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2013年初中竞赛讲义2_代数式的化简求值问题

发布时间:2013-09-30 08:33:53  

第二讲:代数式的化简求值问题

一、知识链接

1. “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。 注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1.若多项式2mx2?x2?5x?8??7x2?3y?5x?的值与x无关,

求m2?2m2??5m?4??m的值.

分析:多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零

因为2mx2?x2?5x?8??7x2?3y?5x???2m?8?x2?3y?8

所以 m=4

将m=4代人,m2?2m2??5m?4??m??m2?4m?4??16?16?4??4

利用“整体思想”求代数式的值

例2.x=-2时,代数式ax5?bx3?cx?6的值为8,求当x=2时,代数式ax5?bx3?cx?6的值。 ????

分析: 因为ax5?bx3?cx?6?8

当x=-2时,?25a?23b?2c?6?8 得到25a?23b?2c?6??8, 所以25a?23b?2c??8?6??14

当x=2时,ax5?bx3?cx?6=25a?23b?2c?6?(?14)?6??20

例3.当代数式x2?3x?5的值为7时,求代数式3x2?9x?2的值. 分析:观察两个代数式的系数

由x2?3x?5?7 得x2?3x?2 ,利用方程同解原理,得3x2?9x?6

- 1 - 中

整体代人,3x2?9x?2?4

代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。

例4. 已知a2?a?1?0,求a3?2a2?2007的值.

分析:解法一(整体代人):由a2?a?1?0 得 a3?a2?a?0

?a3?a2?a2?2007 ?a?a2?2007

?1?2007解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功

能。 ?2008

由a2?a?1?0,得a2?1?a,

所以: a3?2a2?2007

?a2a?2a2?2007?(1?a)a?2a2?2007?a?a2?2a2?2007?a?a2?2007?1?2007?2008所以: a3?2a2?2007

解法三(降次、消元):a2?a?1(消元、、减项)

a3?2a2?2007

?a3?a2?a2?2007

22?a(a?a)?a?2007

?a?a2?2007

?1?2007

?2008

例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?

分析:分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)

第一年:A公司 10000; B公司 5000+5050=10050

第二年:A公司 10200; B公司 5100+5150=10250

第n年:A公司 10000+200(n-1);

- 2 - 中

B公司:[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]

=10050+200(n-1)

由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。

abcabacbc?????, abcabacbc例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x?

则 ax3?bx2?cx?1的值是_______ 。

解:因为abc<0,所以a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数

又因为a+b+c>0,所以a、b、c中只有一个是负数。

不妨设a<0,b>0,c>0

则ab<0,ac<0,bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。

同理,当b<0,c<0时,x=0。

另:观察代数式 abcabacbc?????,交换a、b、c的位置,我们abcabacbc

发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题:

例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线

OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,?. (1)“17”在射线 ____上, “2008”在射线___________上. (2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的

代数式表示为__________________________. 分析:OA上排列的数为:1,7,13,19,?

观察得出,这列数的后一项总比前一项多6, 归纳得到,这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1,所以17在射线OE上。

因为2008=334×6+4=335×6-2,所以2008在射线OD上

例8. 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

? ? ?

根据上面规律,2007应在

- 3 - 中

A.125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列 分析:观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找 第三列数: 3,11,19,27,? 规律为8n-5

因为2007=250×8+7=251×8-1

所以,2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,

所以2007应该在第251行第5列

例9.定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当

n为偶数时,结果为(其中k进行.例如,取n=26,则:

26 F②

第一次 n2knk是使2为奇数的正整数),并且运算重复13 F① 第二次 44 F② 第三次 11 ?

若n=449,则第449次“F运算”的结果是__________.

分析:问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当n为偶数时,结果为(其中k是使 为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。

449奇数,经过“F①”变为1352;1352是偶数,经过“F②”变为169, 169是奇数,经过“F①”变为512,512是偶数,经过“F②”变为1, 1是奇数,经过“F①”变为8,8是偶数,经过“F②”变为1,

我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现1、8的交替循环。 再看运算的次数是449,奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8,偶数次运算得到1,

所以,结果是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展,体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般,再由一般到特殊的重要方法。

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- 4 - 中

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