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初中培优竞赛 第7讲 一次方程和一次方程组

发布时间:2014-07-11 09:24:47  

一 . 选择题

1.(2、3)(数学、初中数学竞赛、一次方程、选择题)

若k为整数,则使得方程 k?1999 χ=2001?2000χ的解也是整数的k的值有 ( )

A.4个 B. 8个 C.12个 D.16个

分析:将方程进行整理得到??=2001

??+1k+1整除2001即可. 又因为

2001=1×3×23×29,??+1可取±1,±3,±23, ±29,± (3 × 23) ,±(3×29), ±

(23× 29), ±2001共 16 个值. 答案:D

技巧:先将方程得根用k表示出来,在来讨论它为整数的情况.

易错点:容易遗漏可能性.

2.(3、4)(数学、初中数学竞赛、浓度问题、一次方程、应用题、选择题)

从100升纯酒精中取出1升倒入10升水中,混合均匀后取出1升倒回纯酒精中.若这时酒

精含水的比是x,水中含酒精的比是y.则 ??.??>??? ??.??=??

??.??<?? D.x,y大小无法确定

分析:易求出x=

答案:B

技巧:画图分析或者直接模拟分析,发现这个水和酒精是对等的.

易错点:容易陷入水和酒精的误区,导致得出水比究竟多,或水比酒精少的错误结论.

3. (3、4)(数学、初中数学竞赛、一元一次方程、选择题)

关于x的一元一次方程. 11011101,y=所以??=??? +=2 的根是 ( ) A.? ?

分析:先进行分母有理化得到12χ= ?12 ,所以χ= ? .

答案:B

技巧:分母有理化.

易错点:进行有理化时很容易出现化简和计算的错误.

4. (江苏省第21届初中数学竞赛题)若x=2n+1+2n,y=2n-1+2n-2,其中n为整数,则x与y的数

量关系为()

A.x=4y B.y=4xc.x=12yD.y=12x

5.(1998年希望杯竞赛题)某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛,甲、

乙两名运动员同时起跑后,乙速超过甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追

上乙并且超过乙,在第23分钟时甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙跑完全程所用的时间是 ( )

A. 30分钟 B.24分钟 C.20分钟 D.25分钟

6.(2006年浙江省竞赛题)要使方程组

值范围是

444A.<??<3 ??.??< C.a>3 ??.??<或a>3 7.(2000年全国初中数学竞赛题)甲是乙现在的年龄时,乙10岁,乙是甲现在的年时,甲25岁,那么 ( ) 3x+2y=a 的解是一对异号的数,则a的取 2x+3y=2

A.甲比乙大5岁 B.甲比乙大10岁C.乙比甲大10岁D.乙比甲大5岁

8.(全国初中联赛题)若关于x的方程||???2|?1|=??有三个整数解,则a的值为

( )

A.0 B.2 C.1 D.3

二、填空题

9.(2、3)(数学、初中数学竞赛、应用题、成本利润问题、一元一次方程、填空题)

某种商品的进货价是每件a元,零售价是每件1100元,商店按零售价的80%降价出售,仍可获利10%(相对于进货价),a= .

分析:由题意知:1100×80% ?a=10%? a解得a=800

答案:800

技巧:成本+利润=零售价.

易错点:注意下计算方面的问题.这是众多学生的一个通病.

10. (2、3)(数学、初中数学竞赛、绝对值方程、填空题)

若0<??<10,则满足条件|x?3|=a的整数a的值共有 个,它们的和是 . 分析:当0<.x<3时,则有|???3|=3???=??,??的值是1,2;当3≤x<10时,则有|???3|=???3=??,??的值为0,1,2,3,4,5,6.

答案:7,21.

技巧:以3分界,进行去绝对值讨论.

易错点:去绝对值最容易出错的是符号问题.

11.(4、5)(数学、初中数学竞赛、一次方程、无穷多解问题、填空题)

If the equation ??(???1)=2001??? ???2 for x has infinite(无穷、无限) roots, then ??2001+??2001=

分析:该题的意思是,不论χ取何值,方程均成立,那么就需要将方程进行变形,原方程化为(m+n)x=2001+m+2n,得m=2001,n=?2001. 答案:0.

技巧:方程有无穷多解,就需要将未知数表示出来,然后令其系数为0即可。

易错点:容易出现思路紊乱.

12.(2005年河南省竞赛题)一辆卡车在公路上匀速行驶,起初看到里程碑上的数字为,过了一小时里程碑上的数字为????,又行驶了一小时里程碑上的数字为三位数A0B,则第三次看到里程碑上的数字是

13.(2005年河南省竞赛题)把99拆成四个数,使得第一个数加上2,第二个数减2, 第三个数乘2,第四个数除以2,得到的结果都相等,那么这四个数是____.

14.(希望杯竞赛题)甲、乙两列客车的长分别为150m和200m,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10s,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是____s.

15.(1998年五羊杯竞赛题)油罐有A,B两条进水管,C,D,E三条出水管.要灌满空罐,单开A管要1.5小时,单开B管要2小时,要排空一罐油,单开C管要3小时,单开D管要4小时,单开E管要4.5小时.现在罐内有0.25罐油,按A, C,D, B,E的顺序打开油管,每次每管单独开1小时,循环进行.问:多少时间后油罐灌满?答: 小时.

x+2y?z=6 16.(2001年希望杯竞赛题)已知x,y,z为实数,且满足 ,那么??2+ x?y+2z=3

y2+z2的最小值是 .

17.(北京市第12届迎春杯竞赛题)甲、乙、丙、丁四人的平均年龄是30多岁,若甲的年龄是乙的5,乙的年龄是丙的2,丁比甲大1岁,那么,四人的平均年龄是 岁

三、解答题

18.(4、5)(数学、初中数学竞赛、一元一次方程、绝对值方程、解答题)

设a,b为有理数,且|a|>0,方程||x?a|?b|=3?有三个不相等的解,求b的值. 分析:由题意知a≠0,然后去绝对值,知道b±3≧0,最后解出方程有四个跟,而由题意知,其中必有两根相等,从而求解.

详解:去绝对值知道b+3,b-3都是非负数,而且如果其中一个为0,则得3个解;如果都不是0,则得4个解,故??=3.

技巧:去绝对值,而后对各值进行分别讨论.

易错点:b±3≧0这个隐藏条件容易被忽略,最后求得错误结果为±3.

19. (4、5)(数学、初中数学竞赛、一元一次方程、解答题)

如果a,b为定值,关于x的方程2????+??3???????643 =2+无论k为何值它的根总是1,求a,b的值.

分析:将方程变形得k 4χ+b +2a?χ=12 , 令 4χ+b =0 将χ=1代入即可. 详解:把??=1代入方程,得(??+4)??=13?2??,所以??+4=0且13?2a=0,解 得 ??=132,??=?4.

13答:a、b的值分别为2、?4 .

技巧:把k分离出来,令系数为0.

易错点:容易出现思路紊乱 .

21. (4、5)(数学、初中数学竞赛、绝对值方程、解答题)

已知|x+2|+|1?x|=9?|y?5|?|1+y|,求??+y的最大值与最小值.

分析:已知等式可化为|??+2|+|???1|+|??+1|+|???5|=9.由绝对值的几何意 义可求解.

详解:|x+2|+|1?x|=9?|y?5|?|1+y| ??+2 + ???1 + ??+1 + ???5 =9 由绝对值的几何意义可知,当?2≤x≤1且?1≤y≤5时,上式成立,故当x=?2,y=?1时,x+y有最小值-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.

答:??+y的最大值与最小值分别为6、-3.

技巧:利用绝对值的几何意义.

易错点:将绝对值放到数轴上时对应点容易出错.

22.(四川省竞赛题)有收录机、钢笔和书包三种物品,若购买3台收录机,6枝钢笔,2个书包共需302元;若购买5台收录机,11枝钢笔,3个书包共需508元,问:收录机、钢笔、书包的价格分别为多少元?

23.(第2届香港华杯赛竞赛题)已知x1,x2,x3…,xn中每一个数值只能取?2.0.

24.(首届华杯赛竞赛题)某贵重金属工厂职员误把每克售0.73元的贵重金属看成 为每克售0.7元.当他售出6公斤后,出纳员发觉工厂损失了146元.求b的值.

25.(黄冈市竞赛题)某人沿电车路线行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分 钟有一辆电车迎面开来,假定此人和电车都是匀速前进,则电车是每隔多少分钟 从起点站开出一辆?

26.(北京市第12届迎春杯竞赛题)甲、乙、丙三位工人生产同一种零件,假定甲、乙 丙三人每分钟生产的零件不变,当甲工作3分钟后,乙才开始生产,当乙开始工

作3分钟后,丙才开始生产.现已知乙工作12分钟时,所生产的零件数与甲生产

的零件数相同.

问:(1)丙工作70分钟时,谁生产的零件最多?

(2)丙工作80分钟时,谁生产的零件最多?

27.(北京市迎春杯竞赛题)如图7-3所示,6个小圆圈中的3个分别填有15,26,31三个数,而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圈里的数的和,那么在三个空白圆圈中最

小的一个数是多少?

28.(2006年国际城市竞赛题)老师说:“a,b两个数满足关系式

a+b?ab=1.已知a不是整数,则对b可作出怎样的结论?” 学生A说:“b也不是整数.”学生B说:“我认为b必定是正整数,”学生C说:“我

认为b必定是负整数.”三位同学谁说的正确的呢?

29.(美国纽约市中学生数学竞赛题)一列火车长xm,匀速通过300m的隧道用时25s ,隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10s,求火车的长度.(光速为3.0×(10)8 m/s)

30.(1997年河南省竞赛题)某人沿着向上移动的自动扶梯从顶端向下走到底部用 了7分30秒,而他沿着自动扶梯从底部向上走到顶端只用了1分钟30秒,那么此 人不动,乘着扶梯从底部到顶端需要几分钟?又若停电,此人沿扶梯从底部走到 顶端需几分钟?(假定此人上、下扶梯的行走速度相同)

答案与解析

1.D ??=2001

??+1为整数,又因为2001=1×3×23×29,??+1可取±1,±3,±23,

+29,± (3 × 23) ,±(3×29), ± (23× 29), ±2001共 16 个值.

2.B 易求出x=1101,y=1101所以??=???

3.B 用视察法易贝??=? 符合原方程,而原方程显然只有一个解,故x=?

4.A ??=3×2??,??=3×2???2,所以x=4y?

5.D设出发时甲的速度为a米/分,乙的速度为b米/分,第15分钟甲提高的速度为x米/分,所以第15分钟甲的速度为(a+b)米/分,则

(??+?????)×3=15(?????)??=96(??+?????)×5=400 ,解得 ??=384. 53??=40015??+(??+??)=100006

x=5 6.D 解方程组得: 6?2a,要使方程组的解是一对异号的数,只需y=5

43a?4<0 3a?4>0 或 即a<3或a>3. 6?2a>06?2a<03a?4???(?????)=10?① 7.A 设甲现在x岁,乙现在y岁,则 ??+(?????)=25?②

由②一①得?????=5.

8.C 当a<0时,原方程无解;当a≥0时, |x?2|=1±a.

(1)若a>1,则|???2|=1???<0,无解,所以|???2|=1+??,??只能有两个 解x=3+a和??=1???;

(2)若0≤a≤1,则由|???2|=1+??得??=1???或x=3+a.由|x?2|=

1?a得??=1+??或x=3?a.所以原方程的解为x=3+a,3?a,1+.a,1?a为使方程有三

个整数解,则a必为整数,所以a=0?或1.当a=0时,x=3或x=1与题设不符,所以a≠0; 当a=1时,原方程的解为x=4,0,2. 综上可知,a=1

9.800 1100×80% ?a=10%? a解得a=800

10.7,21 当0<.x<3时,则有|???3|=3???=??,??的值是1,2;当3≤x< 10时,则有|???3|=???3=??,??的值为0,1,2,3,4,5,6.

11.0 原方程化为(m+n)x=2001+m+2n,得m=2001,n=?2001.

12. 106 由题意, (100A+B)?(10B+A)=(10B+A)?(10A+B),化简得6A=B. 由于A,B均为1~9的自然数,故A=1,B=6.第三次看到里程碑上的数字是106.

x13.设相等的这个数为x,则(x?2)+(x+2)++2x=99,解得??=22.所求四 2

个数依次是20,24,11,44.

14.7.5 先求出甲、乙两车速度和为

15.512按A,C,D,B,E的顺序打开油管各1小时,只能使油罐中的油增加1.5? 1371?+?42

11114.5=1336 4111油罐中有4+36=18罐油,再开A管(1?18)÷1311=12小时,油罐即满. 1.517??+2?????=6?① 由②一①得y=z+1,把y=z+1代入②得 16. 14 已知 ?????+2??=3?②

2+(z+1)2+z2=3z2?6z+17=3(z?1)2+14. ??=4???,所以x2+y2+z2=(4?z)

因为3(z?1)2≥0,以x2+y2+z2的最小值是14.

17. 37 设甲的年龄是n岁,四人平均年龄是(30+x)岁,则(??+??+??+??+1)= 44615530+??,解得??=29+??+7???49?因为n为整数,所以??=7.

18.若b+3,b-3都是非负数,而且如果其中一个为0,则得3个解;如果都不是0,则得4个解,故??=3.

19.把??=1代入方程,易得(??+4)??=13?2??,所以??+4=0且13?2a=0,解 得??=132,??=?4.

n2(n+1)2420.原方程可化为x+2x+?+nx= ,解得x=n(n+1)2?

21.已知等式可化为|??+2|+|???1|+|??+1|+|???5|=9.由绝对值的几何意 义可知,当?2≤x≤1且?1≤y≤5时,上式成立,故当x=?2,y=?1时,x+y有 最小值-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.

22.设收录机x元/台,钢笔y元/枝,书包z元/个,则

5x+11y+3z=508②3x+6y+2z=302①

由②一①得2??+5??+??=206?③由③一①得x+y+z=96.

33 23.由于不管有几个xi取0,都不影响??31+??2+?+????的值,故不妨设有p个????取

P=1 P?2q=?17 1,q个????取-2.依题意有 ? q=9P+4q=37

3333 所以??31+??2+?+????=1×1+9×(?2)=?71.

?0.73)=146?1000??×(0.0 1 ?0.01)=2?1000??×0.000 1 = 324.??×1000×(0.7

2?1000??×19900=2???=19.8千克.

25.设电车速度为u,人的速度为x,电车每隔t分钟从起点站开出一辆,则每两辆电车之间距离为ut对于迎面开来的电车,这个距离是人与电车共同走4分钟完成的.对于后面追上的电车,两辆电车之间的距离是12分钟内电车行驶的距离与人走的距离的差, 由题意得4u+4x=ut①12u?12x=ut②由①÷②得u+x=3u?3x,u=

2??.把u=2x代人①得??=6.

26.(1)乙多 (2)丙多 设甲、乙、丙每分钟生产的零件数分别为x,y,z,依题意

可知x<??<??,设丙做t分钟时所生产的零件数与乙生产的零件一样多,则12y=15x

20z=26x(t+3)y=zy. 解得 z(t+3) .所以??=75. =tzyt=252627.设??,??,??分别位于15和31,31和26,26和15之间,则

x+y=31 y+z=26, 所以x+y+z=36.所以最小数??=36?(??+??)=5.

x+z=15

28.由a+b?ab=1得b(1?a)=1?a,因为a不是整数,所以??=1.所以学生B 回答正确.

x29.×25=300+x.解得x=200. 10

30.设此人行走速度为x级/分钟,自动扶梯上升速度为y级/分钟,则7.5(x?y)=

1.5(??+??).解得x=2y?所 37.5(x?y)y=3.75分钟) ,7.5(x?y)x=2.5(分钟).

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