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2013年全国大学生数学竞赛练习题(三)

发布时间:2013-09-30 16:37:40  

2013年全国大学生数学竞赛练习题(三)

1.

已知函数f(x)?3x2.求?sin(lnx)dx.

3.求?ln(1?

2x)dx.

01f02(x)dx,求f(x). 1?x

?

4.设连续非负函数满足f(x)f(?x)?1(???x???),求?

?2cosxdx. 1?f(x)?

2

5. 计算??

0xln(sinx)dx. ?

6.设In??1dx,求In。 n

01?tanx2

7.求极限lim?n1

n?i?1

n2n??i?1。

k?k?1?sin8.求极限lim??。 ??2n??k?1?nn?n

9.设f(x)在[0,1]上可导,且?f(x)dx=0, ?xf(x)dx=0,

0011

证明:(fx)在(0,1)内至少有两个零点。10.计算贝塔函数B(m,n)??0xm?1(1?x)n?1dx的值(m,n:自然数) 1

11.试用定积分的元素法推出球面的表面积公式:S?4?R2.

12.试证:函数f(x)=?(t?t2)sin2ntdt(x?0)的最大值不超过

0x1.其(2n?2)(2n?3)

中n为正整数.

(?1)nn!13.证明:In??(xlnx)dx?(n是自然数)。 n?1(n?1)0n1

1

14.证明:1

??

x?xdx??1

0n?1nn(n是自然数)

15.设f(x)在[a,b]上非负连续,

M?maxf(x).求证:?M

x?[a,b]n16.设f?(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)?f(b)?0,b

?f(x)dx?0,求证

a

(1)在(a,b)内存在至少有一个点?,使得f?(?)?f(?)

(2)在(a,b)内存在至少有一个点???,使得f??(?)?f(?)

17.设函数f(x)在[0,1]上连续,且?11

0f(x)dx?0,?0xf(x)dx?1,试证:

(1)?x0?[0,1],使得f(x0)?4;

(2)?x1?[0,1],使得f(x1)?4.

18.设f(x)是正值连续函数,

证明: bb

?f(x)dx?1dx?(b?a)2

aaf(x)

19.

设1

f(x)0.证明

:

x2+y??f(ax?by?c)dxdy?2?c)du 2?1?1

20.设函数f (x)连续, a,b,c为常数,?是单位球面x2?y2?z2?1

求证:1

I???f(ax?by?cz)dS?2?)du

??f?1

2

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