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初中培优竞赛 第13讲 函数与最值

发布时间:2014-07-11 09:24:58  

1. (1、2) (数学、初中竞赛、函数与最值、选择题)

多项式x2?x+1的最小值是 ( )

513A.1 B. C. D. 分析:x2?x+1=(x?22+4?

详解:D

技巧:求最值的方法之一,即为把原式的未知数转化成完全平方的形式.

易错点:此题容易把最小值当成是x=0时的情况

2. (1、2) (数学、初中竞赛、函数与最值、选择题)

在Rt△ABC中,斜边c=10,两直角边a≤8,b≥8,则a+b的最大值是 ( )

A.10 14 C.8 16

分析:依题意得a2+b2=100.于是 a+b 2=a2+b2+2ab=100+2ab.

故只需求ab的最大值.

设m=a2b2=b2 100?b2 =?b4+100b2=2500? b2?50 2,

而64≤b2<100,则当b2=64,即b=8时,

mmax=64×36.因此(ab)max=8×6=48.所以

(a+b)max= =14.

详解:B

技巧:利用勾股定理结合平方和公式,可简便解题.

3. (2、3) (数学、初中竞赛、函数与最值、选择题)

设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y=(a?2)x2?cx?a?2x=1时取最小值?5b,则△ABC是 ( )

A.等腰三角形 B.锐角三角形 bb813

C.钝角三角形 D.直角三角形

2a?b>0 ?c

b+c=2a?=1, 即 , 32(a?)分析:由题意可得2c=b 5bb8

a??c?a?=?b 225

所以c=5b,a=5b,

因此有a2+c2=b2,从而可知△ABC是直角三角形. 详解:D

技巧:根据二次函数的定义和二次函数的最值解题,形如f x = ax2+bx+c(a≠0)的函数叫一元二次函数,当x=?2ab

4ac?b24a

3

4

.

易错点:二次函数的二次项的系数不能为0

4. (2、3) (数学、初中竞赛、函数与最值、填空题)

已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=6,则a的最大值为______ . 分析:c=?(a+b),则a2+b2+[?(a+b)]2=6,即b2+ab+a2?3=0,

我们把b当作未知数,那么在一元二次方程b2+ab+a2?3=0,存在实数解, 从而Δ=a2?4 a2?3 =?12a2+48≥0,?2≤a≤2.所以a的最大值为2. 详解:2

技巧:有时候用一元二次方程的判别式来分析题目,会有意想不到的收获.

5. (4、5) (数学、初中竞赛、函数与最值、填空题) 函数f(x)= x+ 的最小值是______ . 分析: 如图所示:AB=4,AC⊥AB,DB⊥AB,

D

AC=1,BD=2,设OA=x,则OC= ,OD= 即在

C1

AE1

2B

1F

AB上求一点O,使OC+OD最小,设E为C关于AB的对称点, OC+OD=OE+OD, 根据两点之间直线最短,所以最短的距离就为DE,

做矩形ABFE,那么EF=AB=4,DF=BF+BD=3 ,根据勾股定理DE= 即最小值为5

详解:5

技巧:解此类函数题,我们可以作图,根据数形结合解决问题.

易错点:在数形结合中,根据题意做两点间的距离,记得先做对应点.

6. (3、4) (数学、初中竞赛、函数与最值、填空题)

设a,b是正整数,满足???????+3??=63.,那么??+2??的最小值______.

分析:???????+3??=63?(??+3)(???1)=60,(??+3)(2???2)=120.要求??+2??的最小值,可先求(??+3)+(2???2)的最小值,此最小值出现在??+3和2???2的差的绝对值最小的时候.

??+3=10 ??+3=12 也就是: 或 的情形, 2???2=122???2=10

??=7 ??=9 解得 或 ?.都可推得??+2??=21,这就是所求的最小值. ??=7??=6

详解:21

技巧:补证:已知????=??为固定的正数, ??,??>0,则x,y的差的绝对值越小, ??+??就越小,这是因为(??+??)2=(?????)2+4????=|?????|2+4??

易错点:需要看清题意,a,b是正整数.

7. (3、4) (数学、初中竞赛、函数与最值、解答题)

2设??1,??2是方程2??2?4????+2??2+3???2=0的两个实根,当m为何值时, ??21+??2有最小

值,并求这个最小值.

分析:我们知道方程有2个实根,那么方程的判别式就大于0;利用韦达定理,我们可以将

2所求式用m来表示;在m的取值范围内,讨论??21+??2的最小值.

详解:因为原方程有两个实根,所以?= ?4m 2?4×2× 2m2+3m?2 ?0

解得:m?; 根据韦达定理x1+x2=2m,x1x2=3

2 (x1+x2)2=??21+??2+2x1x2

222 =??21+??2+2m+3m?2=4m

222 所以 ??21+??2=2m?3m+2=2(m?4)+82 因为当m<4??21+??2随着m的增大而减小,故m?3m=3时,有

2 (??21+??2)min= 9

2答:当m为时, ??21+??2有最小值,最小值为 . 39 2 883223722m2+3m?23

技巧:利用二次函数的单调性,来求最大或最小值.

易错点:不能直接求出解析式后即讨论最小值而不讨论m的取值范围,需要在m取值范围上求原式的最小值.

8. (4、5) (数学、初中竞赛、函数与最值、解答题)

已知二次函数??=(??2???+1)??2+????+6??的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),

3 其顶点横坐标为2,设??=??31+??2.11

(1)试用a把t表示出来;

(2)问:当实数a取何值时,t取最小值,最小值是多少?

分析:

详解:(1)二次函数的顶点横坐标为 –

bb2(??2???+1)??6=,所以b=?(??2???+1) 21根据韦达定理??1+??2=–(?????+1)=1,??1??2=

3 ??=??31+??2 ?????+1=6(?????+1) ??

= ??1+??2 3?3??1??2 ??1+??2

=1?3??1??2

=1?3??? 2??2?3??+2 =(2)将??=2??2?3??+2

2???2??+2变形得2(???1)??2+(3?2??)??+2(???1)=0.显然,

当??=1, ??=0时,

当??≠1时,有??= 3?2?? 2?4×2 ???1 ×2 ???1 ≥0

即12??2?20??+7≤0,.2≤??≤6?

综上所述, ????????=??=1时取得. 2117技巧:熟练的运用二次函数的顶点坐标和韦达定理,然后根据函数的单调性判定函数的最值. 易错点:第二问中,我们需要讨论方程一是否是一元二次方程.如果是一元二次方程,才可用判别式来判定解题.

9. (4、5) (数学、初中竞赛、函数与最值、解答题)

已知x,y,z为实数,且??+??+z=5,xy+xz+yz=3,试求z的最大值与最小值.

分析:我们化简已知条件,发现能把x+y和????用z来表示,那么可以联想韦达定理,列出新的方程,新方程的系数都可以用z来表示,那么我们已知方程存在实数根x,y.根据判别式即可求z的取值范围,得解.

详解:因为??+??=5???,????=3??? ??+?? =3??? 5??? =??2?5??+3,

所以??,y是关t的方程??2?(5???)??+??2?5??+3=0的两实根.

??=(5???)2?4(??2?5??+3)≥0,

即3??2?10???13≤0,(3???13)(??+1)≤0,

解得?1≤??≤133,

,最小值为-1. 故z的最大值为

答:z的最大值为133133,最小值为-1.

技巧:利用韦达定理,列新的方程解题,是非常巧妙的一种方法.

易错点:解不等式时,要仔细认真,不能再最后一步出错.

5.(第19届江苏省初中数学竞赛题)如果a,b,c,d都不是为0的整数,且a+b= 111,b+C=d,c+d=a,那么a+b+c+d的最小值为 ( ) c

B.?2

存在

1151111111111A.-5 5C.?6D.不6.(第19届江苏省初中数学竞赛题)已知m是小于1的正数, a=1?m,b=m?1,

c=m?1m, d=1m?m,那么 ( )

A .c<d<a<b B .b<??<d<a

C .c<??<??<?? D .a<??<??<??

7.(1999年全国初中数学竞赛题)如果抛物线y=x2?(k?1)x?k?1与x轴的交点为A,B,顶点为C,那么△ABC的面积的最小值是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

9.(第17届江苏省竞赛题)已知实数a,b,c满足??+??+??=0,??2+??2+??2=6,则a的最大值为______ .

10.(1995年全国竞赛题)设x为正实数,则函数??=??2???+??______ 1 1.(四川省竞赛题)函数??(??)=+ ______ .

12.(第17届五羊杯竞赛题)

13.(2007年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛题)函数

当??=______时,y有最小值,最小值等于______ .

14.(2003年北京市数学竞赛题)已知a,b,c是非负实数,并且满足3??+2??+??=5, 2??+???3??=1.设??=3??+???7??,若x为m的最小值,y为m的最大值,则 ????=______?

15.(2003年绍兴市竞赛题)某种产品的年产量不超过1000吨,该产品的年产量(单

位:吨)与费用(单位:万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分 (见图13 -2);该产品的年销售量(单位:吨)与销售单价(单位:万元/吨)之间函 数的图象是线段(见图13 -3).若生产出的产品都能在当年销售完,则年产量是

______吨时,所获毛利润最大(毛利润=销售额?费用). 1

16.(1998年全国初中数学联赛题)设平方数??2是11个连续整数的平方和,则y的最小值为______ .

17.(2000年全国初中数学联赛题)已知a,b为正数,抛物线??=??2+????+2??和??= ??2+2????+??都与x轴有公共点,则??2+??2的最小值是 ,

三、解答题

18.(第16届江苏省竞赛题)19.(2000年全国初中数学竞赛题)设正△ABC的边长为2,M是AB边上的中点,点P 是BC边上的任一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为S和t,求??2???2的值.

20.(2001年苏州市竞赛题)已知一张三角形纸片ABC,面积为25,BC边的长为10,

角B和角C都为锐角,M为AB边上的一动点(M与点A,B不重合),过点M作MN∥BC交AC于点N,高????=??,如图13 -4所示:

(1)用x表示△AMN的面积S△AMN;

(2)将△AMN沿MN折叠,使△AMN紧贴四边形

BCNM(边AM,AN落在四边形BCNM所在平面内).设

点A落在平面BCNM内的点为A',△A'NM与四边形BCNM

重叠部分面积为y,①试求出y关于x的函数关系式,

并写出自变量x的取值范围;②当x为何值时重叠部分的

面积最大,最大值为多少?

21.(1997年荆州市初中数学竞赛题)

22.(第10届加拿大中学生竞赛题)

23.(1993年太原市初中数学竞赛题)求二次函数??=??2+????+??(?3≤??≤?1)的 最大值与最小值.

24.(2006年沈阳市中考题)某企业信息部进行市场调研发现:

信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)

之间存在正比例函数关系: ????=????,并且当投资5万元时,可获利润2万元; 信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB万元)与投资金额x(万元) 之间存在二次函数关系: ????=????2+????,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元; 当投资4万元时,可获利润3.2万元.

(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;

(2)如果企业同时对A,B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利

润的投资方案,并求出此方案能获得的最大利润.

25.(2007年数学周报杯竞赛题)已知抛物线??1:.??=???2?3??+4和抛物线??2:??= ??2?3???4相交于A,B两点.点P在抛物线Cl上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线C2上,也位于点A和点B之间.

(1)求线段AB的长;

(2)当PQ∥y轴时,求PQ长度的最大值,

答案与解析

131.D ??2???+1=(???22+4?

2.B

3.B 注意到a可正可负,排除A;b可为0,也可不为0,排除D;当??2?4????不为正数时,其图象与x轴没有2个交点,排除C.

2?????>0 ?????+??=2???=1, ,所以??=3??,??=4??,得32(???4.D 由题意可得即 2??=??55 5????8 ???2???????2=?5??

??2+??2=??2,从而可知△ABC是直角三角形.

5.C 由题中三个式子相加得+++=++,即 +=0,所 ??????????????????122111121以??=?.从而代人已知式子中,得??=?,??=???.要使a,c,d都是整数,b应是2,3 23????的公倍数.由+++=?,要使?尽可能大,从而b应 ??????????????1111555取2,3的最小公倍数6(此时???=?2,??=?3,??=?6).

6.C 由??=?????=?(?????)=???,0<??<1?可知??=?????<1?1=

0,??>0,从而可知??>??.由??=1???=?(???1)=???,??=???1>1?1=0可 知??<0,??>??.考虑??=?????与??=???1之差,有?????=(?????)?(???1)= 1111111111

1???>1?1=0,可知??>??,得???<???,即??<??.于是??<??<0<??<??.

7.A 因为??=(???1)2+4(??+1)=??2+2??+5=(??+1)2+4>0,所以对于 任意的k值,抛物线与x轴总有2个交点,设抛物线与x轴的交点的横坐标为??1,??2,则|????|=|??1???2|= 1212=又因为抛物线的顶点坐标 为??(

18???12,???2+2??+54,所以??????????=2?1??2+2??+54|= .又因为??2+2??+5=(??+1)2+4≥4,当??=?1时等号成立,所以

1??????????≥8 =1.

8.3 5??2+4??2?8????+2??+4=4(??2?2????+??2)+(??2+2??+1)+3=4<??? ??)2+(??+1)2+3.故当??=?1,??=?1时代数式取最小值3.

9.2 ??=?(??+??),则??2+??2+[?(??+??)]2=6,即??2+????+??2?3=0.,从而??= ??2?4(??2?3)≥0,?2≤??≤2.

10.1 ??=??2???+??=??2?2??+1+??+???1=(???1)2+(??+???1,因 111为??+??≥2 ??.??=2,所以??=1时, ??+??2, (???1)2恰取最小值0,故· 111??=1时,y有最小值1.

11.5 如图1-6所示, ????=4,????⊥????,????⊥????,

????=1,????=2,设????=??,则(??= ????= ,即在AB上求一点O,使OC+OD最小,设E 为C关于AB的对称点, ????+????=????+????=????,????= ????=4,????=3.

12. 21

13.一2,2 当??≤?3时, ??=?3???6;当?3<??≤?2时, ??=???;当?2<??≤ ?1时, ??=??+4;当??>?1时, ??=3??+6;所以当??=?2时,y的值最小,最小值为2. 本题通常用数轴上点的绝对值表示法来解决,还可以用分类讨论法解决. 14. 577由题意得3??+2??=5???,4??+2??=2+6??,得??=7???3,??=7?11??.由

37711a,b,c为非负实数得≤??≤

15?11故????=77? ?≤??=3???2≤?75111?于是??=?,??= 7515. 750 由图13 -2得??=100??2,由图13 -3得??=?100??+30,则毛利润??= 11

(30?1100??)???1100??2,当??=750时,S最大.

16. - 11 设11个连续整数为x-5,x-4,…,x,…,x+4,x+5. 根据题意得??2=(???5)2+(???4)2+?+??2+?+(??+4)2+(??+5)2=11(??2+10),要使11(??2+10)为平方数,且??2最小,只能取??2=1,这时??2=112.所以??最小=?11.

17. 20 因为抛物线??=??2+????+2??,??=??2+2????+??都与x轴有公

??1=??2?8??≥0?① 共点,所以 由①得??2≥8??,由②得??2≥??,2??2=4???4??≥0?②

所以??4≥64??2≥64??.又因为a为正数,则??≥4,??2≥??≥4,所以??2+??2≥16+4=20.又因为当??=4,??=2时,

抛物线??=??2+????+2??,??=??2+2????+??都与x轴有公共点,所以??2+??2的最小值为20.

18.由??=(?4??)2?4×2×(2??2+3???2)≥0得??≤,??1+??2=2??,??1??2= 3

2??2+3???23222,??2为当??<时,. ??2值随x增大而减小,所以当??=1+??2=2(???+因1+??2的484

237837323222 时, ??21+??2取最小值,且最小值为2×1(3?4+8=9?

19.因为????≤????,????≤????,所以????+????≤????+

????=2+ 当点P为顶点C时,等号成立,则??=2+ 如 图1-7所示,作正△A'BC,设M'为A'B的中点,则????????? ????????′,所以????=????′,????+????=????+????′≥????′.连 结CM',则∠??????′=90°.所以????′== 所以??= 故??2???2=(2+ 2?7=4

20.(1) ??????????=??2(2)①当点A'在四边形BCNM内或在BC边上,即0< 41??≤5时, ??=??2;当点A'在四边形BCNM外,由相似可求得??=???2+10??? 441325(5<??<10).所以当0<??≤5时, ??=4??2;当5<??<10时, ??=?4??2+10???

25.②当0<??≤5时,取??=5,??最大=4×52=64;当5<??<10时, ??= ?4(???3202)31113+25??=320时, ??最大=325,所以当??=320时,y最大为3? 325

21

23. ??=(??+

当?2≤???2??2)2+4?????24m,函数图象随 x=m?<?1,即2<??≤4时,

????≤?1内,且靠近右端??=?1,则??=?24?????24;当??=?3时, ????????=9?2??.

??2??=???当?3≤?<?2,即4?<??≤6时,

??2??≤?1内,且靠近左端??=?3,则??=?

在?3≤

时, ????????=

在?3≤

时, ????????=

当???24?????24当??=?1时, ????????=1. ??2<?3,即??>6时, ??=?在?3≤??≤?1的左侧,则??=?3时, ????????=

=1.

29?2??;当??=?1时, ′????????当???2??≥1,即??≤2时, ??=??3≤??≤?1的右侧,则??=?1时, ????????= 1当??=?3时, ????????=9?2??.

24.(1) ????=0.4??,????=?0.2??2+1.6??

(2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(10 -x)万元,获得利润W万元,根据题意可得??=?0.2??2+1.6??+0.4(10???)=?0.2??2+1.2??+4,所以??=

?0.2(???3)2+5.8.当投资B种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元,所以投资A种商品7万元, B种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元.

y=?x2?3x+4 x1=?2 25.(1)解方程组 得 y1=6y=x2?3x?4

x=2 , 2.所以点A,B的坐标分别是(-2,6),(2,-6).于是 y2

AB= =4

(2)如图1-9所示,当PQ//y轴时,设点P,Q的坐标分

别为(t,?t2?3t+4),(t,t2?3t?4),?2<??<2,因此PQ=

2(4?t2)≤8,当t=0时,等号成立.所以PQ的长的最大值为8.

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