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初中培优竞赛 第5讲 分式

发布时间:2014-07-11 09:24:57  

第5讲 分 式

一、选择题

1.(2、3)(数学、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换)

已知a2?3a+1=0,则4 a2?9a?2+9

1+a2的值为( )

A . 3 B.5 C. 3 D. 6 解析:显然a≠0,由题设得a+=3,所求式子=4 a2?3a +3a?2+a193a=?4+3×3?2=3.

答案:A .

技巧:通过对题设等式的整体变形,能整体求值的就整体求值代换,这样能简化运算,达到快捷解题的目的。

易错点:代换过程中容易变形失误而致错。

2. (3、4)(数学、初中数学竞赛、选择题、分式)

若4x?3y?6z=0,x+2y?7z=0(xyz≠0),则代数式5x2+2y2?z2

2x?3y?10z( )

A. ?2B. ?2C.-15 D.-13

4x?3y=6z 解析:由题意得 ,解得 x+2y=7zx=3z222222 ,代人5x+2y?z得5×9z+2×4z?z=2x?3y?10z2×9z?3×4z?10zy=2z119?13.

答案:D.

技巧:将三元化为一元,然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧。

易错点:这类题型在换元的时候容易计算错误。

3. (3、4)(数学、初中数学竞赛、选择题、分式)

已知x,y,,z满足

132x=3y?z12=5z+x,则125x?yy+2z 的值为( ) A.1 B. C.? D. 解析:由

以5x?yy+2z2x=3y?z=5z+x得2(??+??)=5??,2(?????)=3??,解之得??=3??,??=??. 所23=5x?3x3x+3x=? 31答案:B.

技巧:将三元化为一元,然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧。

易错点:这类题型在换元的时候容易计算错误。

二、填空题

4. (3、4)(数学、初中数学竞赛、填空题、分式)

方程16+=有 组正整数解. xy11解析:由原方程可得y==6?x+6? 又因为y是正整数,所以??+6=9,12,18,36,x+66x36得??=3,6,12,30,都是正整数. 故原方程共有4组解.

答案:4.

技巧:将一个未知数用另一个未知数表示出来,再根据题设的限制条件(正整数解)来分析可能的正确解。

易错点:这类题型在分析可能解的时候,容易漏解。

5. (2、3)(数学、初中数学竞赛、填空题、分式)

已知a?1a=1,则a8+a= 。 1

111解析:三次求平方可得:a2+a=3,a4+a=7,a8+a=47.

答案:47.

1

技巧: a± =a2+2±2,由这一等式,可以根据一个数与其倒数的和很快捷地求出

a

a

12

这个数与其倒数的平方和。

1

易错点:运用等式 a±=a2+2±2的时候,容易掉了等式后面的±2而致错。

a

a

12

6. (3、4)(数学、初中数学竞赛、填空题、整体代换、分式)

已知??是方程x+x?4=0的根,则

2

14

2

1

??3?1??+????????=

2

14

解析:由已知??是方程x+x?=0的根,可得??+??=?所以

(???1)(??2+??+1)??3(??2+??)???(??2+??)

(???1)(??2+??+1)(??3???)(??2+??)

(???1)(??2+??+1)(???1)(??2+??)(??2+??)

??3?1??+????????=

===

1

×=20.

答案:20.

技巧:整体代换需要找出联系题设与所求式子中的相同的整体,适当的变形或分解因式约分之后进行代换,可以使得运算快捷简便。

易错点:在分解因式和约分时容易分解或约分不当而致错。

三、解答题

7、(3、4)(数学、初中数学竞赛、解答题、分式)

计算:

199319922

199319912+199319932?2

.

分析:分子分母中的数字都比较大,这时观察式子特点,可以发现19931992与19931991和19931993之间都是相差1,由此入手,可以用更加快捷的方法计算出结果。 详解:设a=19931992,则原式=

a2

(a?1)+(a+1)?2

=

a2

a?2a+1+a+2a+1?2

=?

2

1

技巧:当数式中出现的数字比较大时,可以考虑用一个简单的字母将其代换再进行运算,往往可以化繁为简。

易错点:代换时容易遗漏关键部分而致错。

8、(3、4)(数学、初中数学竞赛、解答题、分式)

1???1?若 9??????1=23x的值.

分析:题设所给的等式左边可以化简,故可先把左边化为最简形式再来求x值. 详解:将繁分式的分子、分母分别乘以???1,得原式左边=3(??2+??+1)?(???1)2

?9??1=??2+??+1???2+2???1

?9??2

12=3???9??2=?13??? 所以?13??=,所以??=?2? 32经检验,??=? 符合题意.

答:x值为? 21技巧:先化简,再求值,是这类题的一般思路。

易错点:由于分式的分母不能等于0,故分式在约分得出结果之后,一般要对分母是否等于0作出检验,以免出现增根或错解。

9、(3、4)(数学、初中数学竞赛、解答题、分式)

已知a2+a3+a4

a1=a1+a3+a4a2=a1+a2+a4a3=a1+a2+a3a4 = k,求k的值.

分析:将题设所给的等式化为四个等式之后,再观察式子特点,就会发现求和可以打开思路。 详解:由条件可得,a2+a3+a4=ka1,a1+a3+a4=ka2,a1+a2+a4=ka3,a1+a2+a3=ka4.四式相加得3 a1+a2+a3+a4 =k a1+a2+a3+a4 ,所以(k?3)(??1+??2+a3+a4)=0.所以k=3或a1+a2+a3+a4=0. 当a1+a2+a3+a4=0时,a2+a3+a4=?a1?则k=a+a+a=?1. 综上可知k=3 或k=-1. 1

答:k的值为3或-1.

技巧:对于这种连等的比例型问题,一般可以设出比例系数,把比例式转化为几个等式再来求解。

易错点:在等式的转化和求解过程中容易忽视分母不能为0的这一潜在规定。

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