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初中数学竞赛辅导资料—递推公式

发布时间:2013-10-01 11:42:16  

初中数学竞赛辅导资料—递推公式

一、内容提要

1. 先看一例:a1=b,a2=222,a3=…… an+1=a2a1an这a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数

1,2,3……n,n+1 的有序的一列数(右下标的数字表示第几项),这一列数只要给出某一项数值,就可以推出其他各项数值。

例如: 若 a1=10, 则a2=210=1

5,a1

3=10,a4=5,a5=10……

2. 为了计算的方便,通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式,这可用经验归纳法。如:把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示

∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5, a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5

…… ∴an=a1+(n-1)5

如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关,可寻找递推公式求解,这叫递推法。

二、例题

例1.已知:a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2) 求:a100的值

解:a100=a99+2×99

=a98+2×98+2×99

=……

=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99

=2+2×(1?99)?99

2=9902

又解:a2=a1+2×1

a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2

a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3

……

a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99

=2+2(1+2+3+……+99)=9902

例2.已知:x1=97, 对于自然数n>1, xn

n=x 求:x1x2x3·……·x8的值

n?1

解:由递推公式xn=n

x可知 x1x2=x12

n?1x=2 x3x4=x34=4

1x3例

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