 化简下列二次根式: ①4x2?12x?9?4x2?20x?25 (-35<x<); 22

x2?4x3?3x?2② (1<x<2); ?x?4x?2

③?2; ④3?5; ⑤?44?23; ⑥3??3?5;

⑦(14+65)÷(3+5); ⑧(3?x)2+x?8x?16.

3求下列代数式的最大或最小值:

①2x2+10x+1 ; ②-212x+x-1. 2

- 4 -

www.czsx.com.cn

4.已知:a2+b2-4a-2b+5 . 求:a?b

3?22的值.

5.已知:a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求:a+b+c的值.

6.已知:实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 .

试判断代数式111??值的正负. abc

x4?6x3?2x2?16x?237.已知:x=?83,求:. x2?8x?15

参考答案

1. ②(x-y-3)2

2. ①8, ②0.5x, ③3-22, ④

⑦3+, ⑧7-2x (x≤3)

3. ①当x=-?2, ⑤2+3, ⑥ 25231时,有最小值- ②x=1时,有最大值- 222

4. a=2, b=1 代数式值是3+22

5. ±13 6.负数。由(a+b+c)2=0 得出ab+ac+bc<0

4. 值为5。 先化简已知为4-3,代入分母值为2, 可知x2-8x+13=0

分子可化为(x2+2x+1)(x2-8x+13)+10 =10

5. 配方(a-b)2+(b-c)2=0

6. ①??x?1,?1?x?2?x?6 ②? ③? y??1,1y??1y?3???

?x?1?x?1?x??1?x??1 ②(x-3)2+(y+5)2=9 ?? ????y??1?y??2?y??3?y??27. ①?

- 5 -

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com