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2013年全国大学生数学竞赛练习题(三)解答

发布时间:2013-09-30 16:37:41  

2013年全国大学生数学竞赛练习题(三)解答

1.

已知函数f(x)?3xf2(x)dx,求f(x).

1

a=?f2(x)dx.则有:

f2(x)?9x2?6(1?x2)a2

1111

??f2(x)dx?9?x2dx?6a??a2(1?x2)dx000?

1

a?3?6a(?1

2(1?x2))?2a2,

03

2a2?9a?9?0,

a?3或

a?3

2

f(x)?3x?3x2.求?sin(lnx)dx.

解:I??sin(lnx)dx?xsin(lnx)??cos(lnx)dx ?xsin(lnx)?xcos(lnx)??sin(lnx)dx,

?xsin(lnx)?xcos(lnx)?I

I=1

2xsin(lnx)?xcos(lnx))+C 3.1

求?ln(1?x)

2dx

01?x

法1变换:x?tant

1

?ln(1?x)dx

01?x2

?

???x?tant4

?ln(1?tant)dt

??

44

??ln(cosx?sinx)dx??lncosxdx

00

1

??

44

????x)dx?

04?

lncosxdx 0

???

44

????lncos(?4

004?x)dx??

lncosxdx 0

?

4

???0??ln2

08

法2变换:x?1?t

1?t

1

I??ln(1?x)

01?x2dx

x?1?t2

???1?t0ln

??2

2dt

11?(1?t2(1?t)

1?t)

11

??ln2dtln(1?t)

01?t2??01?t2dt

1

?2I??ln2

01?t2dt

I??ln2

8

注 此例中lnx满足lnxy?lnx?lny(x,y?(0,1)) 可以证明,如果有f(xy)?f(x)?f(y)(x,y?(0,1)) 则1

I??f(1?x)(2)

?x2dx??f8仍然成立 01

?

4.设连续非负函数满足f(x)f(?x)?1(???x???),求2

?cosx

??1?f(x)dx。2

??

2cosx0

?cosx2

dxcosx

??1?f(x)dx???1?f(x)??01?f(x)dx

2?2

?

0cosxcost2?t??x0

1?f(dx????1(?dt)??f(t)cost

1?f(t)dt

??x)?

221?f(t)0

2

???2

原式=?f(x)cosx22

dx?

01?f(x)?cosxdx?01?f(x)?cosxdx?1 0?

2

例如:?cosxdx?1

??1?ex

2

5. 计算??

0xln(sinx)dx.

??

0xln(sinx)dx

t???x ?

???????0???t?ln?sint?dt

????ln?sinx?dx???

00xln(sinx)dx

???xln(sinx)dx???

02?0ln(sinx)dx

另一方面?t?x???

?ln(sinx)dx2?2ln(cost)dt 2????????0

???

0ln(sinx)dx

??

??2

0ln(sinx)dx??20ln(cosx)dx

?

??2sin2x

0ln2dx

?1?sin2x

2?2

0ln2d(2x)

?1?sin

2?0lnu2du

?1

2???ln2

0lnsinxdx?2

???

0ln(sinx)dx???ln2

???

0xln(sinx)dx??12?2ln2 ?

6.设2

I1

n??ndx,求In。

01?tanx

??

2

?12cosn设Ixn?

01?tannxdx??nn 0cosx?sinx

3

??

?12

2(?cosnx2

x?sinnx??sinnx

0sinnx?cosnx) 0cosn

?

12

?2?dx??

04

7.求极限nlim1

n???2

n?i?1。 i?1

n

解:i2i2?1??i?1?2

n2?n2n2, 由介值定理得??i???ii?1?2i2?1

?n,n??使得?i?n2,n?1

nlim??i??1

n?i?1

n

1n?1?11

nlim??ni??11?i?1?nlim??nn?n?1

n

?nlim1n??n??11

1???0

i?1i2

??11

01?x2dx

??

4

8.求极限nlim???n?k?1??1?k?

n??sink?

n2。 o??1???1??1?????????????n2???o?n2?????o??n2??注意n个

1

n

4

n?o??1?

??n2??

1

n

o??1?o??1??1?????????????n????n?????o??n???n个1?0 n2

o??1???o??1??1??1?????????????n2??n2?????o??n2???o??n??

n个n个o??1??1?

?nk?1??之和?o??nk??

所以,关于n的求和时,

n

nlim???o?1?1??1??n2???nlim??o??n???0 即o??1?

?n2??可以忽略! 解:由泰勒公式得sink?k??1?

n2?n2?o??n5??,

原式=n

nlim???k?nkk?n2+nlim????k?1k?1nn2 =nk1

nlim?????+?lim?1nnn??k?n(k)2?1 k?1nn???1xdx???125

00xdx?6? 9.设11f(x)在[0,1]上可导,且?f(x)dx=0,?xf(x)dx=0,

00

5 类似有?

证明:(fx)在(0,1)内至少有两个零点。 由1

?f(x)dx=0,f(x)在(0,内至少有一个零点。1) 0

假如f(x)在(0,内至多只有一个零点。记为1)x0. 则由1

?(fx)dx?0,f(x)在(0,上不可能只取同一个符号。1) 0

(否则其定积分值一定大于零或小于零)。 所以f(x)在区间(0,x0)和(x0,1)上不变符号且符号相异。

不妨设(fx)在(0,x0)内取正号,在(x0,1)内取负号。

则函数(x?x0)?f(x)在(0,x0)和(x0,1)内都取负号。

111??(x?x0)(fx)dx?0.与条件?f(x)dx=0,?xf(x)dx=0矛盾。

000?(fx)在(0,1)内至少有两个零点。

10. 计算贝塔函数B(m,n)??11

0xm?(1?x)n?1dx的值(m,n:自然数)

B(m,1)??1

0xm?1dx?1m。

B(m,n)

??1xm?1(1?x)n?1

0dx

?1?1

m?1

0(1?x)ndxm

?1(1?1?1m

mx)n?1xm

0?nm?1

0x(1?x)n?2dx

?n?1

mB(m?1,n?1)

6

?n?1

m?n?2

m?1B(m?2,n?2)

?(n?1)!

m?(m?1)?(m?n?2)?B(m?n?1,1)

?(n?1)!

m?(m?1)?(m?n?2)(m?n?1)

?(m?1)!(n?1)!

(m?1)!m?(m?1)?(m?n?2)(m?n?1)

?(n?1)!(m?1)!

(m?n?1)!

1(n?1)n!k

B(n?k?1,k?1) ?(n?k)!k! ?(n?1)Cn,

注可以用积分B(m,n)??1?1n?1

0xm(1?x)dx定义组合数Ckn

所以B(m,n)称为组合数函数。与之关联的还有伽马函数:

?(?)??+??

0x??1e?dx也称为阶乘函数

它们都是由欧拉用积分的形式加以定义,

故称为欧拉积分。

11.用定积分的元素法给出半径为R的球面的表面积公式:在[x,x?dx]上,面积元素

dS?2?y(x

(表示由区间[x,x?dx]上对应的弧长

)

dS?2

?2

?2?Rdx

R

S?4?R2

??2?Rdx?R

x

12.试证:函数f(x)=?(t?t2)sin2ntdt(x?0)的最大值 0

不超过1

(2n?2)(2n?3).

其中n为正整数.

S?

4?R2. 7

f?(x)=(x?x2)sin2nx,容易看出:f(1)最大。

1

且由f(1)??(t?t2)t2ndt?1

(2n?2)(2n?3),

结论可证。

1

13.证明:I?(xlnx)ndx?(?1)nn!

n?(n:自然数0(n?1)n?1)

1

In

n??(xlnx)dx

1

?1nn?1n?1?(lnx)dx

1

?1[(lnx)nxn?11nnn?10]?n?1?x(lnx)n?1dx

1

??nnn?1

n?1?x(lnx)dx

再做一次分部分:1

I(?1)2n(n?1)

(n?1)2?xnn?(lnx)n?2dx

??1

?(?1)nn!n

(n?1)n?xdx

(?1)n

?n!

(n?1)n?1

1

14.证明:??

x?xdx??1(n是自然数)0n?1nn

x?x?e?xlnx

?1?xlnx?1

2!(xlnx)2?1

3!(xlnx)3?1

4!(xlnx)4?1

??x?

xdx??(?1)n1

?(xlnx)n0n?0n!?dx

8

?

??(?1)n(?1)nn!

n?0n!(n?1)n?1

?

??1?1

n??n?0(n?1)1?n n?1n

15设f(x)在[a,b]上非负连续

,M?maxf(x).求证:lim?M

x?[a,b]n??不妨设M=f(x0)>0,

x0?[a,b]

? 另一方面,

???0,???0,至少在(x0??,x0)或(x0,x0??)上有

f(x)?M??(?0)

?

?M??)??

取极限,

有M???nlim??

M 由?的任意性,limn???M 16.设f?(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)在(a,b)内二阶可导,

b

f(a)?f(b)?0,?f(x)dx?0.求证

a

(1)在(a,b)内存在至少两个点?i,使得f?(?i)?f(?i)(i?1,2)

(2)在(a,b)内存在至少有一个点?,使得f??(?)?f(?) 9

证明(1)b

?f(x)dx?0??c?(a,b),f(c)?0

a

对辅助函数F(x)?f(x)

ex使用roll定理

由F(a)?F(c)?F(b)?0.,

??1?(a,c),??2?(c,b),

使得f?(?i)?f(?i)(i?1,2).

证明(2)f??(?)?f(?)亦即f??(?)?f?(?)??(f?(?)?f(?)) 即G?(?)??G(?)(G(x)?f?(x)?f(x)) 设辅助函数H(x)?ex(f?(x)?f(x))

使用roll定理即可。

由H(?1)=H(?2)=0和roll定理,

???(a,b)使得H(?)=0?f??(?)?f(?)成立

17.设函数f(x)在[0,1]上连续,且?1f(x)dx?0,?1

00xf(x)dx?1,试证:

(1)?x0?[0,1],使得f(x0)?4;

(2)?x1?[0,1],使得f(x1)?4. 证明:(1)反证.

假设?x?[0,1],恒有f(x)?4. 于是有1??1

0(x?12)f(x)dx??1

0x?12?f(x)dx?4?11

0x?2dx?1 因此有?1

0x?12?f(x)dx?1,4?1

0x?12dx?1. 故有?1

0x?12?(4?f(x))dx?0.

f(x)?4,即f(x)??4,这与?1

0f(x)dx?0矛盾,

故?x0?[0,1],使得f(x0)?4为真.

(2)反证.

只需要证明?x2?[0,1],使得f(x2)?4即可. 假设?x?[0,1], f(x)?4.

必有f(x)?4或f(x)??4成立,这与?1

0f(x)dx?0矛盾; 再由f(x)的连续性及(1)的结果,即可证得?x1?[0,1],使得f(x1)?4.

18.设f(x)是正值连续函数,

10

证明: bb

?f(x)dx

a?1f(x)dx?(b?a)2 a

法1.

利用柯西不等式: bbb?f(x)dx??g(x)dx?直接可证 aaa法2(二重积分法) D:a?x?b,a?y?b bb

?f(x)dx

a?1f(x)dx a

=??f(y)f(xDf(x)???)

Df(y)

?1f(y)

2??(?f(x))dxdy Df(x)f(y)

?1

2??2dxdy?(b?a)2 D

法3(二重积分法) D:a?x?b,a?y?b 利用(f(x)-f(y))(1

f(x)-1

f(y))?0

??(f(x)-f(y))(11Df(x)-f(y))dxdy?0 0???2dxdy?f(y)f(

D??Df(x)???x)

Df(y)

?2(b-a)2???f(y)

Df(x)dxdy???f(x)

Df(y)

2bb

即:2(b-a)?2?f(x)dx?1

aaf(x)dx

补充题1:设f(x)是正值连续函数, 11

证明:

a??f(x)(y)dxdy?(b?a)2f a??xy??bb

补充题2:设f(x)是单调增加的连续函数,

11

?xf3(x)dx

证明: 0?f3(x)dx0

1?1

?xf2(x)dx?f2(x)dx

00

19.设f(x)连续,证明:

1

?c)dxdy?2?c)du

x2+y??f(ax?by2?1?

1

参见第三届全国竞赛第六题

做正交变换:

???u?xy ??v=?y

??

f(ax?by?c)dxdy

x2+y2?1

?f?c)dudv u2??

+v2?1

1?)dv ??du1

f?c1

?2?c)du ??1

另解

如果只选取u?

?u?R,原点到直线:u的距离为u。

则当(x,y)在单位圆盘上变动时,

?1?u?1. ?u?R,原点到直线:u的距离为u。

且在[u,u+du]上,面积微元dxdy? 12

f(ax?by?c)dxdy

x2??

+y2?1

1

??c)

??f1

20.(第三届全国竞赛第六题) 设函数f (x)连续,a,b, c为常数,?是单位球面x2?y2?z2?1? 记第一型曲面积分I???f(ax?by?cz)dS

?

求证:

I1

?2??f)du

?1

解:?u?R,原点到平面:u?的距离为u。

如果选取u?.

则当(x,y,z)在单位球面上变动时,?1?u?1. 且在[u,u+du]上,环带状的小曲面的表面积

ds?2?y(u

(y(u) ds?2

???

f(ax?by?cz)dS

?

1

?2?

??f)du 1

13

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