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初中培优竞赛 第1讲 整数的基本性质

发布时间:2014-07-11 09:24:49  

1. (1、2) (数学、初中数学竞赛、整数、选择题)

三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47,61,60,那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( )

A. 28 B. 27 C. 26 D. 25

解析:设三个人的年龄分别为X1,X2,X3,根据题意,则

X1+X2+2X3=47×2 ①

X2+X3+2X1=61×2 ②

X3+X1+2X2=60×2 ③

由①+②+③得X1+X2+X3=84,分别代入①和②得X1-X3=28。

答案:A

技巧:用已知条件,设未知数列方程解应用题是一种很简便的方法。

易错点:我们要看清楚题意,列方程和解方程的过程中需要仔细认真。

2. (2、3) (数学、初中数学竞赛、整数、选择题)

三角形的三边长a、b、c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b) =4,(b,c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注:[a,b,c]表示a、b、c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数}

A.30

B.31

C.32

D. 33

分析:因为(a,b)=4,所以a,b都是4的倍数.因为(b,c)=3,所以b,c都是3的倍数.从而a = 4a1,b= 12b1,c=3c1,a1、b1、c1都是正整数;又因为[a,b,c]=60,所以a,b,c中至少有一个被5整除,即a1、b1、c1中至少有一个被5整除,在a1= b1=1,c1 =5时,a+b+c=4+1+15=31最小.

答案:B

技巧:根据最大公约数和最小公倍数的性质,用解析式表示未知数。

易错点:注意三角形三边的关系,两边之和大于第三边。

3. (3、4) (数学、初中数学竞赛、整数、选择题)

从1开始的自然数中,把能表示成两个整数的和与它们的差的乘积的数从小到大排列,在这种排列中,第1998个数是 ( )

A. 2662

B.2664

C. 2665

D.2666

分析:设这个数为X,X≥1,X=(a+b)(a-b)(a、b是整数)

1假设a、b是两个相邻的整数,a-b=1,,那么有X=2b+1(b是整数) ○

因为X≥1,X是所有的奇数。

2假设a-b=2c(c是整数),因为X≥1,那么a+b与a-b的奇偶性相同,也为偶数,有X=2(a+b), ○

X是4的倍数

根据○1、○2,X是奇数与4的倍数的正整数的集合,则 (0≤n,n?Z)

可以判断出,这一系列数的周期时3.

因为1998÷3=666,整除.那么当n=666时,这个数为X=2664.

答案:C

技巧:我们要充分讨论X的可能性,得到X的周期性,分析解题。

易错点:容易遗漏a、b中出现负整数和0的情况,从而遗漏X=1和4的情况,所以要充分理解题意。

4. (3、4) (数学、初中数学竞赛、整数、填空题)

若3个质数a,b,c的乘积等于这3个质数的和的5倍,则a2+b2+c2分析:由题意知abc=5(a+b+c),a、b、c都是质数,且有一个数是5.

那么有:ab=a+b+5,

移项分解因式,转化为:(a-1)(b-1)=6

那么有a-1=2,b-1=3或者a-1=1,b-1=6

1a-1=2,b-1=3时,得a=3,b=4,不合题意. ○

2a-1=1,b-1=6时,得a=2,b=7,这时a+b+c=5+2+7=14为最小值. ○

答案:14

技巧:由题目中三个数都为质数,先确定一个数,再判断剩下2个数。

易错点:由于a、b、c都是质数,需要排除出现合数的情况。

5. (1、2) (数学、初中数学竞赛、整数、填空题)

32011的个位数字分析:3(n?N)的个位数字,是以4为周期的,个位数字的循环规律是: n

3n、9、7、1

当n=2011时,因为2011÷4=502……3,所以3

答案:7

技巧:一个数的n次方的个数数字,就是这个数的个位数字的n次方的个位数字;找到其个位数字相乘所得的个位数字的周期规律,是解答这类题目的关键。

6. (1、2) (数学、初中数学竞赛、整数、填空题) 2011的个位数字是3。

一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,则满足条件的最小自然数是 .

分析:假设这个数为X ,根据题意X+13=5a,X-13=6b,a2,b0.

因为X-13=6b≥0,所以X是不小于13的奇数;而且X和13的和是5的倍数,所以X的个位数字是7,显然17、27不符合。那么X=37的时候,符合题意。 答案:37

技巧:两个数的差是偶数,那么两个数的奇偶性是相同的。5的倍数的末尾数字是0、5,分析便可解题。

易错点:这个数是自然数,所以在解题过程中,要注意这个数是大于0的整数。

7. (3、4) (数学、初中数学竞赛、整数、解答题)

23个不同的正整数的和是4845,问:这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少?写出你的结论,并说明理由.

分析:设这23个彼此不同的正整数为a1,a2,…,a23,并且它们的最大公约数是d,则a1=db1 ,a2=db2 ,a3=db3,…a23=db23,依题意,有4845=a1+a2+---+a23=d(b1+ b2+…+b23).因为b1,b2,b3,…,b23也是彼此不等的正整数,所以

b1+b2+b3+…+b23≥1+2+…+23=276.

因此4845 = d(b1 +b2+…十b23)≥276d,所以 d?4845

276?1751 92

又因为4845= 19×17×15,因此d的最大值可能是17.

当a1= 17,a2 =17×2,a3= 17×3,…… a22 =17× 22时,得 a1 + a2 + a3 + ... + a23 = 17 ×(1+ 2 + 3 + ... + 22) = 17× 253= 4301,a23 = 4845-4301=544=17× 32,而(a1 ,a2 , a3,…,a23)=17,所以d的最大值等于17.

答案:17

技巧:要求最大公约数越大,就要求每个数除了最大公约数外,因数越小.

易错点:此题要注意,这些正整数是不同的,所以假设除了最大公约数外,他们的最小因数依次为1、2…………22、23

8. (3、4) (数学、初中数学竞赛、整数、解答题)

求证:○1奇数的平方被8除余1;

○2请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

证明:○1假设这个数X=2n+1,,n≥0;那么有X2=(2n+1)2=4n(n+1)+1, n与n+1中必有一个为偶数,所以4n(n+1)被8整除.

○2由上面结论可知,每个奇数的平方和除以8余1,8个奇数的平方和被8整除,10

个奇数的平方和除以8余2.但2006除以8余6.因此2006不能表示成10个奇数的平方和.

技巧:把这个数用代数式表示出来,再进行分析。

易错点:在证明过程中,我们要利用因式分解,再合并同类项,从而推出被8整除,这个题目如果没有证明的第一部分,容易只证到这个数被4除余1.

9. (3、4) (数学、初中数学竞赛、整数、解答题)

已知k,a,b为正整数,k被a、b整除所得的商分别为m,m+116.

① 若a,b互质,求证:a?b与a、b都互质;

② 当a,b互质时,求k的值;

分析:

222① 证明:设s为a?b与a的最大公约数,则a?b?cs,a?ds,c、d正整数.222222222

于是a2?(a2?b2)?b2?(d?c)s,可见s是b的约数;因为a,b互质,所以a与b也互质;s是a与b共同的约数,所以s=1;所以a?b、a互质.

同理可证a?b与b互质. 22222222222

② 因为k?ma2?(m?116)b2,所以m(a2?b2)?116;又因为a,b,mb2(a>b)

都是正整数,所以a?b整除116b;因为a?b与b互质,所以a?b整除116,即(a+b)(a-b)整除116.而116?2?29,a+b与a-b具有相同的奇偶性,且222222222

a?b?a?b?0,所以

a+b=29a+b=2×29a=15a=30 或 .解得. 或 a?b=1a?b=2b=14b=28

因为a,b互质, 所以a = 15,b=14. m=116b2

a?b=784,所以k?ma?176400 2

技巧:证明两个数互质,可以先假设两个数的最大公约数,得到最大公约数为1,两个数即互质.

易错点:○2中需要排除2个数都不互质的情况.

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