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初中竞赛讲义12_一元一次不等式(组)的应用

发布时间:2013-09-30 16:37:42  

第十二讲:一元一次不等式(组)的应用

一、能力要求:

1.能够灵活运用有关一元一次不等式(组)的知识,特别是有关字母系数的不等式(组)的知识解决有关问题。

2.能够从已知不等式(组)的解集,反过来确定不等式(组)中的字母系数取值范围,具备逆向思维的能力。

3.能够用分类讨论思想解有关问题。

4.能利用不等式解决实际问题

二、典型例题

11.m取什么样的负整数时,关于x的方程x?1?m的解不小于-3. 2

分析:解方程得:x=2m+2

由题意:2m+2≥-3,所以m≥-2.5

符合条件的m值为-1,-2

2.已知x、y满足x?2y?a??x?y?2a?1??0且x?3y??1,求a的取值范围.

?x?2y?a?0?x?5a?2分析:解方程组 ? 得? x?y?2a?1?0y?3a?1??2

代入不等式,解得a?1 2

3.比较a2?3a?1和a2?2a?5的大小

(作差法比大小)

解:

a2?3a?1??a2?2a?5?

?a2?3a?1?a2?2a?5

??a?6

(1)当?a?6?0,即a?6时,

a2?3a?1?a2?2a?5

(2)当?a?6?0,即a?6时,

a2?3a?1?a2?2a?5

(3)当?a?6?0,即a?6时,

a2?3a?1?a2?2a?5

- 1 -

4.若方程组

的解为x、y,且2<k<4,求 x-y的取值范围。 分析:用整体代入法更为简单

?kx?2y?3?x?05.k取怎样的整数时,方程组?的解满足?. 3x?ky?4y?0??解:(1)当k=0时,

???x=4

?3?x>0

?3此时,不满足?

??

?y=y<0

2

2)当k?0时,

由?1??3,得

3kx?6y?9?3?

由?2??k,得

3kx?k2y?4k?4?

由?4???3?,得

?k2?6?y?4k?9

y?4k?9

k2?6

把y?4k?9

k2?6代入?2?,得

3x??4k?9?k

k2?6?4

x?3k?8

k2?6

???x>0

?y<0

?3k?

??8

?k2>0

??6

?4k?9

??k2?6<0

- 2 - (

?k2?6?0

?原不等式组可化为

?3k?8>0 ?4k?9<0?

89?-?k?34

?k取整数值为:k??2,?1,1,2。

6.若2(a-3)<

2?aa?x?4?,求不等式<x-a的解集 35

2?a20 得:a< 37分析:解不等式2(a-3)<

由a?x?4?<x-a 得(a-5)x<-a 5

20 因为a< 所以a-5<0 7

a?x?4??a 于是不等式<x-a的解集为x> a?55

7.阅读下列不等式的解法,按要求解不等式. x?1不等式?0的解的过程如下: x?2

?x?1?0?x?1?0解:根据题意,得?1或?2 ○○x?2?0x?2?0??

解不等式组○1,得x?2;解不等式组○2,得x?1

所以原不等式的解为x?2或x?1 x?2请你按照上述方法求出不等式?0的解. x?5

分析:典型错误解法: 由不等式?x?2?0?x?2?0x?2 或? ?0得:?x?5?x?5?0?x?5?0

所以原不等式的解为x?5或x??2

?x?2?0?x?2?0x?2正确解法:由不等式 或? ?0得:?x?5?0x?5?0x?5??

所以原不等式的解为x?5或x??2

8.目前使用手机,有两种付款方式,第一种先付入网费,根据手机使用年限,

- 3 -

平均每月分摊8元,然后每月必须缴50元的占号费,除此之外,打市话1分钟付费0.4元;第二种方式将储值卡插入手机,不必付入网费和占号费,打市话1分钟0.6元.若每月通话时间为x分钟,使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为y1和y2,请算一算,哪种对用户合算.

解: y1?58?0.4x y2?0.6x

(1) 若y1?y2 则58?0.4x?0.6x 解得:x?290

所以当通话时间小于290分钟时,第二种方式合算。

(2) 若y1?y2 则58?0.4x?0.6x 解得:x?290

所以当通话时间等于290分钟时,两种方式相同。

(3) 若y1?y2 则58?0.4x?0.6x 解得:x?290

所以当通话时间大于290分钟时,第一种方式合算。

9.某饮料厂开发了A、B两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产,计划生产A、B两种饮料共100瓶,设生产A种饮料x瓶,解答下列问题:(1)有几种符合题意的生产方案?写出解答过程;(2)如果A种饮料每瓶的成本为2.60元,B种饮料每瓶的成本为2.80元,这两种饮料成本总额为y元,请写出y与x之间

?20x?30?100?x??2800分析:(1)据题意得:? ??40x?20100?x?2800?

解不等式组,得 20?x?40

因为其中的正整数解共有21个,所以符合题意的生产方案有21种。

(2)由题意得: y?2.6x?2

.8?100?x?

整理得:y??0.2x?280

因为y随x的增大而减小,所以x=40时,成本额最低

10.某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器,彩电,冰箱共360台,且冰箱至少生产40台,已知生产这些家电产品每台所需工时和每

台产值如下表:

- 4 -

问:每周应生产空调器、彩电、冰

箱各多少台,才能使产值最高,最高

产值是多少万元?

解:设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是x台、y台、z台,设此时的产值为P万元。 x?y?z?360??(1)??111x?y??120??(2)?根据题意得:? 234??0?x?360,0?y?360,40?z?360??(3)?x,y,z均为整数??(4)??

1?0?z?3601??2x?z??2由(1)和(2)知 ???(5)把(5)代入(3)得: 3??0?360?z?360?2?y?360?3z???2?40?z?360??

解得:40?z?240

13P?0.4x?0.3y?0.2z=0.4?z?0.3(360?z)?0.2z=108?0.05z 22

要使P最大,只需z最小

当z?40时

P最大=108-0.05×40=106(万元) 1此时x?z?20(台) 2

3 y?360?z?300(台) 2

答:每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台,才能使产值最高,最高产值是106万元?

一、【问题引入与归纳】

我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进,寻找规律的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。

能力训练点:观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。

- 5 -

二、【典型例题解析】

1、 观察算式:

(1?3)?2(1?5)?3(1?7)?4(1?9)?5,1?3?5?,1?3?5?7,1?3?5?7?9?,?,2222按规律填空:1+3+5+?+99= ?,1+3+5+7+?1?3?+(2n?1)? ?

2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律,写出第n个小房子用了多少块石子?

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图

所示)的规律,拼成若干个图案:(1)第3个图

案中有白色地面砖多少块?(2)第n个图案中有

白色地面砖多少块?

4、 观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得第10个图形中三角形的个数为多少?第n个图形中三角形的个数为多少?

5、 观察右图,回答下列问题:

(1)图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有1个点,第二层有3个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点?

(2)如果要你继续画下去,那第五层应该画多少个点,第n层有多少个点?

(3)某一层上有77个点,这是第几层?

(4)第一层与第二层的和是多少?前三层的和呢?前4层的和呢?你有没有发现什么规律?根据你的推测,前12层的和是多少?

- 6 -

6、 读一读:式子“1+2+3+4+5+?+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+?+100”表示为?n,这里“?”是求和符号,例如“1+3+5+7+9+?+99”(即从

n?1100

1开始的100以内的连续奇数的和)可表示为

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

10

3n?1

?(2n?1);

n?1

50

又如

“1?2?3?4?5?6?7?8?9?10”可表示为?n,同学们,通过以上材料的阅读,请解答下列问题:

(1)2+4+6+8+10+?+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为 ;

(2)计算:?(n2?1)= (填写最后的计算结果)。

n?15

7、 观察下列各式,你会发现什么规律?

3×5=15,而15=42-1 5×7=35,而35=62-1 ? ? 11×13=143,而143=122-1 ? ?

将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+?+n3的分式,并算出13+23+33+?+1003的值。

三、【跟踪训练题】1

1、有一列数a1,a2,a3,a4?an,其中:a1=6×2+1,a2=6×3+2,a3=6×4+3,a4=6×5+4;?则第n个数anan=2001时,n。 2、将正偶数按下表排成5列

- 7 -

根据上面的规律,则2006应在 行 列。

3、已知一个数列2,5,9,14,20,x,35?则x的值应为:( )

4、在以下两个数串中:

1,3,5,7,?,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,?,1990,

1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个。A.333

B.334 C.335 D.336

3、学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就

把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如

右图所示 )按照这种规定填写下表的空格:

4、

6、给出下列算式:

32?12?8?1

52?32?8?2 72?52?

8?3

92?72?8?4

?????

观察上面的算式,你能发现什么规律,用代数式表示这个规律:

7、通过计算探索规律:

152=225可写成100×1×(1+1)+25

252=625可写成100×2×(2+1)+25

352=1225可写成100×3×(3+1)+25

452=2025可写成100×4×(4+1)+25

????

752=5625可写成

归纳、猜想得:(10n+5)2=

- 8 -

根据猜想计算:1995=

8、已知12?22?32???n2?1n?n?1??2n?1?,计算: 6

112+122+132+?+192= ; 2 9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出:当n是自然数时,代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下,当n=40时,n2+n+41的值是什么?这位学者结论正确吗?

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