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初中数学竞赛辅导资料—面积法

发布时间:2013-10-01 11:42:15  

初中数学竞赛辅导资料—面积法

甲内容提要

1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的,所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法,简称面积法。

2. 面积公式(略)

3. 两个三角形的面积比定理

① 等高(底)的两个三角形的面积比,等于它们对应的底(高)的比

② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 ③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方

④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比(内分比或外分比)。 如图△ABC和△ADC有公共边

第三顶点连线BD被公共边AC

内分或外分于点M,

SBM

则△ABC= S△ADCMDD

M

外分

BCC

定理④是以公共边为底,面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比 乙例题

例1. 求证有一个30度角的菱形,边长是两条对角线的比例中项

已知:菱形ABCD

中, ∠DAC=求证:AB2=AC×BD

证明:作高DE,∵∠DAE=30

∴DE=??CA111AD=AB S菱形ABCD=AB×DE=AB2

222

S菱形ABCD=AC×BD, ∴AB2=AC×BD

例2. 求证:等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值

已知:△ABC中,AB=BC=AC,D是形内任一点,DE⊥BC,DF⊥AC,DG⊥AB,E,F,G是垂足

求证:DE+DF+DG是一个定值

证明:连结DA,DB,DC,设边长为a,

S△ABC=S△DBC+S△DCA+S△DAB

EC11aha=a(DE+DF+DG) 22

∴DE+DF+DG=ha

∵等边三角形的高ha是一个定值, ∴DE+DF+DG是一个定值

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