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初中培优竞赛 第11讲 统计与概率

发布时间:2014-07-11 09:24:46  

第11讲 统计与概率

一、 选择题

1、(2、3)(数学、初中数学竞赛、选择题、统计)

一个样本为1,3,2,2,a,b,c. 已知这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为 ( )

A.8 B.4 C.7 D.7

解析:已知样本平均数为2,得1+3+2+2+a+b+c=2×7=14,所以a+b+c = 6. 又因为样本众数为3,所以a,b,c三数中至少有两个3,则另一个为0. 所以样本方差s2=7(1+1+0+0+1+1+4)=7?

答案:C .

技巧:理解平均数、众数、方差、标准差等统计术语的意义才能正确的求出这些数值。 易错点:这类题容易混淆平均数与众数、方差与标准差等概念而致错。

2、(4、5)(数学、初中数学竞赛、选择题、概率)

六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面展开图如下图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该点的纵坐标,按照这样的规定,每掷一次该小立方体,就得到平面内一个点的坐标,已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l,且这条直线l经过点P(4,7),那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是( ) 1884

A. B. C. D. 32362111解析: 每掷一次可能得到6个点的坐标是 其中有两个点是重合的 : 1,1 , 1,1 , 2,3 , 3,2 , 3,5 , 5,3 ,通过描点和计算可以发现,经过 1,1 , 2,3 , 3,5 三点中的任意两点 所确定的直线都经过点P 4,7 ,所以小明第三次掷得的点也在直线??上的概率是42=?

答案:A.

技巧:求事件发生的概率,要分析清楚该事件发生的所有可能情况,不能遗漏。 易错点:求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。

3、(3、4)(数学、初中数学竞赛、选择题、概率)

平面直角坐标系内任选一点,它的坐标都是绝对值小于或等于4的整数,且所有这样的点被选中的概率相等,则所选的点到原点的距离至多是2个单位的概率是( )

A.81 B.81 C.64 D.16

解析:坐标是绝对值小于或等于4的整数的点,构成以原点为中心的9×9的点阵列. 而这些点中有13个点到原点的距离小于或等于281?

答案:A

技巧:理解题意,分析清楚该事件发生的所有可能情况,不能遗漏。

易错点:求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。

二、 填空题

4、(2、3)(数学、初中数学竞赛、填空题、统计)

五次测验的平均成绩是90,中位数(即5个成绩按大小次序排列,居中的那个数)是91,众数(即5个成绩中出现次数最多的那个数)是94,则最低两次测验的成绩之和是___________ .

解析:比中位数91大的数至多2个,众数94至少出现2次,所以94恰好出现2 次.最低2次测验成绩之和是90×5?91?94×2=450?91?188=171.

答案:171.

技巧:把握题意,理解平均数、众数和中位数的概念,弄清要求的是什么。

易错点:容易混淆平均数、众数和中位数的概念而致错。

5、(3、4)(数学、初中数学竞赛、填空题、统计) 13131513π

有甲、乙、丙、丁四人,每三人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29岁、23岁、21岁和17岁,则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是____ 岁.

解析:设年龄最大的a岁,年龄最小的d岁,另外两人的年龄为b岁和c岁,则有 ??+

??+??+??+d3 =3??+2??+??+??+??3=29, ① ??+??+??2??+??+??+??=??+=17,② 2312×32由①一②得(?????)=12,?????=

即所求的差是18.

答案:18. =18.

技巧: 根据题意设参数列出等式,然后通过变形来整体求值。

易错点:等式变形过程中容易出现计算失误。

6、(4、5)(数学、初中数学竞赛、填空题、概率)

某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖. 现在向上抛掷半径为6 cm的圆碟,圆碟落地后与地砖边缘不相交的概率大约是__ __.

解析:欲使圆碟不压地砖间的间隙,则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼此平行、距离为6 的小正六边形内(见下图).

作OC1⊥A1A2于Cl,交B1B2于C2,则ClC2=6 因为A1A2=A2O=36,A2C1=18,所以C1O= 2A2O=18 C2O=C1O?C1C2=12 又因为C2O=

B2O,所以2B2O=O=2×12 =24. 而B1B2=B2O,则小正六边形的边长为24cm. 故所求概率P =小正六边形的面积

正六边形的面积=(B1B22)A1A2=()2=? 369244

答案:49 .

小正六边形的面积正六边形的面积技巧:理解本题中几何图形落点的概率求法P = .

易错点:本题在求概率的时候容易理解成求圆碟的面积与正六边形地砖的面积之比而致错.

三、解答题

7、(2、3)(数学、初中数学竞赛、解答题、统计)

某校为了了解学生环保情况,对部分学生进行了一次环保知识测试(分数为整数,满分100分),根据测试成绩(最低分53分)分别绘制如下统计表和统计图,请你根据统计表和统计图回答下列问题:

(1)这次参加测试的总人数为多少?

(2)在76.5~84.5这一小组内的人数为多少?

(3)这次测试成绩的中位数落在哪个小组内?

(4)成绩在84.5~89.5之间的人数为多少?

分析:通过观察图表即可得出所需要的数据。

详解:(1)因为3+42=45,所以这次参加测试的总人数为45.

(2)在76.5~84.5这一小组内的人数为45-3-7-10-8-5= 12.

(3)这次测试成绩的中位数落76.5~84.5这一小组内.

(4) 89.5分以上为8人,92.5分以上为5人,则89.5分到92.5分的有8-5=3人;又84.5~92.5之间的人数为8 人,所以成绩在84.5~89.5之间的人数为8-3=5人.

8、(3、4)(数学、初中数学竞赛、解答题、统计)

某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次. 在第6次、第7次、第8次、第9次射击中,分别得到9.O环、8.4环、8.1环、9.3环,他的前9次射击所得的平均环数高

于前5次射击所得的平均环数,如果要使10次射击的平均环数超过8.8环,那么他在第10次射击中至少要得多少环?(每次射击所得环数都精确到0.1环)

分析:由于每次射击所得环数都精确到0.1环,故前9次射击的总环数至多为8.7×9?0.1环;要使10次射击的平均环数超过8.8环,则第10次最少要得(8.8×10+0.1)?78.2环。 详解:前9次射击的总环数至多为8.7×9?0.1=78.2,故第10次射击至少得(8.8×10+0.1)?78.2=9.9(环).

答:第10次射击至少要得9.9环.

技巧:理解平均数的概念,以及“精确到0.1环” 和“高于”、“至少”等关键词之间的联系才能正确解答本题。

易错点:容易忽视“精确到0.1环”和“高于”、“至少”等关键词之间的联系而致错。

9、(4、5)(数学、初中数学竞赛、解答题、统计)

某学生为了描点作出函数??=????2+????+??(??≠0)的图象,取了自变量的7个值: ??1<??2<?<??7,且??2???1=??3???2=?=??7???6,分别算出对应的y的值,列出下表:

但由于粗心算错了其中一个y值,请指出算错的是哪一个值?正确的值是多少?并说明理由.

分析:根据??2???1=??3???2=?=??7???6,找出????+1与????之间的联系,然后对照表格来发现规律。

详解:设??2???1=??3???2??=??7???6=??>0,且??i对应的函数值为??i.

则222????=????+1?????= ????2??+1+??????+1+?? ? ??????+??????+?? =?? (????+??)????? +?? ????+?? ????? =2????????+ ????2+???? ,

故????+1?????=2????(????+1?????)=2????2(常数).

由给出的数据??i:51 107 185 285 407 549 717

得????:56 78 100 122 142 168

????+1-????: 22 22 22 20 26

由此可见,??6=549是被算错的y值,其正确值应该是407+(122+22)=551.

技巧:通过研究????+1与????之间的关系来对照表格是解答本题的关键所在。

易错点:这类题容易被题目大量的数据所困惑,放弃理性思考数据的规律而致错。

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