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2014年全国初中数学竞赛预赛word

发布时间:2014-08-03 00:56:10  
2014 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案
(竞赛时间:2014 年 3 月 2 日上午 9:00--11:00) 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 以下每小题均给出了代号为 A, B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入 题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1. 若 a 是最大的负整数,b 是绝对值最小的有理数,c 是倒数等于它本身的自然数,
b ? c 2015 的值为【 则 a 2013 ? 2014

】 (D)0

(A)2013 (B)2014 (C)2015 【答】D. 解:最大的负整数是-1,∴ a =-1; 绝对值最小的有理数是 0,∴ b =0; 倒数等于它本身的自然数是 1,∴ c =1.
2013 b ? c 2015 = (? 1 ) ? 2014? 0 ? 12015 =0. ∴ a 2013 ? 2014

? x ? y ? z ? 5, 2. 已知实数 x, y, z 满足 ? 则代数式 4 x ? 4 z ? 1 的值是【 ?4 x ? y ? 2 z ? 2.
(A) ? 3 【答】A. 解:两式相减得 3x-3z ? -3,则4 x ? 4 z ? 1 ? ?3. (B)3 (C) ? 7 (D)7



3.如图,将表面展开图(图 1)还原为正方体,按图 2 所示摆放,那么,图 1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【 】 (A) a (B) b (C ) c (D) d

d a M N 图1 图2 b c

(第 3 题图)

【答】C. 解:将图 1 中的平面图折成 正方体,MN 和线段 c 重合.不妨 设图 1 中完整的正方形为完整面, △AMN 和△ABM 所在的面为组 A 合面, 则△AMN 和△ABM 所在的 面为两个相邻的组合面,比较图

B A a d

M c b N

B M N 图1 图2

2,首先确定 B 点,所以线段 d 与 AM 重合,MN 与线段 c 重合. 4. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则下列 7 个代数式 ab , ac , bc ,
b 2 ? 4ac , a ? b ? c , a ? b ? c , 2a ? b 中,其值为正的式子的个数为【



(A)2 个
y

(B)3 个

(C)4 个
y

(D)4 个以上

O

1

x

A B O x
(第 5 题图)

-1
(第 4 题图)

【答】C. 解:由图象可得: a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,∴ab ? 0 , ac ? 0 , bc ? 0 . 抛物线与 x 轴有两个交点,∴b 2 ? 4ac ? 0 .当 x =1 时, y ? 0 ,即 a ? b ? c ? 0 .
当 x = ?1时, y ? 0 ,即 a ? b ? c ? 0 .从图象可得,抛物线对称轴在直线 x =1 的左边,即

b ? 1 ,∴ 2a ? b ? 0 .因此 7 个代数式中,其值为正的式子的个数为 4 个. 2a 5. 如图,Rt△OAB 的顶点 O 与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,当 A 点在 1 反比例函数 y ? (x>0)的图象上移动时,B 点坐标满足的函数解析式为【 】 x ?

(A) y ? ? (C) y ? ? 【答】B.

1 (x<0) 8x

(B) y ? ?

1 (x<0) 4x

1 (x<0) 2x

(D) y ? ?

1 (x<0) x

解:如图,分别过点 A, B 分别做 y 轴的垂线 AN , BM ,那么 ?ANO ∽ ?OMB ,则

S ?ANO OA 2 ?( ) ? 4. S ?OMB OB
1 1 1 ? S ?ANO ? ON ? AN ? ,? S ?OMB ? . 2 2 8

? OM ? BM ?

1 1 ,故 y ? ? . 4 4x

6.如图,四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形,点 C、D 在边 AB 上,且 AC=DB=1, 点 P 是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正 方形 BRQP,E、F 分别为 MN、QR 的中点,连接 EF,设 EF 的中点为 G,则当点 P 从 点 C 运动到点 D 时,点 G 移动的路径长为【 】 (A)1 (B)2 (C)3 (D)6

【答】B. 解:设 KH 中点为 S,连接 PE、ES、SF、PF、PS, 可证明四边形 PESF 为平行四边形, ∴ G 为 PS 的中点, 即 在 点 P 运 动 过 程 中 , G 始 终 为 PS 的 中 点 , 所 以 G 的 运 行 轨 迹 为 △ CSD 的 中 位 线 , ∵CD = AB -AC -BD =6 -1 -1=4 ,∴点 G 移动的路 1 径长为 ? 4 =2. 2 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 7.已知 ?
3 2 ? x ? 2 ,化简 2 x ? 3 ? ( x ? 9) 得 2

A M

C P

D

B

E

N G R H

Q K S

F

.

【答】 3 x - 6 . 解:∵?
3 ? x ? 2 ,∴2 x ? 3 ? 0 , x ? 9 ? 0 , 2

原式= 2 x ? 3 ?

x ? 9 ? 3x ? 6 .

8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个,其中 红色玻璃球有 6 个,黄色玻璃球有 9 个,已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率 为

2 ,那么,随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 5

.

【答】

6 . 25
x 2 ? ,即 x =10,所以 P(摸 6?9? x 5

解:设口袋中蓝色玻璃球有 x 个,依题意,得 出一个红色玻璃球)= 9. 若
6 6 ? . 6 ? 9 ? 10 25

1 x2 ? x ? 1 ? 4 ,则 x 2 ? 2 ? 1 ? = x x

.

【答】8. 解:∵
1 x2 ? x ?1 ? 4 ,∴x ? ? 3 . x x

1 1 1 2 则 ( x ? ) 2 ? 9 ,即 x 2 ? 2 ? 7 .∴x ? 2 ? 1 ? 8. x x x
10.如图,在 Rt△ OAB 中,∠ AOB=30° ,AB=2,将 Rt△ OAB 绕 O 点顺时针旋转 90° 得到 Rt△ OCD,则 AB 扫过的面积为 .
C B D

A

O

(第 10 题图)

【答】 ? . 解:∵ Rt△ OAB 中,∠ AOB=30° ,AB=2, ∴ AO=CO= 2 3 ,BO=DO=4, ∴ 阴影部分面积= S扇形OBD ? S△AOB ? S扇形OAC ? S△COD = S扇形OBD ? S扇形OAC =
90 ? ? ? 4 2 90 ? ? ? (2 3 ) 2 ? =? . 360 360

11.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 E 是 AD 上一个动点,把△ BAE 沿 BE 向矩形内部折叠, 当点 A 的对应点 A1 恰落在∠ BCD 的平分线上时, CA1= . 【答】 2 2 ? 1 . 解: 过 A1 作 A1M⊥ BC, 垂足为 M, 设 CM=A1M=x, 则 BM=4-x, 在 Rt△ A1BM 中,

A

E A1

D

B

(第11题图)

C

A1M 2 ? A1 B 2 ? BM 2 ? 9 ? (4 ? x) 2 ,
∴9 ? (4 ? x) 2 = x 2 ,∴ x =A1M= 2 ?
2 , 2

∴ 在等腰 Rt△ A1CM 中,C A1= 2 2 ? 1 . 12.已知 a、b、c、d 是四个不同的整数,且满足 a+b+c+d =5,若 m 是关于 x 的方程(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)=2014 中大于 a、b、 c、d 的一个整数根,则 m 的值为 . 【答】20. 解:∵ (m-a) (m-b) (m-c) (m-d)=2014,且 a、b、c、d 是四个不同的整 数,由于 m 是大于 a、b、c、d 的一个整数根,∴ (m-a) 、 (m-b) 、 (m-c) 、 (m-d) 是四个不同的正整数. ∵ 2014=1× 2× 19× 53, ∴ (m-a)+(m-b)+(m-c)+(m-d)=1+2+19+53=75. 又∵ a+b+c+d =5,∴ m =20. 三、解答题(第 13 题 14 分,第 14 题 16 分,第 15 题 18 分,共 48 分) 13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品, 其中小笔记本每本 5 元, 大笔记本每本 7 元,钢笔每支 10 元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的 2 倍,共花费 346 元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数量各为多少? 解:设购买小笔记本 x 本,大笔记本 y 本,钢笔 z 支, 则有 5 x ? 7 y ? 10z ? 346, y ? 2 z . 易知 0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34, … … … … … … … … … … … … … … 4 分 346 ? 24 z ∴ 5 x ? 14 z ? 10 z ? 346 , 5 x ? 24 z ? 346 ,即 x ? . 5 ∵ x,y,z 均为正整数, 346 ? 24 z ≥0,即 0<z≤14 ∴ z 只能取 14,9 和 4. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分 346 ? 24 z ① 当 z 为 14 时, x ? =2, y ? 2 z =28. x ? y ? z ? 44 . 5 346 ? 24 z ② 当 z 为 9 时, x ? =26, y ? 2 z =18. x ? y ? z ? 53 . 5 346 ? 24 z ③ 当 z 为 4 时, x ? =50, y ? 2 z =8. x ? y ? z ? 62 . 5 综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本 50 本,大笔记本 8 本,钢 笔 4 支. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14 分 14.如图,在矩形 ABCD 中,AD=8,直线 DE 交直线 AB 于点 E,交直线 BC 于 F, AE=6. (1)若点 P 是边 AD 上的一个动点(不与点 A、D 重合) , PH ? DE于H , 设 DP 为 x,四边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式; (2)若 AE=2EB.

① 求圆心在直线 BC 上,且与直线 DE、AB 都相切的⊙O 的半径长; ② 圆心在直线 BC 上,且与直线 DE 及矩形 ABCD 的某一边所在直线都相切的

圆共有多少个?(直接写出满足条件的圆的个数即可.)

14、解: (1)在 Rt ?AED 中,? AE ? 6, AD ? 8,? ED ? 10.

?PHD ? ?EAD ? 90?, ?PDH ? ?EDA,??PHD ? ?EAD. x DH PH 4 3 ? ? ? .? DH ? x, PH ? x. 10 8 6 5 5 6 ? y ? S?AED ? S?PHD ? 24 ? x 2 . 25
……………………………………… … … … … … … … 5 分 (2)①

AD // BC,??EBF ∽ ?EAD .
? EF 3 BF ? ? . 10 6 8

? EF ? 5, BF ? 4. ……………… ……… 7 分
若⊙ O1 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 O1 在 AB 的左 侧,过点 O1 作 O1G1 ? DF 于 G1 ,则可设 O1G1 ? O1B ? r1.

1 1 1 S?EO1F ? S ?EBO1 ? S ?EBF ,? r1 ? 5 ? r1 ? 3 ? ? 3 ? 4 . 2 2 2

解得 r1 ?

3 . ……………… … 10 分 2

若⊙ O2 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 O2 在 AB 的右侧,过点 O2 作 O2G2 ? DF 于 G2 ,则 可设 O2G2 ? O2 B ? r2 .

1 1 ? FO2 ? DC ? ? DF ? O2G2 . 2 2 1 1 ? (4 ? r2( ) 6 ? 3) ? ( 10 ? 5)r2 . 2 2 ? S?FO2 D ?
解得 r2 ? 6. 即满足条件的圆的半径为

3 或 6.………………………………… …… … 13 分 2

②6 个.…………………………………………………… … ………………… … … … … … 16 分

15. 如图 1,等腰梯形 OABC 的底边 OC 在 x 轴上,AB∥OC,O 为坐标原点,OA = AB =BC,∠ AOC=60° ,连接 OB,点 P 为线段 OB 上一个动点,点 E 为边 OC 中点. (1)连接 PA、PE,求证:PA=PE; (2)连接 PC,若 PC+PE= 2 3 ,试求 AB 的最大值; (3)在(2)在条件下,当 AB 取最大值时,如图 2,点 M 坐标为(0,-1) ,点 D 为线段 OC 上一个动点, 当 D 点从 O 点向 C 点移动时, 直线 MD 与梯形另一边交点为 N, 设 D 点横坐标为 m,当△ MNC 为钝角三角形时,求 m 的范围.
y A P O E 图1
y A B

B

C

x

O M

D 图2

C

x

解: (1)证明:如图 1,连接 AE.

? OA ? AB,? ?AOB ? ?ABO. ? AB // OC,? ?ABO ? ?BOC. ? ?AOC ? 60?,? ?AOB ? ?BOC ? 30?.? ?OBC ? 90?. ? E为OC的中点, ? OC ? 2 BC ? 2OA.? OAE为等边三角形 . ? OB垂直平分线段 AE.? PA ? PE.
……………………………………… … … … … … … … 5 分

(2)∵ PC+PE= 2 3 ,∴ PC+PA= 2 3 .

显然有 OB=AC≤PC+PA= 2 3 .… … … … … 7 分 在 Rt△ BOC 中,设 AB=OA=BC=x,则 OC=2x,OB= 3x , ∴ 3x ≤ 2 3 ,∴x ≤2. 即 AB 的最大值为 2. … … … … … … … … … … 10 分 (3) 当 AB 取最大值时,AB=OA=BC=2,OC=4. 分三种情况讨论: ① 当 N 点在 OA 上时,如图 2,若 CN⊥ MN 时,此时线段 OA 上 N 点下方的点(不包 括 N、O)均满足△ MNC 为钝角三角形. 过 N 作 NF⊥ x 轴,垂足为 F, ∵ A 点坐标为(1, 3 ) ,∴ 可设 N 点坐标为( a , 3a ) ,则 DF=a-m,NF= 3a , FC=4-a.
OD DF NF ∵ △ OMD∽ △ FND∽ △ FCN,? ? ? . OM NF FC


m a?m 3a . ? ? 1 4?a 3a

解得, m ?

4? 3 4 3 ?1

,即当 0< m <

4? 3 4 3 ?1

时,△ MNC 为钝角三角形;… 14 分

② 当 N 点在 AB 上时,不能满足△ MNC 为钝角三角形;… … … … … … 15 分

③ 当 N 点在 BC 上时,如图 3,若 CN⊥ MN 时,此时 BC 上 N 点下方的点(不包括 N、C)均满足△ MNC 为钝角三角形.

? OB ? BC , CN ? MN ,? MN // OB. ? ?ODM ? ?BOC ? 30?. ? OM ? 1,? OD ? m ? 3.
∴ 当 3 < m <4 时,△ MNC 为钝角三角形. 综上所述,当 0< m <

4? 3 4 3 ?1

或 3 < m <4 时,△ MNC 为钝角三角形. … 18 分

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