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[初一奥数]整体思想在希望杯中的运用

发布时间:2014-08-03 00:59:03  
整体思想在竞赛中的应用
重视基础知识,突出能力考察的一年一度的“希望杯”全国数学邀请赛,展示 了许许多多活而不难,巧而不偏,富有创造性,有较宽的思维空间且不雷同的数 学问题,对丰富学校的数学教学,提高教师整体素质,提高同学们的思维和创造 能力起了很好的作用。本文介绍在历届“希望杯”赛题(包括培训题)中如何运用 整体思想的内容,以帮助同学们提高数学水平。

1. 将算式中的分数凑成整数;整数凑成整十、整百、整千等进行运算。 例1 培训题)
解 原式=(10-3)+(100-3)+(1000-3)+(10000-3)+(100000-3)=111110-3·5=111095。

用简便方法计算:7+97+997+9997+99997。

(99 年“希望杯”初一

2. 整体求解 视所求问题为一整体,根据条件的结构特征,合理变形,直接得问题的答案。 例2 ( ) 。 (A) 1。 (B) -1。 (C) 0。
2

已知代数式 x

2

( ax 5 ? bx 3 ? cx ) 当 x 4 ? dx 2

x=1 时值为 1, 那么该代数式当 x=-1 时的值

(D) 2。

解 因为当 x=1 时值为 1,所以 1 那么,当 x=-1 时, 原式= ( ?1)
2

( a ? 15 ? b ? 13 ? c ? 1) a?b?c ? 1 ,即 ?1。 4 2 1 ? d ?1 1? d

?a(?1)

? b( ?1) 3 ? c( ?1) ? (a ? b ? c) ? ? ?1 。 1? d ( ?1) 4 ? d ( ?1) 2
5

?

故选(B)。

1

3. 整体代换 巧设某整体为辅助元或未知元。 例3 一个六位数
2abcde

的 3 倍等于

abcde9

,则这个六位数是



(94 年“希望杯”初一第 2 试) 解 设
abcde

=x,则 3(200000+x)=10x+9,解得

x=85713。

故所求六位数是 285713。 4. 整体代入 据已知字母的值,先求其一中间代数式的值,再将该代数式的值,整体代入求 值式中。 例4 已知 x=
3 -1,
2x 那么 3 ? 2 ? 4x = x ? 2x ?1
2



解 因为 x=

3 -1, ( x ? 1) 2 ? ( 3) 2 ,所以 x 2 ? 2 x ? 2 。
? 2 x) 3 ? 2 ? 2 ? ? ?1 。 2 ?1 ( x ? 2 x) ? 1
2

因此 原式= 3 ? 22( x 5.

将条件等式整体相加减,得新的关系式,以助解题进行。 例5 已知 a-b=2 ①, b-c=-3 。 a-c=-1, b-d=2, a-d=4。
2

②, c-d=5

③。

则(a-c)(b-d)÷(a-d)= 解 由已知条件,得

所以 (a-c)(b-d)÷(a-d)=(-1)·2÷4=- 1 。

6. 整体判断 据已知条件整体判断出求值式中部分代数式的取值(范围)。
2

例6

角α 、β 、γ 中有两个锐角和一个钝角,其数值已给出,在计算

1 (α 15

+

β +γ )的值时,全班得出 23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果,其中确有 正确的答案,那么α +β +γ = 。 (96 年“希望杯”初一试题)

解 不妨设 0°<α <90°, 0°<β <90°,90°<γ <180°, 所以 90°<α +β +γ <360°,所以 6°<
1 15

(α +β +γ )<24°。
1 15

因为 23.5°、24.5°、25.5°确有正确答案,所以 所以α +β +γ =352.5°。

(α +β +γ )=23.5°,

由上数例不难看出, 用整体思想解题不仅解题过程简捷明快, 而且富有创造性。

熟练活用几种重要方法 8
1. 探索法 2. 构造法 3. 数形结合法 4. 设想法 5. 面积法 6. 反证法 7. 配方法 8. 替换法 9. 奇偶分析法 10.分类讨论法 11.枚举法
3

12.待定系数法 13.抽屉原理 14.极端原理 用上述方法解决几类题型思路 1. 整数问题的求解思路 2. 代数式问题的求解思路 3. 不等式问题的求解思路 4. 方程问题的求解思路 5. 方程整数根问题的求解思路 6. 函数问题的求解思路 7. 最值问题的求解思路 8. 三角形问题的求解思路 9. 四边形问题的求解思路 10.与圆有关的问题的求解思路 11.应用性问题的求解思路 12.统计初步问题的求解思路 13.取整函数问题的求解思路 14.逻辑推理问题的求解思路 几种妙解技能 1. 运算性技能 2. 操作性技能

4

第一章 探索法 1. 例 1.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
=1

探索常从熟悉的地方开始

请找出 6 个不同的自然数,分别填入 6 个方框中,使这个等式成立. 解 首先注意到一个熟悉的等式
1 = 1 + 1 6 2 3


1 = 2
推得

1 2+1

+

1 2(2+1)

1 = n

1 n+1

+

1 n(n+1)

这表明每一个分子为 1 的分数(或单位分数)都可以写成两个单位分数之和.又 由熟悉的式子:
1=

1 2

+

1 2

取 n=2,可得 1=

1 2

+

1 3

+

1 6

取 n=3,可得 1=

1 2

+

1 4

+

1 + 12

1 6

取 n=4,可得 1=

1 2

+

1 5

+

1 + 1 + 1 12 6 20

5

再取 n=6,可得 1=

1 2

+

1 5

+

1 + 1 + 1 12 7 20

+

1 42

注 (1)由于问题要求填入的自然数互不相同,所以最后一步不取 n-5,否则将产生
1 1 6 + 30

而 1/6 已经出现在最后一项.

(2)从上面的解法不难看出答案不是惟一的.例如最后一步取刀=12,便得
1=

1 2

+

1 5

+

1 + 1 + 1 13 6 20

+

1 156

2. 例 2.

探索常从简单的情形入手

以下算式中,每个汉字代表 1 个数字,不同的汉字代表不同的数字,已知“神” =3,那么被乘数是_______.
神舟五号飞天 × 神 ____________________ 飞天神舟五号



填 307692.理由:首先把“神舟五号飞天”短语看成简单一点的两个词组组

成,将问题简单化.设“神舟五号”=A, “飞天”=B,则 3×(100A+B)=10000B+A, 即 300A+3B= 10000B+A, 299A=9997B,亦即 23A=769B.而 23 和 769 互质,故 B=23n,A=769n,n 是自然数,2≤n≤4.但 A 的首位数字为 3,只可能 n=4,从 而 A=3076,B=92.

例 3. 如图,ABCD 是一个边长为 l 的正方形.U、V 分别是 AB、CD 上的点,AV 与 DU 相交于点 P,BV 与 CU 相交于 Q.求四边形 PUQV 面积的最大值。
6



把不规则的四边形 PUQV 分割为两个三角形,三角形是最简单的多边形,容

易计算面积. 接 UV,因 AU//DV,则

作 PE⊥AD,QF⊥BC,E、F 为垂足,并设 PE=x,QF=y.则

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等号当且仅当 a=6 时成立.

3. 例 4.

探索可从改变问题的表述形式考虑

已知存在整数 N,能使数

被 1987 整除.求证:数

都能被 1987 整除. 解 改变问题表述形式,有

8

被 1987 整除,所以 p 被 1987 整除, 注意到

因而也均被 1987 整除. 而改变问题表述形式,有

括号中的数等于

于是括号中的数能被 1987 整除,q 也能被 1987 整除.
9

4. 例 5.

探索可从对称角度思考

如图,正方形 ABCD 的边长为 3,点 E 在 BC 上,且 BE=2,点 P 在 BD 上移动, 则 P E+PC 的最小值是多少?

分析 要求 PE+PC 的最小值,可通过对称变换,将 PE 变位后求解 解 作 E 点关于直线 BD 的对称点 E1,则 E1 在 AB 上,且 BE1=2,PE1= PE,又 PE+ PC= PE1+PC≥E1C(当 E1、P、C 三点共线时取等号) ,所以 PE+PC 的最小值 为

5.探索可从减小目标差着手 步步紧逼目标,即称为减小目标差 例 6.

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选 A.理由:由等比式能否找到 x、y 之间的简单关系式,以便化简求值式?

为此须对等比式变形,以便运用等比定理后分子、分母能合并化简. 由已知条件知 x≠0,y≠0.把已知等式解方程,得

x? =3y(6x-15y) 3y? =x(2x-5y) 则 x=3y.

例 7. 正整数 n 小于 100,并且满足等式

其中[x]表示不超过 x 的最大整数.这样的正整数 n 的个数为( A.2 B.3 C.12 D.16

).

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初一质量监测:
1、勇士排球队四场比赛的成绩(五局三胜制)是 1:3,3:2, 胜局数是多少? 解:1+3+3-(3+2+3+1) =7-9 =-2 答:总的净胜局数是-2 0:3, 3:1,总的净

2、下列各数是 10 名学生的数学考试成绩,先估算他们的平均成绩,然后在此基 础上计算平均成绩,由此检验你的估值能力。 82, 83, 78, 66, 95, 75, 56, 93, 82, 81 我估算他们的平均成绩为 80 分。 解:(82+83+78+66+95+75+56+93+82+81)÷10 =791÷10 =79.1(分) 答:他们的平均成绩为 79.1 分。

3 、当温度每上升 1°C 时,某种金属丝伸长 0.002mm 。反之,当温度每下降 1°C 时,金属丝缩短 0.002mm。把 15°C 的金属丝加热到 60°C,再使它冷却降温 到 5°C,金属丝的长度经历了怎样的变化?最后的长度比原长度伸长多少? 解:⑴、(60-15)×0.002=0.09(mm) ⑵、0.09-(60-5) ×0.002 =0.09-0. 11 =-0.02(mm) 答:最后的长度比原长度伸长-0.02mm。
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4、一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1 个天文单位是地球与太阳之 间的平均距离,即 1.4960 亿千米。试用科学计数法表示 1 个天文单位是多少千米 (保留 4 个有效数字)。 解:1.4960(亿千米)保留 4 个有效数字 ≈1.496×108(千米) ∴一个天文单位约是 1.496×108 千米。 不等式与不等式组(应用题)

5、某商店以每辆 250 元的进价购入 200 辆自行车,并以每辆 275 元的价格销售。 两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款,这时至少已售出多少辆自 行车? 解:设这时至少已售出 X 辆自行车。 275X﹥250×200 275X﹥50000 X﹥181.11...... ∵ X 为整数 ∴ X=182 答:这时至少已售出 182 辆自行车。

6、采石场爆破时,点燃导火线后工人要在爆破前转移到 400 米外的安全区域。导 火线燃烧速度是 1 厘米/秒,工人转移的速度是 5 米/秒,导火线至少需要多长? 解:设导火线至少需要 X 米,得
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400÷5≤X/0.01 80≤X/0.01 X≥0.8 答:导火线至少需要 0.8 米。

7、一艘轮船从某江上游的 A 地匀速驶到下游的 B 地用了 10 小时,从 B 地匀速返 回 A 地用了不到 12 小时,这段江水流速为 3 千米/时,轮船往返的静水速度 V 不变,V 满足什么条件? 解:设静水速度为 V,得 (3+V)×10 ÷ (V-3)﹥10 (3+V)×10 ÷ (V-3)﹤12 解:V﹥33 答:静速 V﹥33

8、苹果的进价是每千克 1.5 元,销售中估计有 5%的苹果正常损耗。商家把售价至 少定为多少,就能避免亏本? 解:设商家把售价至少定为 X 元。 1.5≤(100%-5%)X 1.5≤0.95X X≥1.5789 答:商家把售价至少定为 1.58 元,就能避免亏本。
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9、某工厂前年有员工 280 人,去年经过结构改革减员 40 人,全厂年利润至少增 加 100 万元,人均创利至少增加 6000 元,前年全厂利润是多少? 解:设前年全厂利润为 X 万元。 X÷280+0.6﹤(X+100)÷(280-40) 6X+1008﹤7(X+100)

- X﹤-1008+100 - X﹤-308
X﹥308 答:前年全厂利润是 308 万元。

10、2002 年北京空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达到 55%,如 果到 2008 年这样的比值要超过 70%,那么 2008 年空气质量良好的天数要比 2002 年至少增加多少?(每年均按 365 天计算) 解:设 2008 年空气质量良好的天数要比 2002 年至少增加 X 天。 X≥365×(70%-55%) X≥365×15% X≥54.75 答:2008 年空气质量良好的天数要比 2002 年至少增加 55 天。

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11、有一个两位数,如果把它的个位数字 a 和十位数字 b 对调,那么什么情况下 得到的两位数比原来的两位数大?什么情况下得到的两位数比原来的两位数小? 什么情况下得到的两位数等于原来的两位数?
解: 10a+b﹥10b+a 10b+a﹥10a+b 10a+b=10b+a a﹥b b﹥a a =b (1) (2) (3) (1) (2) (3)

∴ (1)、当 a﹥b 时,得到的两位数比原来的两位数大
(2)、当 b﹥a 时,得到的两位数比原来的两位数小 (3)、当 b=a 时,得到的两位数等于原来的两位数

12、某次知识竞赛有 20 道题,每一题答对得 10 分,答错或不答都扣 5 分。小明 得分要超过 90 分,他至少要答对多少道题? 解:设他至少要答对 X 道题。
10X-(20-X) ×5﹥90 10X-100+5X﹥90 15X﹥190 X﹥12.66?? ∵X 为整数 ∴X=13

答:他至少要答对 13 道题

13、一件由黄金与白银制成的首饰重 a 克,商家称其中黄金含量不低于 90%,黄金 与白银的密度分别是 19.3g/cm3 与 10.5g/cm3, 列出不等式表示这件首饰的体积应满 足什么条件。 (提示:质量=密度×体积) 解:V﹤0.9a÷19.3+0.1a÷10.5
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14、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案: 在甲店累计购买 100 元商品后,再购买的商品按原价的 90%收费;在乙店累计购买 50 元商品后,再购买的商品按原价的 95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更 大优惠? 解:设顾客的消费金额为 X 元 甲 100+(X-100)×0.9 乙 50+(X-50)×0.95

∵ 甲 ﹥ 乙 ∴ 100+(X-100)×0.9﹥50+(X-50)×0.95 X﹤150 如:X﹤50 时,在甲、乙店买都不优惠 当 50﹤X﹤100 时,在乙店买优惠 当 100﹤X﹤150 时,在乙店买优惠 当 X﹥150 时,在甲店买优惠

15、一本英语书共 98 页,张力读了一周(7 天)还没读完,而李永不到一周就已 读完。李永平均每天比张力多读 3 页,张力平均每天读多少页(答案取整数)? 解:设李永每天读(X+3)页,张力每天读 X 页
7X﹤98 7(X+3)﹥98 X﹤14 X﹥11 (1) (2) (1) (2)

∴ 不等式解集为 11﹤X﹤14
17

∵ X 为整数 ∴ X=12,13 答:张力平均每天读 12,13 页书。

16、3 个小组计划在 10 天内生产 500 件产品(每天生产量相同),按原先的生产 速度,不能完成任务;如果每个小组每天比原先多生产 1 件产品,就能提前完成 任务。每个小组原先每天生产多少件产品? 解:设每个小组原先每天生产 X 件产品。
3X×10﹤500 3(X+1)×10﹥500 X﹤50/3 X﹥47/3 (1) (2)

(1) (2)

∴ 47/3

﹤X﹤50/3

∵ X 为整数 ∴ X=16 答:每个小组原先每天生产 16 件产品。

17、某商品的售价是 150 元,商家售出一件这种商品可获利润是进价的 10%~20%, 进价的范围是什么(精确到 1 元)? 解:设进价 X 元。
X+10%X=150 X+20%X=150 X≈136 (1) X=125 (2) (1) (2)

∴ 进价范围是 125 元~136 元。
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18、用每分钟可抽 1.1 吨水的 A 型抽水机来抽水,半小时可以抽完;如果用 B 型 抽水机, 估计 20 分到 22 分可以抽完。 B 型抽水机比 A 型抽水机每分钟多抽多少吨 水? 解:设 B 型抽水机每分钟可抽 X 吨水。
20≤1.1×30/X≤22 20X≤1.1×30 22X≥1.1×30 20X≤33 22X≥33 X≤1.65 X≥1.5

∴ 1.5≤X≤1.65 1.5-1.1=0.4 1.65-1.1=0.55 ∵设 B 型抽水机比 A 型抽水机每分钟多抽 Y 吨水。 ∴0.4≤Y≤0.55 答:B 型抽水机比 A 型抽水机每分钟多抽多少 0.4~0.55 吨水。

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19、把一些书分给几个学生,如果每人分 3 本书,那么余 8 本;如果前面的每个 学生分 5 本,那么最后一人就分不到 3 本。这些书有多少本?学生有多少人? 解:设这些书有 X 本,学生有 Y 人。
3Y+8=X 5(Y-1)+3=X 解: 3Y+8=X 5Y-X =2 (1) (2) (1) (2)

(2)-(1)得 2Y=10 Y=5 把 Y=5 代入(1)得 15+8=X X=23 ∴ X=23 Y=5 答:这些书有 23 本?学生有 5 人?

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