haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

发布时间:2013-10-01 11:42:15  

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若,则的值为( ).

(A) (B) (C) (D) 解: 由题设得.

代数式变形,同除b

2.若实数a,b满足

(A)

a

解.C ,则a的取值范围是( ). 或 a≥4 (D)≤a≤4 (B)a4 (C)a≤

因为b是实数,所以关于b的一元二次方程

的判别式

≥0,解得a≤或 a≥4.

方程思想,判别式定理;要解一元二次不等式

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=

则AD边的长为( ).

(A)

(C) (B) (D)

,BC=,CD=,

解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F.

由已知可得

BE=AE=

于是 EF=4+,CF=. ,DF=2,

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得 AD勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法

=.

4.在一列数……中,已知,且当k≥2

时,

(取整符号( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解:B 表示不超过实数的最大整数,例如,),则等于

由和

,,…… ,,可得

,,, ,

因为2010=4×502+2,所以

高斯函数;找规律。

=2.

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,

(C)(2012,) ) (D)(0,2)

解:B由已知可以得到,点记,其中,的坐标分别为(2,0),(2,. ). 根据对称关系,依次可以求得:

,令,同样可以求得,点,的坐标为(). ,),即(. ), 由于2010=4502+2,所以点

二、填空题

6.已知a=

解:0 的坐标为(2010,-1,则2a+7a-2a-12 的值等于 . 32

由已知得 (a+1)=5,所以a+2a=4,于是

2a+7a-2a-12=2a+4a+3a-2a-12=3a+6a-12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= .

解:15

设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得 32322222

, ①

, ②

由①②,得

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 .

. ③ (分). ,所以,x=30. 故

解:

如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AFCE,DF,且相交于点N.

由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以, 过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分. 于是,直线即为所求的直线. 设直线的函数表达式为,则

解得

,故所求直线的函数表达式为.

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则 .

解:

. 见题图,设因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以

又因为 FC=DC=AB,所以

, 解得,或(舍去).

又Rt△∽Rt△

,所以, 即=.

10.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若

的最小值

,则正整数的最小值为 . 解: 因为为的倍数,所以的最小值

, 其中由于

表示的最小公倍数.

, 因此满足

三、解答题(共4题,每题20分,共80分) 的正整数的最小值为. 满足

满足△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆求证:

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以

ED⊥BC, FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线. …………(5分)

连接AE,AF,则

所以,△ABC∽△AEF. …………(10分)

作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

从而

所以

. …………(20分)

12.如图,抛物线(a0)与双曲线相交于点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.

设点B(t,),,AB所在直线的函数表达式为,则有

解得,.

于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故

,整理得, 解得,或t=(舍去).所以点B的坐标为(,).

因为点A,B都在抛物

线(a0)上,所

以解

得 …………(10分)

(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(

设抛物线

因为∠COD=∠BOD=,4),于是CO=4. 又BO=2,所以. ,0). (a0)与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为(,所以∠COB=.

(i)将△

中点,点

延长绕点O顺时针旋转). =,得到△.这时,点(,2)是CO的的坐标为(4,到点,使得,这时点(8,)是符合条件的点.

(1,);延长到(ii)作△

点,使得=关于x轴的对称图形△,这时点E2(2,

),或(2,,得到点)是符合条件的点. ). …………(20分) 所以,点

的坐标是(8,

13.求满足

.解:由题设得

所以

(1)若的所有素数p和正整数m. , ,由于p是素数,故,令,或. ……(5分) ,

, ,k是正整数,于是

故,从而. 所以(2)若当时,有解得,令 …………(10分) ,k是正整数. ,

, 故 由于,从而,或2. 是奇数,所以,从而. 于是

这不可能.

当时,时,,,无正整数解. ;当,,无正整数解;当综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. …………(20分)

14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

解:首先,如下61个数:11,,,…,(即1991)满足题设条件. …………(5分)

另一方面,设

这n个数中的任意4个数是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于,因为

所以

. ,

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………(10分) 设

由所以,,i=1,2,3,…,n. ,得,即, ≥11. …………(15分)

故≤60. 所以,n≤61. , 综上所述,n的最大值为61. …………(20分

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com