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2009我爱数学初中生夏令营数学竞赛

发布时间:2014-08-03 00:59:45  
20 0 9年第 l O期 

2  3

20 09我爱数学初中生夏 令营数学竞赛 
说明: 第一 试每 小题 5 0分 , 10分 ; 共 5 第  二试 每小 题 l 5分 , 10分 . 共 5   角 的顶点 移 动 7  则 点 A、 的距 离 缩 小  2m, B 2  那 么 , A、 原 来 到 这 个 角 的顶 点 的  4m. 点  
距 离 分别 为— — 、 — . —  
4 已知  .
l  
————■=———— 二

第 一 试 
1 当代数 式  .
口  +b +c 2 2+d 2+f   1一口)  +( 口一b)    +

1x√  2n + —   — — +… +   24   - 2 / —:    —= 3   + 互 3√  
l  

( c +( — ) b— ) c d  +( d一1  )

的值 达 到 最 小 时 , o+b+c+d的值 等 于 多  少 ?证 明你 的结 论 .   2 已知 △ A C内接 于 半 径 为 1的 o 0, . B   并且 A ? C= B —A B A A C=1 试 求 △ A C的  . B 三个 内角 的度 数 , 并证 明你 的结 论 .  


的值大 于 9 1


+n 1 (+)  
小于  . 则正整数 n的最大值 

与最小值的差等于— — .  
5 已知 关 于  的方 程  .



3 是否存在满足下列条件 的正整数 : . 它  的立方加上 11 0 所得 的和恰是一个完全平方 
数 ?证 明你 的结论 .  

6 +口 +6      +6:0  

的左边能被 一 1整除 , 而被  + 2除所得 的   余式为 7 . 2 则这个方程 的所有解 ( 按从 'N  b
大 的顺序 ) 是— — .   6 如 果两 个正 整 数 的差 为 2 , 大 公 约  . 1最 数 与 最 小公 倍 数 的和 为 143 那 么 , 两 个   6 , 这

第 二 试 

正整数  的值的个数等于— — .  

  1使   _> 成 的 正 整7. AB、 D是 o 0 的两 条 互 相 垂 直 的  .l 能√ 1  立  数是— —C. } 设

2 化简  ̄l 7 +√1 7 所得 的  . /0+   0~  
结 果是— — .   3 点 A、 别在 张 角 为 6 。 . B分 O 的一 个 角 的 

直径 , E为线段 0  上的一点 , O   日 , 且 E= E 
线段 C E的延 长 线 交 O0于 点 F, 段 A 与  线 F D D交 于点 G 则    . DG=

两条边上 , 并且它们相距 10m 若点 A向该  2  .
M_ = (   尸 NAP =   DAUA=   B AC.   AN  AK  AOA COc C   CL     M  




又P  上 A , N B 则 K上 A , I #B . C故 r K D  同理 , ∥B .   D   注意 到 △ A N 与△ A D 的位 似 中 心为  K B A, 与  是 对 应 点 , C 0 △ ML与 △ C B 的  D
位似 中心 为 C, 与  是对 应 点. 0  

AD— AB— AUA CUC CD — CB  — —

DN  DM   BK  BL  、   于 是 , —    — 一 —A    —    J疋 ’   — 一 — C    — 一—C 一 I一^? DA D B B ‘  

因此 ,L/ C/ N, 四边形 K M K /A /M 即 L N是 
矩 形.  

因为  U ∥D 0 fA , 以,      C所 两个 位似  变换 的位似 比相 同. 为  记

7本届 I . MO第 6题 .  

2  4

中 等 数 学 

8 已知 E是 圆 内 接 四边 形 A C 的边  . BD
C 的延 长线上 一 点 , D ,是 △ A C 的 内 心 . B  

的值等于  + 1+ 1+2 =6        
.  

若  A C=7 。  A B=6 。 D =D 则  B 0, C 0,E A, D I的度数 是— — . E  

2 由 A + C=v(B— C +Y A   , . BA /A A ) 4 ? c=   4

9 甲厂买来一 台机器 , . 每天生产某种产 
品. 乙厂 在 若 干 天 后 , 买 来 一 台 同样 的 机  也 器, 开始 以 同样 的速 度生 产 同一种 产 品.   当 甲厂生产 的该 种 产 品 总数 为 乙厂 的 6   倍时 , 甲乙两 厂恰 好 都 生 产 了整 数 天 , 时 , 此   各 买一 台 同样 的机 器 立 刻 投人 生 产 ; 甲厂  当 生 产 的该 种 产 品 总数 为 乙厂 的 4倍 时 , 甲乙  两 厂恰好 都 生产 了整 数天 , 时 , 各买 两 台  此 又 同样 的机器 投 入 生产 ; 甲厂生 产 的该 种 产  当 品总数 为 乙厂 的 2倍 时 , 甲乙两 厂 恰 好 都 生  产 了整数 天 , 此时 , 甲厂生产 该 种产 品 的时 间 
才 四个多 月 .  

f- : , : .  ̄A掣   掣   B c
在O A上取一点 D 使 O A   , D: C: , 则 

A : 一D 半 . D 1D:  
在 △ O C和 △ C D 中 , A A 有 
/ O C=/ C D, = A A     = .    

因此 。 O C∽ △ C D. △ A A  

于 是 , D= C=O   C A D,
ACD =   OAC =   AOC =   OCA =2   OCD 。   AOC.  

如果 甲厂 第一 天 生产该 种产 品的 日期是  20 0 9年 1 1日, 月 并且 每 台机器 天 天 都投 人  生产 , 台机 器 的 生 产 效率 不变 , 么 , 每 那 甲厂  生产 的该 种产 品总 数 是 乙厂 的 2倍 时 , 当天  的 日期 是 20 — — 月— — 日. 09年   1 . n是 正整 数 . 果 在包 含 209在  0设 如  0 内的 2 n+1个 连续 的 自然数 中 , 凡+1 数  前 个 的平方 和等 于后 n个 数 的平 方 和 , 则  的值  等 于— — .  

故 5 A C=10     O 8。
ABC =1 . 8。 

A C= 6  O 3。

在A B上取一点 E 使 A 1则  , E= ,

船: 一: . A 1掣    
在 △ E O和 △ O A中 , B B 有 
/ EBO = OB   A, =   =A  B
。  

故△ E O∽ △ O A  B B.

参 考 答 案 
第 一 试 
1 按 0降幂 排列 , .  
原式 = a 3  一( 2 ) 2+ b 0+… .  

于是 ,  E:伽 , E: 0  

.  

因此 , O E= 6 , O A= 6 ,   A 3 。  B 3 。 
AOB =1 0。一3 8 6。一3 6。=1 8。  0 .

故  A B= 4或 16, B C:1 。 3。 C 5。 2。   A 0 或 6. 8  
所 以 , △ A C中 , 在 B  
ABC=1 。  AC =5 。 BAC =1 8   8。 B 4。  0。

因此 , 当原式 的值 达 到最小 时 ,  
一   一  

“一 2×3 —

3 ’    

或 

A C= 8 , A B= 2 。 B C= 6. B 1。   C 1 , A 3。 6   

同理 , 当原式的值达到最小时 , 分别有 

3 若存在满足题设条件的正整数 , . 则 
+1 1   Y∈ N+ . 0 =Y ( )  

d字 ,字  = 6 -

.  

若  为偶 数 , Y为 奇数 . 则  
令  =2 , 2 , Y= m+1 n , E N) 贝  n ( - - .0 , n
2  。+25=m +m
. 

联立 解得b c ÷,= =   = = n d ÷.
因此 , 当原式 的值达到最小时 , b+ +   a+ c d

该 式 左边 为奇 数 , 右边 为偶 数 , 矛盾 .  

20 09年第 1 0期 

因此 , 奇数 ,  为 Y为偶 数 , 可令 = n+1 2 ,  
Y= m( m E N) 则  2  、     . ( n+1 +1 1 2 。 2 ) 0 =( m) 
j    +l 凡2+6n+1 2 =4m  8凡 2 0

10     04

j 

< 丽

 

: n< 100  =1 0   6     4   08 01  

4  +6 2+3 n n n+5 1=2 m 
.  

而3 + 1 n 5 是偶数,是奇数, n 令 = n 一 . 2  1  

立 的正 整 数  的值 的个数 等 于 1 0  1.   80 5 0  
2.   2

贝 = n 一 ( E N+ 。 0 4   1    )  
所得的余数为 2 矛盾. ,  

① 

若 用 3除所得 的余数为0 则 y用 3除  ,   若 用 3除所得 的余数为 1 则 y用 3除  ,   所得的余数为 0Y 3除所得的余数为 0 ,用 .  
令  =3 n+lY=3 凡 m ∈ N) 则  , m( 、 .
3n 。  +3 n    +3   +1 2=9,  2 0 扎
. 

令 原式 = 0 则   > .


2 + / 0 4 2. 0 3 ̄0 -9     1 x一
一3   . 一2 :0.   0  

=  

令 戈=  

>. 0 则 

4, ,  一6 y一2 0=0  

各 项 除 12外都 是 9的倍 数 , 0 矛盾 .  

= (, ) 2  + y+5 0    ,一2 ( y 4 )= . 解 得 Y=2 .   故原 式 =   2
3. 2+3   7 2 m,4 6  m.  

因此 , 3除后所得的余数为 2 可令   用 . 3 n一1 n∈ N+ . ( )   ② 


由式① 、 ②可知 


1n 1 nE N ) 2 一 (      .  

③ 

设 该 角 的顶 点 为 C, 点  向该 角 的 顶 点  移动 7  2m后 到 达 的位置 为 点 D. 则 
BCA =6 0。, =1 0, AB 2 AD =7   2, BD =1 0 —2 =9   2 4 6.

由于 Y的 个 位 数 字 只 可 能 是 0 14 9、   、、、  
6 5 不可 能是 2 3 7 8, 、, 、 、 、 因此 , 应 的  的个  相

位数 字 不可 能是 12 67 即  、、 、,

相应的  的个位数字不可能是 13 、 、、 8 6 .④  由式③ ,  的最小可能值依次为 
1 23, 5, 7, 9, 1, 3 4 5 71, 3, 5, . 8 9 …  

由于 7:610= ::, 29:2 345则  A B=0. D 9。  
在 R △ B D 中 , C  . B 2 . t c 设 D= 则 C= x 

故 (x 一 = 6. 2 )   9    解 得  =3  ,x= 4 . 2 2 6    故 A 7 3  m,C= 4 m. C= 2+ 2 B 6   
4. 9. 3  

由结论④ ,  的最小可能值不可能是 
11, 3, 2 71, 3. 8  

因此 , 的最小 可 能值依 次 为   
3 4 5 9 …. 5, 7, 9, 5,  

经检验 ,   = 54 , 当 3 ,75 9时 , 都不符合题 
目要求 .  

注 意到 


(± 2   墨  二 巫
1  


 

若  = 5, 9 则 
9 。+1 1=8 7 3 5+1 5 0 5 7 Ol=8 7 4 6=9 6 5 7 2 
. 


— —

+  1 一 + ) 一  + ) (+ ) ( 1  ( 1      
  一   —  

(+ ) 一 | 1   丽 j }

1  
’ 

它是 完全 平方 数 .   因此 , 存在 满 足题设 条 件 的正 整数 9 . 5  则 原式 =1 一— 一 .  
n +l  

第 二 试 
1 1 0   5. .   08 01  

由 已知   1 9
2 0< 、  /
<  



<  


有 

<2 j2  一1<n<2  一1  1 0 1 .

故正整数 凡的最大值 2 一 1 2与最小值 

中 等 数 学 

2  O 的差等 于 2 一2   1 0 一2= 1— 3 . 4 2= 9  
5. 一 1, 2, . 1, 4 

作 F - O, 足为 H 则  日jB 垂 .
△ C E∽ △ F E O H  
F H  E H  EF ( +1  一1   )   0C—O —C E E一( n+1  +1’ )  

由 已知可得 

f— + + + = , 16。6b0   I一)一(2 + (2 + (2 + =2 (2 6一) 0一) 6一) 6 7        
j  

故 

1I ) 

7 _ ' 8
.  

E H:(  
. 

故原 方程 为 


(7+1 ‘+1 1 , )  





6 +7 +6 一 8 =0.        

又△ A O∽△ A H, G F 则 
0G  朋   A。 一A日 一



( +1 (   ) 一1 ( 一 ) 一 )= . )  2 ( 4 0  

’  

( 而 )- n+ 2 1 1 f   ( n+1  )
n+1) +1    

这个 方 程 的 所 有 解 ( 从 小 到 大 的 顺  按 序 ) 一1124 是 , ,,.  
6.1 2、 . 1 91 

(  )+-+ 凡+  

设这 两个 正 整 数 为 、 ( >Y , 们 的  Y  )它 最 大 公约 数为 d, = ,   . 且    Y= 则它 们 的  最小 公倍 数是 d  且  xY ,
f ( l Y ): 1  dx — 1 2 ,

n +2 ’  

OG =  
十 二 

.  

I ( + I1 =  6. d 1 xY ) 1 3 4   由于 (  6 ,1 14 3 2 )=7 因此 , , d=1或 7 .   若  测 
I Yl: 1 斗  ? x1      0    

DG 
蚁 
U  



一  
十 二 


。  
l  

n + 

‘  

+l+  
1 7


+ Z 

8. 5   2  .

由已知 可得 
BAC =5 0。, EDA :     DEA =  DAE =5 5。.   ABC =7 0。,  

故 . Y = 629 矛 盾 . +      8 ,  

若 d 7  ]  Y = , '1 x-


=  



L      U6   1 : 2 ? Yl=

/ C 9。 ÷  A C 10 一 C A I 0+ A= B = 8。   E .  
因此 , 、 、 E四点共 圆. C ,A、  
所 以, D I   E =/ C I   A = 1×5 。 2 。 0 = 5.  
9 5月 9日. .  

故 1 1   8 1 9 +Y = 4 =2 .  
于是  x I




1 6’





x=1 2’ 1  

所 以 , 两个 正整 数是 129 . 这 1 、1  
7.   .  

设 当 甲厂生 产 的产 品总 数是 乙厂 的 6倍 

设 圆的半 径 为 n+1 由已知得  .

时 甲 生 了 天 乙 生 了 天再   ,厂 产   ,厂 产 言 ?过
Y天 , 甲厂生 产 的产 品总 数是 乙厂 的 4倍 . 则 

O 1C E= ,E=√1 + n 1 . 。 (+)  
联 结 _ 则  C D= 0 . D   F 9。  

故 △ E c∽ △ D c= =O D F =   C >
.  

+ =詈 ) . 24   ,   y(  
即  = 8 . 1y   ①  设又过 天 , 甲厂生产 的产 品总数是 乙  
厂 的 2倍 . 则 

则 C   F:

,  

 ̄( 1 /几十 ) 1  +  

E : F C   兰  F C — E:

.  

( n+1 +1 )  

+  =詈 2 4, 2 2 + +) y ( y   

20 0 9年第 l 0期 

第六届中国东南地区数学奥林 匹克 
第 一 天 
1 试 求 满足 方程  一2y+16   20 9 . x 2 y =  0  

第 二 天 
5 设 12, , . , … 9的所 有 排 列 X =( ,:    ,  


的所有整数对 ( Y .  ,)  

( 张鹏程

供题 )  



粕) 的集 合 为 。 任意 的  ∈  , 对 记 
/ X)= +   +… +   ,    l 2 2 99  

2 在 凸 五边 形 A C E 中 , 知 A = . BD 已 B  
D B E, C=E A A, B≠E 且 B、 D、 四点 共  A, C、 E

M :{( ) ∈A . -X 1 厂   }  

圆. 明 : 证  

、 D 四 点 共 圆 的 充 分 必 要 条  c、 ( 熊 斌 供题)  

求 f fi f   ( 表示集合  的元素个数 )   .  
( 熊 6 如 图 1 已 知  . , o0、o , 分 别 是  △ A C 的外 接 圆 、 B 内  切 圆. 明 : o0上  证 过 的 任 意 一 点 D, 可  都 斌 供题 )  

件是 A A   C= D.

3 设 、、 R+ √ = Y— ) ,6= . Yz∈ ,0  ( z √    
y z  ), c z Y  求证 : (一   √ =(  — ).  


2  +   2 口 +6 + a . +b c I ( 6 c c ) >  

( 立华 唐

供题 )  

4 在一 个 圆周 上 给 定 十 二 个 红 点 . . 求 

的最小值 , 使得存在以红点为顶点的 n个三  角形 , 满足以红点为端点的每条弦 , 都是其中   某个 三角 形 的一条 边 .   ( 陶平 生 供 题 )  

以 作 一 个 △ D F, E  

E 

使 得 o0、 o,分 别 是  △D F E 的外接 圆 、 内切 圆  ( 陶平生

图 1  

供题 )  

即 
J 

= y+ z 2 4.  

1 31  O. .

.  

设 m, +1 … , m , m+2  是 满 足 上 述条 件  的2 n+1个 连续 的 自然数 . 则 
② 

由式①得 
5 2. y= z  

故 Y是 2的倍 数 .   令 Y= n  ∈ N+ . 2( )则 

m +( +1 +… +(   m ) m+n  )


( 凡 1 ( + + ) …+ ,+ 凡  m+ + ) , n 2 +  +   ( 2). n  

令 S =1 2    +  +… +k. U  贝 

+ + 1y - +三y 4 n Y  : 8  Y _ : 3 . 4 . ,  
由 已知得 
1 20:31+28+31+3   0 <4 3n≤3l+28+3l+3 0+3l= 1 . 51 


S  一S l:S  +    


一 S  .  +  

代 人 化简 得 2  + n 一m +n = 即  mn 2 。     0,
m =2   + n.  

因此 。 - z= 3  4 Y+ 4 n=19  2.

又 m≤20 9  0 ≤m + 凡 则  ’ 2,  
2 +n≤ 2 00     9≤ 2凡  +3    .

所 以 ,2 1 9—3 — 8—3 — 0= . 1 2 1 3 9 

于是 , 甲厂 生 产 的产 品 总数 是 乙 厂 的  当 2倍 时 , 当天 的 日期是 20 09年 5月 9 日.  

因此 , = 1 / 3. 7 .  

( 兴国 夏

提供 )  

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