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初中培优竞赛 第2讲有理数

发布时间:2014-07-11 09:24:53  

一、选择题

1.有以下两个串数:1,3,5,7,…,1993,1995,1997,1999和1,4, 7,10,13,…,1993,1996,1999,同时出现在这两个串数中的数共有( )

A.333个 B.334个 C.335个 D.336个

2.(3、4)(数学、初中数学竞赛、有理数、不等式、绝对值、完全平方式、选择题) 若有理数a,b,c满足??+??+??=0,??????=2,??>0,则( )

A.ab<0 B. a + b ≥2

C. a + b ≥4 D.0≤ a + b ≤1

分析:由题意,a+b= -c , 且ab>0 , ab= , 由于(a?b)+4ab=(a+b)2, 因为c22

(a?b)≥0,所以4ab≤(a+b)2。 ≤c2,c≥2,因为a、b同号, c28所以|a|+|b|=c≥2.

答案:B

技巧:本题关键在于运用完全平方式的非负性,从而建立不等式,再根据不等式性质解题。 易错点:在运用不等式性质的时候注意变号问题,容易出错。

3. (1)(数学、初中数学竞赛、有理数、选择题)

已知a=?1998×1998+1998,b=?1999×1999+1999,??=?2000×2000+2000,则abc的值等于( )

A.一1 B. 3 C. -3 D. 1

分析:因为??=?1998×1998+1998=?1998×(1998+1)=?1,同理可求???=?1,??=?1.所以??????=?1.

答案:A 1999×1999?19991999×(1999?1)1999×1999?19992000×2000?20002001×2001?2001技巧:观察分析,提公因式求解。

易错点:容易出现计算错误.

4. (3、4)(数学、初中数学竞赛、有理数、平方差公式、选择题)

1111乘积(1?2)(1?3?(1?1999)(1?2000 等于 ( )

A.1999200119992001 B. C. D.1111分析:观察发现,(1?2?3?(1?1999)(1?2000)可以用平方差公式展开,变形为:

1×2×3×3×4×4×?×2000 4000 . 2

答案:D .

技巧:观察分析,采用平方差公式进行式子变形,从而便于利用约分解题。

易错点:在式子变形和约分的时候要小心,该式的最后一项的确定,容易出错。

5.设a是有理数,用[??]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[?1]=?1,[0]=0,[?1.2]=?2,则在以下四个结论中,正确的是 ( )

A. a + ?a =0 B. a + ?a 等于0 或1

a + ?a 等于0或?1 C a + ?a ≠0 D.

6.将a=322,b=414,c=910,d=810由大到小的排列顺序是

A.a>??>??>?? ??.??>??>??>??

C.a>??>??>?? ??.??>??>??>??

E.c>??>??>?? F.c>??>??>??

二、填空题

7. (3、4)(数学、初中数学竞赛、有理数、幂、填空题) 3243520012001设??=350,??=440,??=530,则a,b,c中最大的 ,最小的是 分析:观察发现,本题只需比较35、44、53它们之间的大小即可。

答案:最大的是b,最小的是c.

技巧:本题关键在于将a、b、c进行变形,将指数10全部提出来,比较底数大小即可。 易错点:容易出现计算错误.

8. (4、5)(数学、初中数学竞赛、有理数、循环小数、填空题)

?2计算,结果表示为循环小数:(20.051198÷7= ?2.00 )÷7=(20.05 5 ?2.00 )÷7=18.0 ÷7=18.0 ÷ 5 5 5 50505分析:原式=(20.05

. 7=2.578643

. 答案:2.578643

技巧:将分数转化为循环小数来运算比较方便。

易错点:在进行小数转化的时候要注意,避免不必要的错误。

9.计算,结果表示为循环小数: (2 7/45-2.07 )÷14=

10. (4、5)(数学、初中数学竞赛、有理数、循环小数、填空题)

代数式|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是

分析:根据绝对值的几何意义可知,当??=2时, |??+1|+|???2|+?|???3|有最小值。

答案: 2+1 + 2?2 + 2?3 =3+1=4 .

技巧:根据绝对值的几何意义,要利用数型结合, 很容易就解决了。

易错点:数轴上对应的点应该是-1、2、3.不要弄错了。

11.计算: 2?22?23?24?25?26?27?28?29+210=

12.满足|5x+6|=6 x-5的x的值是

13.计算: (2+3+?+1997)(1+2+?+1996)?

1111 ?+1 = 1++?+++ 2199723199611111

14.(2006年江苏省竞赛题)※表示一种运算,??※.??=????+(??+1)(??+??),如果

2※1=则100※99= 3

316211.15.计算: {1?[

?(?0.25)2]×(?2)4)÷[3×(?)+5÷(?2)3]= 8316.若??=20062006?20052005,??=20052005?20042004,R=2005?2006,则P,Q,R的大小关系是 .(注:写出P,Q, R两两的大小关系)

17.计算: 1?2+326151122005200520042004200420042003200311?41920+5130?64142+7156?87172+9190=

18. 1+2+3+4+5+?+2005+2006

(1?)(1?(1?)(1??(1?)(1? =

19.一个圆周上依次放有1,2,3,…,20,共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余的两个号码的差的绝对值是 或

20.一个正方体上相对的两个面上的数字之和都等于-2,现将两个同样的正方体拼在一起,组成的几何体上看得见的五个面上的数字如图2-2所示,则看不见的七个面上的数字之和为

三、解答题

21. (3、4)(数学、初中数学竞赛、有理数、拆项法、解答题)

已知12×3+13×4+

114×5+?+199×1001=C,求c的值. 11分析:我们将2×3拆开发现,2×3=2?3 ,同理每一项都可以这么拆。

详解:C=2×3+3×4+4×5+?+99×100= 2?3+ 3?4+?+ 99?100=2?100=100? 技巧:对于式子n×(n+1)=n?n+1的拆项变形要熟练掌握,有助于解决这一类型的题。 易错点:拆分时容易出错。

22. (4、5)(数学、初中数学竞赛、有理数、拆项法、解答题)

如果|a?2|+(ab?2)=0,求ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+?+(a+2006)(b+2006)值 . 分析:根据非负性求a、b,a=2,b=1,代入后面的式子,再利用n×(n+1)=n?n+1进行变形计算求解。

1112111111111111111111149

详解:|a?2|+(ab?2)2=0?|a?2|=0且(ab?2)2=0?a=2,b=1 原式=

2007200811×2+12×3+13×4+?+12007×2008=(1?)+(?+(?+?+(223341111112007?12008=

111n+1技巧:对于式子n×(n+1)=?n的拆项变形要熟练掌握,有助于解决这一类型的题。

易错点:拆分时容易出错。

23. (4、5)(数学、初中数学竞赛、有理数、拆项法、解答题)

有理数a,b,c均不为零,且a+b+c=0,设x=

??19?99??+2000的值.

分析:由题意知,b+c=-a , a+c=-b , b+a=-c , 那么x就可以变形为|a|+|??|+|??|, 接下来进行?a??????|a|b+c+|??|??+??+|??|??+??试求代数式

讨论去绝对值求解.

详解:易知a,b,c中必有一正两负或两正一负.不妨设??>0,??<0,??<0.或??<0,??>0, c>0,所以x=b+c?a+c?a+b=?1+1+1=1或x=?b+c+a+c+a+b=

1?1?1=?1,所以当??=1时,, ??19?99??+2000=1?99+2000=1902.当??=?1 时, ??19?99??+2000=?1+99+2000=2098.

技巧:本题有两个关键处,第一是将x进行变形,第二步是对正负号的讨论,弄清楚这两点,本题就很简单了。

易错点:讨论的时候思路不清晰,就容易造成多讨论或漏掉可能情况,从而出错。

24.若a,b,c为整数,且|a?b19+|c?a|99=1,试求|?????|+|?????|+|?????|的值.

25.(1998年上海市竞赛题)某环形道路上顺次排列有四所中学:A1,A2,A3.A4它 们顺次有彩电15台,8台,5台,12台,为了使各校的彩电台数相同,允许一些中学 向相邻学校调出彩电,问:怎样调配才能使调出的彩电总台数最少?并求出调出 彩电的最小总台数. abcabc

26.(第2届香港华赛试题)甲、乙、丙三人以不变的速度从A地向B地出发.已知乙

比丙迟了10分钟出发,出发后20分钟乙追上丙;甲比乙迟了10分钟出发,出发 后30分钟甲追上乙.问:甲出发后多久便可追上丙?

答案与解析

1.B 19 97÷2÷3的整数为333.而这两串数中除第一个数外,后面每三个数就有一 个数相同,所以333+1=334.

2.B 因为a+b+c=0,所以a+b=?c?①又因为??????=2,??>0,所以a与b 同时为负且只能是-1,所以??=2.由①可知|a+b|=|?c|=2,易知 a + b ≥ ??+?? =2.

3.A 因为??=???????=?1. 4.D 因为1?1?19992=

4×651

122

1999×1999?19991998×1998+1998

=?

1999×(1999?1)1998×(1998+1)

=?1,同理可求???=?1,??=?1.所以

=

322

,1?

1

132

.=

4×232

,1?

142

=

3×542

,1?

1523

=

4×6524×232

?,?, ×

3×542

1998×200019992

,1?20002=

1999×200120001999×200120002

,所以原式=22×

×

×?×

1998×20001999×

2001

=4000?

5.D 不妨设a≥0.在a为整数时, [a]+[?a]=a+(?a)=0..在a不为整数时, [a]+[-a]=[a]+(一[a]一1)=-1.

6.A 由已知可得??>??,??>??,这样选项中B错(??>??),C错(??>??),D错E (??>??), E错(??>??),F错(c>??).

7.b,c 因为350=(35)10=24310,440=(44)10=25610,530=(5.3)10=12510,又 25610>24310>12510,所以410>350>530,即??>??>??.

78643 ?2.00 )÷7=(20.05 5 ?2.00 )÷7=18.0 ÷7= 、原式=(20.05 5 5 58.2.5

÷7=2.578643 50505 . 18.0

原式= (7?0.07 )÷14=(1?0.01)÷2=(1?1)÷2=1÷2= 9.0.005

4545459090

1180

.

.另解:原式=(2.15 ?2.07 . )÷14=0.07 ÷14=0.01÷2=0.005=0.005

10.4 根据绝对值的几何意义可知,当??=2时, |??+1|+|???2|+?|???3|有 最小值,即|2+1|+|2?2|+|2?3|=3+1=4.

11.6 因为2′??+1?2??=2??(2?1)=2??,所以210?29=29,29??28=28,?, 23?22=22,22+2=6,故原式=6.

12. 11 因为当5??+6≥0时, ??≥?5所以|5??+6|=5??+6,所以5??+6= 6???5.所以??=11.当5x+6<0时, ??<?5|5??+6|=?5???6,所以

1?5???6=6???5,所以x=?.综上所述, ??=11. 116613. 11997

1=[(1+++?+231111119971?1](1+++?+231111996 ?(1+2+?+1997+2+?+1996)?1]

=?(1+2+3+?+1996)+(1+2+?+1997

1=1997?

211111111114.

23因为x※y =xy+(x+1)(y+a),所以2※1 =1×2+(2+1)(1+a)= 99991100×99.解得a =1.所以100※99 =

431+1101×10095=29999? 715. 7 原式={1?[16?(4)2]×24}÷[?8?8]=[1?(3?1)]÷(?4)

74=(?1)÷(?)=? 16. p=R<??注意到????????????????=????????×1001,可知??=

1111200420032()2006?12()()42005= (1?2006)?(1?2005=2005?2006=R,Q=2005?2004=(I?2005)?

(1?12004)=12004?12005=2005?20042004×2005=12004×2005>??.所以P,Q,R的大小关系

是P=R<??.

95194171111111117. 110原式=5?6?20?42?72+2+12+30+56+90=1+2+6+

+20+30+42+56+72+90=1+2+(2?3)+(3?4+(4?5)+ 1211111111111111

(?)+(?)+(?+(?)+(?

5

6

6

7

7

8

8

9

9

111111111110

)=2?

11006

110

=1

9101

? =

10031004

18. 4026042 (1?

1005

11004

)(1?

11005

?)?..(1?

2006

×

10041005

×

200510031

×?×==原式=2(1+2+3+.?+2006)=2007×2006= 1006200620062

4026042.

19.8,12 共需拿掉3次.以最小的为首,以最大的为尾.若不考虑首尾之间,则第 一、二、三次拿掉后,相邻两数差的绝对值分别是2,4,8.若考虑首尾之间,则每次首与尾 必拿掉其中一个,则第一、二、三次拿掉后,首尾两数差的绝对值分别是18,16,12.所以绝 对值为8或12.

20. - 27 每个正六方体六个面的数字之和为-6,所以12个面上的数字之和为 - 12,看得见的五个面上的数字之和为15,所以看不见的七个面上的数字之和为-27

111111114921. ??=(2?3)+(3?4)+?+(99?100=2?100=100?

22. |a?2|+(ab?2)2=0?|a?2|=0且(ab?2)2=0?a=2,b=1 原式=1×2+2×3+3×4+?+2007×2008

11111112007

=(1?)+(?)+(?)+?+(?)=?

23.易知a,b,c中必有一正两负或两正一负.不妨设??>0,?<0,??<0.或??<0,??>0, c>0,所以x=

ab+c

1

1

1

1

?

ba+c

?

ca+b

=?1+1+1=1或x=?

ab+c

+

ba+c

+

ca+b

=

1?1?1=?1,所以当??=1时,, ??19?99??+2000=1?99+2000=1902.当??=?1 时, ??19?99??+2000=?1+99+2000=2098.

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