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初中数学竞赛辅导资料—反证法

发布时间:2013-10-01 11:42:15  

初中数学竞赛辅导资料—反证法

甲内容提要

1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题,当一个命题

不易直接证明时,釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题,可表示为:A→B?B?A

例如 原命题:对顶角相等 (真命题)

逆否命题:不相等的角不可能是对顶角 (真命题)

又如 原命题:同位角相等,两直线平行 (真命题)

逆否命题:两直线不平行,它们的同位角必不相等 (真命题)

3. 用反证法证明命题,一般有三个步骤:

① 反设 假设命题的结论不成立(即假设命题结论的反面成立)

② 归谬 推出矛盾(和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾)

③ 结论 从而得出命题结论正确

例如: 求证两直线平行。用反证法证明时

① 假设这两直线不平行;

② 从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

③从而肯定,非平行不可。

乙例题

例1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平行

已知:如图∠1=∠2 A 1 B

求证:AB∥CD

证明:设AB与CD不平行 C 2 D

那么它们必相交,设交点为M D

这时,∠1是△GHM的外角 1 M B

∴∠1>∠2

这与已知条件相矛盾 2

∴AB与CD不平行的假设不能成立

∴AB∥CD C

例2.求证两条直线相交只有一个交点

证明:假设两条直线相交有两个交点,那么这两条直线都经过相同的两个点,这与“经

过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾,所以假设不能成立,因此两条直线相交只有

一个交点。

(从以上两例看出,证明中的三个步骤,最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目,

第一步“反设”也要认真对待)。

2例3.已知:m是3的倍数,求证:m 也是3的倍数

证明:设m 不是3的倍数,那么有两种情况:

m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)

当 m=3k+1时, m2=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1

当 m=3k+2时, m2=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1

即不论哪一种,都推出m2不是3的倍数,这和已知条件相矛盾,所以假设不能成立。

∴ m2是3的倍数时,m 也是3的倍数

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