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初中培优竞赛 第6讲 根式

发布时间:2014-07-11 09:24:56  

1. (1、2) (数学、初中竞赛、根式、选择题)

要使分式有意义,则x的取值范围是 ( )

A.x>4 ??.x≥ 且x≠5

C.x>4且x≠5 D.4<x <5

分析:据题意应有??2≥7,??>4,2?|???3|≠0.解得??>4且??≠5.

答案:C

2. (1、2) (数学、初中竞赛、根式、选择题)

已知 ? =2,则 + 值为 ( )

A.3 B. 4 C. 5 D. 6

分析:因为( ? 15?x + =(25?x2)?(15???2)=10, 所以 25?x+ =

答案:C

技巧:我们利用平方差公式,可以简便解题,而不用去求出x的值.

3. (1、2) (数学、初中竞赛、根式、选择题)

102=5. ( )

A.无理数 B.真分数 C.奇数 D.偶数

分析:我们观察根号下又出现根号,那么我们就想办法把第一个根号下做成完全平方式化简. 详解:原式=4+ (5 23? (5 4)2==?14

技巧:根式下的化简,可以利用完全平方公式,进行化简.

4. (2、3) (数学、初中竞赛、根式、填空题)

-2006= .

分析:我们观察题目,都是相临的数字,我们可以把其中的一个数设为未知数,把原式化为代数式进行化简.

详解:设2006=a, 2

则原式= a?1 a a+1 a+2 +1?a2

= a?a2

= a?a2

= a2+a?1 ?a2

=a-1=2005

技巧:对于比较复杂的根式的计算,我们可以设未知数化简.

5. (2、3) (数学、初中竞赛、根式、填空题)

已知a=a4?5a3+6a2

( ?1)2

3?1?5a+4=详解:a==4?2 2=2? ,所以(a?2)2=3,得到a2?4a+1=0,

原式: ??4?5a3+6a2?5a+4

= a2?4a+1 a2?a+1 +3

=3.

技巧:我们化简原式,再根据已知条件比较,易解.

6. (2、3) (数学、初中竞赛、根式、填空题)

设x=a是x的小数部分,b是-x的小数部分,则a3+b3+3ab= 分析:先简化x,再根据小数的性质,得到a、b,化简原式,即可得.

详解:由于x== +1,且2< +1<3,则a=x?2= ?1.又 ?x=

? ?1,且?3<? ?1<?2,则b=?x? ?3 =2? 所以a+b=1. 因此a3+b3+3ab=(a+b)?(a2?ab+b2)+3ab=a2+2ab+b2=(a+b)2=1. 技巧:利用因式分解,可以化简题目,是过程更加简单.

易错点:容易把负数的小数部分弄错,如:-1.2的小数部分是-1.2-(-2)=0.8.而不是由-1.2=-1+-(-0.2)得到的-0.2.

7. (2、3) (数学、初中竞赛、根式、解答题)

设x=1? 2,y=1+ x2?y22(22

x2?y22)2+xy的值 (x+y)2(x?y)24分析:知道x、y,化简原式得知(

xy此题得解.

详解:因为x=1? 2+xy=+xy,只要知道x+y 、x?y、,y=1+ , 2

1?( ? 24所以x+y=1,x?y= ? ,xy=

所以(

答:(x2?y22)2 4+xy=(x+y)2(x?y)2414 +xy=( ? 24+1?( 2=4? 1x2?y222+xy的值为技巧:已知x、y,我们观察原式,发现原式化简后的几个因式更好计算,所以不必把原式全部分解开.

8. (2、3) (数学、初中竞赛、根式、解答题)

求代数式+.

分析:观察得知原式中两项相乘可以简化,两项的平方也可以简化.原式大于0,我们不妨先求出原式的平方,再开方即得解.

详解:设 x=则 x>0.

所以x2=8+ +2?8? =16+2=18.

所以x=3 即原式=3

技巧:巧用平方和公式,可以简便运算.

9. (2、3) (数学、初中竞赛、根式、解答题)

计算+.

分析:我们在两个根式下配元,行程两个平方和,化简即可求解.

详解:原式= 22=4+4=2 +1 +

= ?21

技巧:巧用平方和公式,可以简便运算.

下列各式的结果中最小的是 ( )

A. ?1 B.2? ? D.0.8

2.(第17届五羊杯竞赛题)方3333=2的解是

A. 8.(第8届五羊杯竞赛题) 10.(第17届希望杯竞赛题)设??>0, ? =??,则 + =(用m表示).

11.(第17届希望杯竞赛题)=

12. (2007年浙江省竞赛题)若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是

13.(第16届希望杯数学竞赛培训题)已知a>0,??>0,且(a?b+ (2a+

3b+ =1:2,那么b:a=

14.(2007年全国初中数学联赛题) 三、解答题

15.(2006年全国初中数学竞赛题)某同学在计算(???2

??+2+4?????2

??2?4)÷4??2??2?4

中x=? 时,把“ ??=? 错抄成“ ??= ,但他的计算结果仍

是正确的,请你说明这是为什么?

16.(第8届希望杯竞赛题)求(? + + + ? ? + +

+ 的值.

17.(第4届希望杯竞赛题)如果x+y=x?y=xy

18.(1996年四川省联赛题)计算+.

19.(第九届希望杯竞赛题)求代数式. 20.(2000年全国初中数学联赛题)计算.

21.(第11届希望杯竞赛题)当1≤x≤2时,化简1122.(1989年北京市竞赛题)已知x=2( + ,y=2( ? ,求??2?????+

y2的值.

23.(1999年黄冈市竞赛题)已知??=??=33a+b?4的值.

24.(第5届希望杯竞赛题)25.(1994年江苏省竞赛题)化简: 1(a?3) ?

26.(1995年昆明市竞赛题)若a,b,c是△ABC的三边,化简:

+ + + .

27.(2000年江苏省竞赛题)三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形 式,又可分别表示为0, b,b的形式,求??2000+??2001的值.

答案与解析

1.C 因为 ≈1.26, ≈1.44, ≈1.91, ≈2.08,所以选项中最小的是 ?

2.A 用视察法可知x= 符合原方程.显然原方程是一元一次方程,只有唯一的 解,从而??=

3.C 据题意应有??2≥7,??>4,2?|???3|≠0.解得??>4且??≠5.

4.A 易见A1= = = =n+1,A2= = = =??+3同理, ??3= =??+5,??4=??+7,?,????=??+

2???1.现在有??100=2005,即??+2×100?1=2005???=2006?200=1806.

5.C 因为( ? + =(25?x2)?(15?

??2)=10,所以 + =

6.D原式=4+ (5 210233333a=5. 3? (5 4)2==?14.

7. 2005 设2006=a,

则原式= a?1 a a+1 a+2 +1?a2= a?a2=

?a2= a2+a?1 ?a2=a-1=2005 a=( 1)23?1=4?2 2=2? (a?2)2=3,a2?4a+1=0,故??4?5a3+6a2?5a+4=

(a2?4a+1)(a2?a+1)+3=3.

9. 2+ 因为a≥3,所以a?2≥1, ≥1.又因为??≥3,所以??+1≥4, ≥2同理|c≥3, ≥ 所以|1? = ?1≥ ?1.所以 + +|1? ≥1+2+ ?1=2+ 故所求的最小值是2+ 10.m于 ? =4=

m=?又m>0.则 + =

?4??? 11.? ==1

1

2=? ??>0m=1

25= =5m,m=25m2.即m(25m?1)=0.所以 ?所以b:a=1:25.

14.1 由于x== +1,且2< +1<3,则a=x?2= ?1.又 ?x=

? ?1,且?3<? ?1<?2,则b=?x?(?3)=2? 所以a+b=1.因此 a3+b3+3ab=(a+b)?(a2?ab+b2)+3ab=a2+2ab+b2=(a+b)2=1. 15.由于原式可化简为??当x=± 是正确的.

16.原式=[ ?( ? +( ? + ? + + = [( ?( ? 2] [( + 2? ]=(-4+2 (4+2 =(2 2-16=24

17.因为(x+y)2?(x?y)2=4xy, 所以xy=[(x+y)2?(x?y)2]=[(7 ?5 ?(7 ?5 = 12 ?12 =4443 ?3 18.原式=

19.

20.设??=则x>0.

所以??2=14+6 ?214?6 =28?2 = 28?8=20.所以x=2 即原式=2 21.原式= ( 2+2 +1 ? ( 2?2 +1 = ( +1)2? ( ?1)2= +1 ? ?1

因为1≤x≤2,所以0≤x?1≤1.所以0≤ ≤1.

所以原式=( +1)?(1? =2 22.因为x=2( + ,y=2( ? ,所以x+y= xy=1. 114+2 21111 4?2 = 2( + 2( 1) +1 + ?1 = 2442222

所以x2?xy+y2=(x+y)2?3xy=( 2?3=4.

23.因为a=b=a+b=4,ab=1.

所以a3+b3?4=(a+b)(a2?ab+b2)?4=(a+b)[ a+b)2?3ab ?4=4 16?3 ?4=48

24.

25.解法一:因为3?a>0,所以原式=(a?3) (3?a)=?

解法二:因为3?a>0,所以a?3<0.

所以原式=?(3?a) 1

3?a3?a=? (3?a)2

3?a=?

26.因为a,b,c是△ABC的三边,所以a+b+c>0,???b?c<0,???c?a<0, ????????<0.故原式=a+b+c+b+c?a+c+a?b+a+b?c=2(a+b+c).

27.由题意可知a+b与a中有一个为0, bb中有一个为1.若;b=1,则a=b,

与题中三个数互不相等不相符合.若??=1,则三个数可表示为1,a十1,a或0,a,1.所以

a+1=0,a=?1,从而??2000+??2001=2.

aa

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