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初中培优竞赛 第9讲 特殊方程与不定方程

发布时间:2014-07-11 09:24:52  

1 . (1) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)

设[x]表示不小于x的最小整数,如[3.4]=4,[4]=4,

[3.8]=4,[?3.8]=?3.则下列7个结论中,不成立的结论 ( ) ①x≤ x ; ② x ≤x+1;

③x= x 只有x为整数才成立;④ x+2 =[x]+2;

⑤ x?2 = x ?2;⑥ 2x =2 x ;⑦ xx 2 =

2

A.不超过3个 B.恰为4个 C.刚好为5个 D.至少有6个

分析:易见①,②,③,④,⑤成立,但⑥,⑦不成立,其实令x=0.5便知⑥,⑦不成立.

详解:A

2. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)

关于x的含有绝对值的方程|2x?1|?|x|=2的不同实数解共有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

分析:|2x?1|?|x|=2.

若x≥12,则方程为2x?1?x=2,x=3;

若0≤x<121?2x?x=2,x=?1,不合题意;

若x<0,则方程为1?2x+x = 2. X=?1,

故题设方程的不同实数解共有2个.

详解: B

技巧:分别讨论绝对值的正负性,看结果是否符合题意.

易错点:如果出现不合题意的结果,应该排除掉.

3. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)

方程组 |x|+y=12

x+|y|=6的解的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

分析:若x≥0,则 x+y=12

x+|y|=6 ,于是|y|?y=?6,显然不可能;

若x<0,则 ?x+y=12

x+|y|=6 ,于是|y|+y=18,解得y=9,

进而求得x=?3.所以原方程组的解为 x=?3y=9 ,只有1个解. ) ) ((

详解:A

4. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)

|x+y|+|x|=4 方程组 的解共有________ 组. 2|x+y|+3|x|=9

u+v=4分析:令 x+y =u, x =v,则 ,解得v=1,u=3. 2u+3v=9

于是x+y=±3,x=±1.(x,y)=(1,2),(1,?4),(?1,4)或(?1,?2). 详解:4

技巧:我们可以使用换元法,使题目更加简洁明了.

易错点:讨论结果时,不要遗漏任何解.

5. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)

设x,y都是正整数,且 + =y,则y的最大值为________ . 分析:假设x?116=m2,x+100=n2(m,n为正整数),所以n2?m2=216.即

(n+m)(n?m)=216,显然n+m>???m,n+m与n-m只能同时为偶数,故n+m 的最大值为108.

详解:108

技巧:已知原式为a+b的形式,我们利用平方差公式,逆向思考可以化简原式,简单解题,.

6. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)

满足方程|||x?2006|?1|+8|=2006的所有x的和为________ .

分析:因为 x?2006 ?1 +8>0 ,所以 x?2006 ?1 +8 =||x?2006|?1|+8; 由||x?2006|?1|+8=2006得: ||x?2006|?1|=1998?①

因为 x?2006 ?1≥?1>?1998,所以由①得|x?2006|?1=1998.

即|x?2006|=1999?②

由②得x=2006+1999或2006?1999,即原方程有两个解,

所有解的和是(2006+1999)+(2006?1999)=4012.

详解:4012

技巧:根据绝对值的意义,先化简,再解题.

易错点:需要排除不符合题意的结果.

7. (3、4) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)

xz?2yt=3 求方程组 的整数解. xt+yz=1

分析:我们观察,方程组的两个等式左右两边先平方再相加,会消去相同的项,化简再分别讨论.

详解:(xz?2yt)+2(xt+yz)=32+12,化简合并同类项得:

x2+2y2 z2+2t2 =11

故x2+2y2=1或z2+2t2=1.

①当 x2+2y2=1时, z2+2t2=11,得y=0,x=±1,t=±.1,z=±3;

② 当 z2+2t2=1时, x2+2y2=11, 得t=0,z=±1,y=±1,x=±3.

经检验,满足方程的4组解为(1,0,3,1),(-1,0,-3,-1),(3,1,1,0),(-3,-1,-1,0).

xz?2yt=3 答:方程组 的整数解(x,y,z,t)为:(1,0,3,1),(-1,0,-3,xt+yz=1

-1),(3,1,1,0),(-3,-1,-1,0).

技巧:我们通过化简,合并同类项,再分情况讨论.

易错点:我们得到结果后,根据题意需代入原方程组验证,排除多余的解.

8. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)

已知实数x,y满足(2x+1)2+y2+(y?2x)2=3,求x+y的值.

分析:原式是一个二元方程,但是只有一个等式,我们不妨先展开,移项,化简可以得到2个完全平方式,即可得解.

详解:将原等式展开移项,得:

24x2?12xy+6y2+12x+2=0

分组可以化为两个完全平方式,得:

3x+1 2+3 y?x 2=0,

3x+1=0所以有: y?x=0

解得x=y=?3,

因此x+y=?3?

答:x+y的值为?3 221122

技巧:我们把有规律项数的分组组成完全平方式,可简便解题.

9. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)

有甲、乙两种卡通玩具昆虫,每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚,每个乙种玩具昆虫有3只眼睛,两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚,则每个乙种玩具昆虫有多少只脚? 分析:我们把未知量都设成未知数,然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论,即可解题. 详解:设甲种昆虫有x只,乙种昆虫有y只,每只乙种昆虫有k只脚.依题意有 x+3y=26?①

40x+ky=298?②

由①可知x是被3除余2的自然数,即x可取2,5,8,11,14,?,

由②可知40x<298,即x≤7.所以x=2或5.

当x=2时,y=8,而8不能整除298?40×2=218,不合题意,舍去;

当x=5时, y=7,而7k=298?40×5=98,所以k=14.

答:每个乙种玩具昆虫有14只脚.

技巧:根据题目中的未知数都是整数,来分析解题.

虫有14只脚.

(第18届五羊杯竞赛题)定义新运算△: aΔb=a+ a+1 +(a+2)+?+(a+ b?1),其中6为正整数.如果(xΔ3)Δ(2x)=13,则x的值为

A.1或13B.1或8130 C.8 D.1

6.(2007年“数学周报”杯全国数学竞赛题)

7.(1998年山东省竞赛题)方程|x|?x=

A. 1 B .2 C. 3 D. 4

8.(1999年重庆市竞赛题)某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元 和9元的光盘x张和y张,每种光盘至少买3张,那么购买的方式共有,( )

A.20种 B.25种 C.29种 D.32种

9.(第21届江苏省初中数学竞赛题)图9 -1为某三岔路口交通环岛的简化模型.在 某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数

如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通

,BC ,CA 的机动车辆数(假设单位时间内,在 过路段AB

上述路段中,同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相

等),则x1,x2,x3的大小关系为 ( )

A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x1

C.x2>x3>x1 B.x3>x2>x1

二、填空题

10. 11.(上海市竞赛题)12.(上海市竞赛题)已知方程x+y+z=a,其中a为正整数,当a=3时,它的正整数解组数记为S3,当a=5时,它的正整数解组数记为S5,则S1993=

13.(2001年北京市竞赛题)若a,b都是正整数,且143a+500b=2001,则a+b=________

14.(第3届杭州市求实杯竞赛题)有一个两位数ab(十位数字是a,个位数字是b), 其中的a和b满足关系式a?b.ab=bbb(bbb表示三个数字都是b的3位数),这个两位数为________

15.(第17届希望杯竞赛题)某种球形病毒的直径为0.01纳米,每个病毒每过1分钟就能繁殖出9个与自己相同的病毒.假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不活,那么人从感染第

一个病毒后,经过________ 分钟,就会感到不适(1米=109纳米). 43|x|x ( )

16.(2005年湖州市竞赛题)李立、王望、钱谦三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮,李立买了4本练习本、一枝圆珠笔和10块橡皮,共付了11元,王望买了3本练习本、一枝圆珠笔和7块橡皮,共付了8.9元,钱谦买了一本练习本、一枝圆珠笔和一块橡皮应该付________ 元.

17.(第17届五羊杯竞赛题)以下算式中,相同的汉字代表相同的数字.已知“神舟” = 25,“号” =4,那么六位数“飞天神舟六号”=________.

六号飞天神舟=神舟号×飞天神舟六号

18.(第11届华杯赛试题)满足方程|||x?2006|?1|+8|=2006的所有x的和 为________ .

三、解答题

20.(第2届香港华杯赛试题)求方程(3x+2).τ+5=1的所有可能解.

21.(第11届希望杯竞赛题)某书店积存了画片若干张,按每张5角出售,无人购买; 现决定按成本价出售,一下子全部售出,共卖了31元9角3分,则该书店积存了这种画片多少张?每张成本价是多少?

22.(2006年国际城市竞赛题)

23.(2006年国际城市竞赛题)一辆汽车下坡的速度为72km/h,在平地上的速度为

63km/h,上坡的速度为56km/h.这辆汽车从A地到B地用了4个小时,而返程用了4小时40分钟,则AB两地距离多远?

24.(第12届江苏省竞赛题)甲、乙、丙三人共解出100道数学题,每人都解出了其中60道题,将其中只有1人解出的题叫做难题,3人都解出的题叫做容易题,问:难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?

ax+by=?16 x=8 25.(第2届香港华杯赛试题)已知方程组 的解应为 ,小 y=?10cx+20y=?224

明解题时把c抄错了,因此得到的解是

26.(2003年希望杯竞赛题)

27.(第20届全俄中学生数学竞赛题)求使得方程x2+ax+a=0有整数根的所有 整数a.

28.(第19届全俄中学生数学竞赛题)求方程19x+93y=4xy的所有自然数解.

29.(第25届全俄数学奥林匹克试题)30.(1999年全国初中联赛题)某班参加一次智力竞赛,共a,b,c三题,每题或者得满分,或者得0分,其中题a满分为20分,题b、题c满分分别为25分.竞赛结果: 每位学生至少答对了一题,三题全对的有1人,答对其中两x=12 ,求a2+b2+c2的值. y=?13

道题的有15人,答对题a的人数与答对题b的人数之和为29,答对题a的人数与答对题c的人数之和为25,答对题b的人数与答对题c的人数之和为20,问:这个班的平均成绩是多少?

31.(全国初中数学联赛题)某果品商店进行组合销售,甲种搭配:2kgA水果,4kgB 水果;乙种搭配:3kgA水果,8kgB水果,lkgC水果;丙种搭配:2kgA水果,6kgB

水果,lkgC水果.已知A水果每千克2元,B水果每千克1.2元,C水果每千克10 元,某天该商店销售这三种搭配水果共获利441.2元,其中A水果的销售额为116元,问:C水果的销售额为多少?

答案与解析

1.B 若x≥0,则|x|=3x+1?x=3x+1,解得x=?.所以x<0, 21?x=3x+1,解得x=?4,从而(64x2+48x+9)2005=[(8x+3)2]2005=(?2+3)4010=1.

2.C 当x=0时,y可取0,1,2,?,1999个值,相应可得出z,即有2000组解;当 x=1时,y可取0,1,2,?,1998个值,即有1999组解;??;当x=1999时,仅有y=0, z=0,即有1组解.故所有解的组数为1+2+?+2000=2001000组.

3.C 易见①,②,③,④,⑤成立,但⑥,⑦不成立,其实令x=0.5便知⑥,⑦不成立.

4.B

5.D 由aΔb=ab+[1+2+?+(b?1)]=ab+

(3x+3)Δ(2x)=(3x+3)(2x)+(2x?1)(2x)2(b?1)b21可知(xΔ3)Δ2x= =8x2+5x=13,(x?1)(8x+13)=

13130,解得x=1或?8.但x=?8使得2x不是正整数,与△运算的定义不符合,所以

x=1.

x+y=12 6.A 若x≥0,则 ,于是|y|?y=?6,显然不可能;若x<0,则 x+|y|=6

?x+y=12 ,于是|y|+y=18,解得y=9,进而求得x=?3.所以原方程组的解为 x+|y|=6

x=?3 ,只有1个解. y=9

7.A 当x>0时,原方程可化为x?=3,x1=4,x2=?1(舍);当x<0时,原 x4方程可化为?x?=?3,整理得x2?3x+4=0,Δ<0. x48.C 依题意得7x+9y≤100,有x=100?9y7因为x≥3,y≥3,所以100?9y7≥3,得 3≤y≤8.

当 y=3时, 3≤x≤10;当 y=4时, 3≤x≤9;当 y=5时, 3≤x≤7;当y=6时,即3≤x≤6;当y=7时,3≤x≤5;当y=8时,3≤x≤4. 故购买方式共有8+7+5+4 +3+2=29(种).

9.C 设x1=50+a(其中a表示A处X3向B处分流出来的机动车辆数),则由图

可 知

x2=(x1?20)+30=60+a,x3=(x2?35)+30=55+a.

10. 11. 108 设x?116=m2,x+100=n2(m,n为正整数),所以n2?m2=216.即 (n+m)(n?m)=216,显然n+m>???m,n+m与n-m只能同时为偶数,故n+m 的最大值为108.

12. 1983036 易知x,y,z≤1991,当x=1时, y+z=1992,这时共有1991个解; 当x=2时, y+z=1991,这时共有1990个解,??,当x=1991时y+z=2,这时有 1个解,所以1991+1990+?+1=

13.9 由已知可得a=2001?500b1431991×19922143=1983036. ,观察可得b=2,a=7 =13?3b+142?716

于是不定方程的解为a=7+500t,b=2?143t(t为整数).因为a,b是正整数,所以7+ 500t>0,2?143t>0,得?7500<??<2143,可知t=0,a=7,b=2,a+b=9.

14. 37 因为1≤a,b≤9,a,b为整数,且bbb=b?111=b×3×37.所以a?b.ab= b×3×37,所以a.?=3×37,故a=3,b=7,故所求两位数为37.

15. 10 题意相当于每个病毒过1分钟就变成了10个病毒,过两分钟变成了102个病毒,??,如此过n分钟就变成了10n个病毒,则有10n×0.01=108,解得n=10.所以人从感染第一个病毒后,经过10分钟,就会感到不适.

16.4.7 设练习本、圆珠笔、橡皮的单价分别为x元、y元和z元,依题意得

4x+y+10z=11 (x+y+z)+3(x+3z)=11 ,可化为 . 3x+y+7z=8.9(x+y+z)+2(x+3z)=89

a+3b=11 设x+y+z=a,x+32=b,则方程组即 .解得a=4.7.所以钱谦应 a+2b=8.9

付4.7元.

17. 102564 设“飞天” =x,“六号” =y,则题设算式可化为4×(10000y+100x+25)=25×(10000x+2500+y),化简得4×(400y+4x+1)=10000x+2500+y,1599y=9984x+2496,533y=3328x+832.两边约去13得41y=256x+

64,41y=64(4x+1),64与41互质,64整除y.故y=64,“号” =4?与题设符合,代入得41=4x+1,x=10.于是“飞天神舟六号” =102564.

18. 4012 由||x?2006|?1|+8=2006得||x?2006|?1|=1998?①

因为1?|x?2006|≤1<1998,所以由①得|x?2006|?1=1998.

即|x?2006|=1999?②

由②得x=2006+1999或2006?1999,即原方程有两个解,所有解的和是(2006+ 1999)+(2006?1999)=4012.

19.6 因为0<??+30<??+30<?<??+30<2,所以[a+30,[a+30],?,

[a+30]等于0或者1.由题设可知,其中有18个等于1,所以[a+30]=

[a+230291122912]=?=[a+1130]=0,[a+1230=[a+1330=?=[a+2930=1,所以0<

193a+30<1,1≤a+30<2.故18≤30a<19,于是6≤10a<1112所以[10a]=6.

1320.有三种可能: (1)x+5=0且3x+2≠0?x=?5;(2) 3x+2=1?x=?;(3)

3x+2=?1且x+5为偶数?x=?1.

21.设每张画片成本价为x元,书店积存了画片y张,依题意有xy=31.93.即y= 31.93x(y是整数, 0<??<0.51),y=103×0.31x?所以当x=0.31时, y=103.故书店

积存画片103张,每张成本价为0. 31元.

22. 23.分别用x,y,z72+63+56=4,56+63+72=xyzxyz143,

解得7x+8y+9z=4?7?8?9,9x+8y+7z=14?7?8?3.丙式相加约去16得x+ y+z=273.所以AB两地距离273km.

24.难题比容易题多20道,设共有难题x道,容易题y道,其余为正好两人解出的题为z道,由题意得 x+y+z=100?①

x+3y+2z=60×3?②

由①×2-②得x?y=20.故难比易的多20道.

x=8 所以 8a?10b=?16.解题时抄错c,因此得到 25.题示方程组的解为 y=?10,8c?200=?224

x=12,y=?13,所以12a?13b=?16成立.由三式易得a=3,b=4,c=?3.所以 a2+b2+c2=34.

26.设甲种昆虫有x只,乙种昆虫有y只,每只乙种昆虫有k只脚.依题意有 x+3y=26?①

40x+ky=298?②

由①可知x是被3除余2的自然数,即x可取2,5,8,11,14,?,由②可知40x<298, 即x≤7.所以x=2或5.当x=2时,y=8,而8不能整除298?40×2=218,不合 题意,舍去;当x=5时, y=7,而7k=298?40×5=98,所以k=14.故每只乙种昆 虫有14只脚.

27.设方程的2个则 x1+x2=?a,x1x2=a,所x1+x2+x1x2

= 整数根为 以

x+1=1 x1+1=?1 x0.即(x1+1)(x2+1)=1所以 1或 .解得 1x2+1=1x2+1=?1x2

以a=0或a=4.

28.原方程转化为(4y?19)(4x?93)=19×93=1×3×19×31,有因子±1,±3, ±19,±31,±3×19,土3×31,±19×31,±3×19×31.若4y - 19,为上述各值之一, 则4x-93也相应地被确定,原方程又转化为93y=(4y?19)x.由于x,y是自然数,易知 y≤4时方程无解, y≥5时y及4y -19均为自然数,因此4y -19可取前面8个正因子 之一,可以验证当4y?19=1,57,93,589时,相应的y=5,19,28,152,x=465,31,28, =0 x1或 =0x2=?2 所 =?2

24,共4组解.

29.由原方程组可得 ,则

xa+xb=29

30.设xa,xb,xc分别表示答对题a、题b、题c的人数,则有 xa+xc=25. 所以

xb+xc=20

xa+xb+xc=37.解得xa=17,xb=12,xc=8.答对1题的人数为37?1×3?2×15= 4,全班人数为1+4+15=20,故平均成绩为20[17×20+(12+8)×25]=42.

31.如下表所示,设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x,y,z套. 1

2(2x+3y+2z)=116,

则 (2×2+4×1.2)x+(3×2+8×1.2+1×10)y+

(2×2+6×1.2+1×10)z=441.2.

即 2x+3y+2z=58?① 22x+64y+53z=1103?②

由②一①×11得31(y+z)=465,.故y+z=15.

所以共卖出C水果15千克,C水果的销售额为15 × 10= 150(元).

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